点到直线的距离及两平行直线间的距离

1、点到直线的距离两条平行直线间的距离点到直线距离公式点到直线距离公式xyP0 (x0,y0)O|y0|x0|x0y0点到直线距离公式点到直线距离公式xyP0 (x0,y0)O|x1-x0|y1-y0|x0y01yyy11xxx1知识探究：点到直线的距离知识探究：点到直线的距离思路一：定义法思路一：定义法直线直线 的方程的方程l直线直线 的斜率的斜率lQPl0直线直线 的方程的方程l直线直线 的方程的方程QP0交点QP0点点 之间的距离之间的距离 （ 到到 的距离）的距离）QP、00Pl点点 的坐标的坐标0P直线直线 的斜率的斜率QP0点点 的坐标的坐标0P点点 的坐标的坐标Q两点间距离公式xyO

2、lQP0 (x0,y0)0:CByAxlPOyxlQP（x0，y0）l:Ax+By+C=0知识探究：点到直线的距离知识探究：点到直线的距离Ax+By+C=0 B x-Ay-Bx0+Ay0=0Q(x, y)满足满足:2200BABCByABxy22002BAACAByxBx22000BACByAxAxx)(22000BACByAxByy)(220022200222002020)()()()PQBA|CByAx|BACByAxBBACByAxAyyxx(|结论结论 点点P (x0 , y0)到直线到直线 l: Ax+By+C=0的距离为的距离为:2200BA|CByAx|d问题问题1：已知一直角三

3、角形的两条直角边长度为：已知一直角三角形的两条直角边长度为3和和4，如何求斜边上的高？，如何求斜边上的高？知识探究：点到直线的距离知识探究：点到直线的距离等面积法：等面积法：思路二：间接法思路二：间接法xyO0PlQ面积法求出面积法求出 求出求出 求出求出 利用勾股定理求出利用勾股定理求出 |0RP|0SP| RS|0QPSR求出点求出点 的坐标的坐标R求出点求出点 的坐标的坐标S点到直线距离公式点到直线距离公式xyP0 (x0,y0)Ox0y0:0lAxByCS00,AxCxBR00,ByCyA001|2PSP RQd1|2d SR点到直线距离公式点到直线距离公式:0lAxByCxyP0 (

4、x0,y0)OSRQd22000000.ABdAxByCABAxByCAxByCABd RSPRPS0022|AxByCdAB2200BACByAxd 1.此公式的作用是求点到直线的距离；此公式的作用是求点到直线的距离；2.此公式是在此公式是在A、B0的前提下推导的；的前提下推导的；3.如果如果A=0或或B=0，此公式恰好也成立；，此公式恰好也成立；但但A=0或或B=0，一般不用此公式；，一般不用此公式；4.用此公式时直线要先化成一般式。用此公式时直线要先化成一般式。Oyxl:Ax+By+C=0P(x0,y0)d例例1 求点求点P(-1,2)到直线到直线2x+y-10=0； 3x=2的距离。的

5、距离。解：解： 根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，得 521210211222 d如图，直线如图，直线3x=2平行于平行于y轴，轴，Oyxl:3x=2P(-1,2)35)1(32 d2.2.求点求点C C（1 1，-2-2）到直线）到直线4x+3y=04x+3y=0的距离的距离. .1. 1.求点求点A A（-2-2，3 3）到直线）到直线3x+4y+3=03x+4y+3=0的距离的距离. . P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到直线到直线l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0的距离：的距离：2200|BACByAxd3.3.点点P(-1,2)P(-1,2)到

6、直线到直线3x=23x=2的距离是的距离是. .4.4.点点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线3y=23y=2的距离是的距离是. .5.5.点点A(a,6)A(a,6)到直线到直线x+y+1=0 x+y+1=0的距离为的距离为4 4，求，求a a的值的值. .点到直线的距离练习：1|2SAB h解：设解：设AB边上的高为边上的高为h22|(3 1)(1 3)2 2AB 3 111 3ABk AB的方程为的方程为xyC (-1,0)O-1-11 12 22 23 33 31 1B (3,1)A (1,3)h31 (1)yx 化为一般式化为一般式40 xy22| 1 04|11h 152 2

7、522S 例例 已知点已知点A（1，3），），B（3，1），），C（-1，0），求三角形），求三角形ABC的面积的面积)0 ,37171()0 , 1( 或或22)5(12400512 x22)3(1703 x371711 xx或或解：设解：设P(x,0),根据根据P到到l1、 l2距离相等，列式为距离相等，列式为=解得：解得：所以所以P点坐标为：点坐标为： P在在x轴上轴上, P到直线到直线l1: x- y +7=0与直线与直线l2: 12x-5y+40=0的距离相等的距离相等, 求求P点坐标。点坐标。3例例3.例例5 求平行线求平行线2x-7y+8=0与与2x-7y-6=0的距离。的距离。

8、Oyxl2: 2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0 P(3,0)两平行线间的两平行线间的距离处处相等距离处处相等在在l2上任取一点，例如上任取一点，例如P(3,0)P到到l1的距离等于的距离等于l1与与l2的距离的距离5353145314)7(28073222 d直线到直线的距离转化为点到直线的距离直线到直线的距离转化为点到直线的距离xpOyl1l2M任意两条平行直线都任意两条平行直线都可以写成如下形式：可以写成如下形式：l1 :Ax+By+C1=0l2 :Ax+By+C2=0),(上任一点设直线001yxPl1001上则在点CByAxlP的距离为0：到直线又22CByAxlP22200

9、BACByAxd2212BACC1. 1.平行线平行线2x+3y-8=02x+3y-8=0和和2x+3y+18=02x+3y+18=0的距离是的距离是_;_;2 2. .两平行线两平行线3x+4y=103x+4y=10和和6x+8y=06x+8y=0的距离是的距离是_._.练习：1.求坐标原点到下列直线的距离：求坐标原点到下列直线的距离：(1) 3x+2y-26=0; (2) x=y2.求下列点到直线的距离：求下列点到直线的距离：(1) A(-2,3)， 3x+4y+3=0(2) B(1,0)， x+y - =033(3) A(1,-2)， 4x+3y=03.求下列两条平行线的距离：求下列两条

10、平行线的距离：(1) 2x+3y-8=0 ， 2x+3y+18=0(2) 3x+4y=10 ， 3x+4y=0练习：1 1、点、点A(a,6)A(a,6)到直线到直线x+y+1=0 x+y+1=0的距离为的距离为4 4，求，求a a的值的值. .2 2、求过点、求过点A A（1,21,2），且与原点的距离等于），且与原点的距离等于 的直线方程的直线方程 . .223 3、求直线、求直线2x+11y+16=02x+11y+16=0关于点关于点P P（0,10,1）对称）对称 的直线方程的直线方程. .练习：求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程.2125|6|22md解：由题意设所求直线的方程为则直线l与的距离 ，化简得|6-m|=26，即6-m=26，6-m=-26，解得m=-20，m=32则所求直线的方程为5x-12y-20=0或5x-12y+32=0故答案为：5x-12y-20=0或5x-12