高中数学总复习直线与圆锥曲线的位置关系

1、1231.直线过点（直线过点（2,4）与抛物线）与抛物线y2=8x只只有一个公共点，这样的直线共有（有一个公共点，这样的直线共有（ ）A.1条条B.2条条C.3条条D.4条条 B4因为点因为点(2,4)在曲线上，所以当直在曲线上，所以当直线与抛物线相切时只有一条，而当直线与线与抛物线相切时只有一条，而当直线与抛物线的对称轴平行时也有一条，故共有抛物线的对称轴平行时也有一条，故共有2条，故选条，故选B. 易错点：直线与抛物线相交，交点易错点：直线与抛物线相交，交点的问题应注意到直线的斜率的问题应注意到直线的斜率k不存在，以不存在，以及直线平行抛物线对称轴时的两种情况及直线平行抛物线对称轴时的两种

2、情况.52.若双曲线若双曲线 的两条渐近线恰好是的两条渐近线恰好是抛物线抛物线y=ax2+的两条切线，则的两条切线，则a的值为（的值为（ ）A.B.C.D. 易得双曲线的渐近线方程为易得双曲线的渐近线方程为y=x，由对称性可知，直线，由对称性可知，直线y=x与曲线与曲线y=ax2+相切，联立两方程消去相切，联立两方程消去y得得ax2-x+=0，由，由= ，得，得a=，故选，故选B.22194xy13B34193513232313231344093a1363.已知双曲线已知双曲线的右焦点为的右焦点为F，若过点若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率

3、的取值范围是（个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）A.（1,2） B.（1,2C. D.（2,+）221124xyC33,33 7可得双曲线的渐近线方程为可得双曲线的渐近线方程为y=x，过点，过点F分别作两条渐近线的平行分别作两条渐近线的平行线线l1和和l2，由图形可知，符合题意的直线斜，由图形可知，符合题意的直线斜率的取值范围为，故选率的取值范围为，故选C. 易错点：直线与双曲线相交问题，易错点：直线与双曲线相交问题，应结合图形分析直线与渐近线平行、相切应结合图形分析直线与渐近线平行、相切等极端位置等极端位置.3333,33 84.过抛物线过抛物线y2=4x的焦点，且倾斜角的焦点，且倾斜角

4、为为 的直线交抛物线于的直线交抛物线于P，Q两点，两点，O为为坐标原点，则坐标原点，则OPQ的面积是的面积是 .342 29因为直线方程为因为直线方程为x+y-1=0，即，即x=1-y.代入代入y2=4x，得：，得：y2+4y-4=0，设设P（x1,y1），），Q（x2,y2），），所以所以y1+y2=-4,y1y2=-4，所以所以所以所以故填故填16164 2，21212124yyyyyy （）1212OABSOF yy 1=1 4 2=2 22 ，2 2.105.已知抛物线已知抛物线y2=2px（p0）的顶点为）的顶点为O焦点为焦点为F，点，点P为抛物线上一点，对于为抛物线上一点，对于PO

5、F的形状有下列说法：的形状有下列说法：可能为等腰三角形；可能为等腰三角形；可能为等腰直角三角形；可能为等腰直角三角形；可能为正三角可能为正三角形，其中正确的序号是形，其中正确的序号是. 结合图形当结合图形当 时，时， ，不等，不等于于，也不等于，也不等于，又因为通径长（过焦，又因为通径长（过焦点点F与对称轴垂直的弦长）为与对称轴垂直的弦长）为2p，则均不，则均不可能发生可能发生.故填故填.4px 22yp 4p34p，111.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点（特殊情况除切、相离；相交有两

6、个交点（特殊情况除外），相切只有一个交点，相离无交点外），相切只有一个交点，相离无交点.判断判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量方程与曲线方程联立，消去变量y（或（或x）得）得变量变量x（或（或y）的方程：）的方程：ax2+bx+c=0（或（或ay2+by+c=0）12若若a0，可考虑一元二次方程的判别式，可考虑一元二次方程的判别式，有：，有：0直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相交；=0直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相切；0直线与圆锥曲线相离直线与圆锥曲线相离.若若a=0，则直线与圆锥曲线相交，且有，则直线与圆锥曲线

7、相交，且有一个交点一个交点.若曲线为双曲线，则直线与双曲若曲线为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若曲线为抛物线，则直线的渐近线平行；若曲线为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行线与抛物线的对称轴平行.132.圆锥曲线的弦长问题设直线圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲与圆锥曲线线C相交于相交于A，B两点，两点，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则弦长则弦长212122111.ABkxxyyk 14重点突破：直线与圆锥曲线的位置关系重点突破：直线与圆锥曲线的位置关系 ()已知已知A(-3,4)，B(4,4)，若线段，若线段AB与椭圆没有公共点，求正数与椭圆没有公共点，求正数a的取的取值范围值范

8、围.()若直线若直线y=kx+1与双曲线与双曲线3x2-4y2=12有两有两个不同的交点，求实数个不同的交点，求实数k的取值范围的取值范围.2222yxa15()利用图形进行分析，分两利用图形进行分析，分两种情况解答，即线段种情况解答，即线段AB在椭圆内和椭圆外在椭圆内和椭圆外.()联立直线与双曲线方程消去联立直线与双曲线方程消去y得到关得到关于于x的二次方程，在二次项系数不等于零的的二次方程，在二次项系数不等于零的情况下利用情况下利用0求解求解.16()线段线段AB的方程为的方程为y=4(-3x4).当线段当线段AB在椭圆外时，在椭圆外时， a4，解得，解得0a2 ，综上知正数，综上知正数a

9、的取值的取值范围是范围是0a2 .2；2222442a，62617()由由y=kx+1与双曲线与双曲线3x2-4y2=12联立联立消去消去y得得(3-4k2)x2-8kx-16=0，由题意知由题意知3-4k20，即，即k ，则，则=64k2+64（3-4k2）0，得，得k21，即，即-1k0.y2)，2121233424mmxxx x ，21232622mABxx ，24又因为又因为BC的长等于点的长等于点(0，m)到直线到直线l的距离的距离即即所以所以 =-(m+1)2+11，所以当所以当m=-1时，时，AC边最长，边最长，(这时这时=-12+640)，此时，此时AB所在直线的方程为所在直线

10、的方程为y=x-1. 利用韦达定理、弦长公式可解答与利用韦达定理、弦长公式可解答与弦中点有关的问题、弦长问题及弦所围成的三弦中点有关的问题、弦长问题及弦所围成的三角形面积等高考常见热点问题角形面积等高考常见热点问题. 22mBC ，2222210ACABBCmm 25已知抛物线已知抛物线y2=8x上一个定点上一个定点M(x0,y0)(y00)，过点，过点N(x0+4,0)与与MN垂直的直垂直的直线交抛物线于线交抛物线于P，Q两点，若两点，若求求MPQ的面积的面积. 据题意得：据题意得：=8x0 所以所以x0=2，y0=4，所以，所以M (2,4)，N(6,0)， 所以所以4 2MN ，20y2

11、002(4)4 20MNxxy又因为又因为y00，40126MNk ，26因为因为MNPQ,所以所以kPQ=1，则直线则直线PQ方程为：方程为：y=x-6， y=x-6 y2=8x所以所以又点又点M到直线到直线PQ的距离为的距离为所以所以SMPQ=16 4 =64.联立联立，得：，得：y2-8y-48=0，1221111 64192PQyyk 16 2 ，222464 211d ，122227 重点突破：最值与范围问题重点突破：最值与范围问题 设设F1，F2分别是椭圆分别是椭圆 的左、的左、右焦点，顶点右焦点，顶点A(0,-1).()若若P是该椭圆上的一个动点，求是该椭圆上的一个动点，求的最大

12、值和最小值；的最大值和最小值；()是否存在斜率为是否存在斜率为k(k0)的直线的直线l，使，使l与已知椭圆交于不同的两点与已知椭圆交于不同的两点M、N，且，且 若存在，求出若存在，求出k的取值范围；若不存在，的取值范围；若不存在，请说明理由请说明理由.2213xy12PF PF AM AN ？28 ()设点设点P(x,y) ，利用函数的，利用函数的最值来求解最值来求解.()假设存在，设出直线方程，与椭假设存在，设出直线方程，与椭圆联立，由圆联立，由转化为转化为AP是线段是线段MN的垂直平分线，利用根与系数的关系的垂直平分线，利用根与系数的关系可判断可判断.AMAN 29()由题意知由题意知所以

13、所以F1(- ,0)，F2( ,0)，设设P(x,y)，则则因为因为x ，故当，故当x=0时，即点时，即点P为椭圆短轴端点时，为椭圆短轴端点时，有最小值有最小值-1；当当x=时，即点时，即点P为椭圆长轴端点时，为椭圆长轴端点时，有最大值有最大值1.3,1,2abc，22212(2,)( 2,)PF PFxyxyx 222222121.33xyxx 3, 3 12PF PF 312PF PF 30()设存在满足条件的直线设存在满足条件的直线l，其方程为，其方程为y=kx+b(k0)， y=kx+b则则=36k2b2-4(3k2+1)(3b2-3)=36k2-12b2+设设M(x1,y1)，N(x

14、2,y2)，得：，得：由由2213xy得：得：(3k2+1)x2+6bkx+3b2-3=0，120.1226.31bkxxk 31从而从而MN的中点的中点P的坐标为的坐标为因为所以因为所以AP是线段是线段MN的垂直的垂直平分线，所以平分线，所以APMN，于是于是代入并整理得：（代入并整理得：（3k2+1）（）（k2-1）0，所以所以-1k1，故满足条件的直线故满足条件的直线l存在，其斜率存在，其斜率k的范围的范围为为-1k0，只能，只能x=,于是于是y=，所以点，所以点P的坐标是的坐标是( ,).AP =(x-4,y)，由已知可得：，由已知可得：2213620 xyFP 32325 32325

15、 3235()易得直线易得直线AP的方程是的方程是x- y+6=0，设，设点点M(m,0)，则，则M到直线到直线AP的距离是的距离是 ，于是于是=|m-6|，又又-6m6，解得，解得m=2，所以椭圆上的点所以椭圆上的点(x,y)到点到点M的距离的距离d有有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-由于由于-6x6，所以当所以当x=时，时，d取得最小值取得最小值 .362m 62m 259x2491592x（），921536已知圆已知圆O：x2+y2=1，点，点O为坐标原点，为坐标原点，一条直线一条直线l：y=kx+b(b0)与圆与圆O相切并与椭圆相切并与椭圆 交于不同的两点交于不同的两点

16、A，B.()设设b=f(k)，求，求f(k)的表达式；的表达式；()若，求直线若，求直线l的方程；的方程；()若求三角形若求三角形OAB面积的取值范围面积的取值范围.2212xy23OA OB 2334OA OBmm （），37()由直线与圆相切，得圆心到由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径可求得直线的距离等于半径可求得.()联立直线与椭圆方程，由根与系数关联立直线与椭圆方程，由根与系数关系可求得系可求得.()利用弦长公式及求最值的方法利用弦长公式及求最值的方法可得可得. ()因为因为y=kx+b(b0)与圆与圆x2+y2=1相切，相切，则即则即b2=k2+1(k0)，所以，所以21,1

17、bk 21.bk 38 y=kx+b ，消去消去y得：得：(2k2+1)x2+4kbx+2b2-2=0,所以所以=8k20(因为因为k0)，设，设A(x1,y1),B(x2,y2),则则所以所以k2=1，k=1，则，则b2=2，又又b0，所以，所以b= ，所以直线所以直线l的方程为的方程为y=x+ 或或y=-x+ .()由由2212xy21212212,213kOA OBx xy yk 22239()由由()知：知：因为因为 所以所以所以所以k21，由弦长公式得：由弦长公式得：设设O到直线到直线AB的距离为的距离为d，则，则d=1，22121kmk ，2334m，222133214kk ，12

18、2222 2121kABkk ，40所以所以解得：解得：本题考查直线与圆，直线与椭圆的本题考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与向量，不等式等知识的位置关系，考查椭圆与向量，不等式等知识的综合交汇，考查转化与化归思想综合交汇，考查转化与化归思想.222121| 1221kkSABk （），62.43S411.直线与圆锥曲线的位置关系可通过直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来讨论次方程组的解的情况来讨论.(1)若方程组消元后得到一个一元二次若方程组消元后得到一个一元二次方程，根据方程，根据来讨论；来讨论

19、；42(2)若方程组消元后得到一个一元一次若方程组消元后得到一个一元一次方程，则相交于一个公共点，需要注意的是，方程，则相交于一个公共点，需要注意的是，直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行定相切，还有其他情况，如抛物线与平行(或重合或重合)与其对称轴的直线，双曲线与平行与其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交；但不是相切，而是相交；43(3)直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利直线与圆锥曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的

20、方法解决；用数形结合，以形助数的方法解决；(4)若讨论一线段与圆锥曲线或一直线与圆若讨论一线段与圆锥曲线或一直线与圆锥曲线的一部分（如双曲线的一支）的公共点锥曲线的一部分（如双曲线的一支）的公共点个数，则应根据根的范围限制；个数，则应根据根的范围限制；(5)直线与圆锥曲线相交问题，解题时，注直线与圆锥曲线相交问题，解题时，注意应用韦达定理及意应用韦达定理及“设而不求设而不求”的技巧的技巧.442.利用数形结合和等价转化的思想，可利用数形结合和等价转化的思想，可以将某些最大值、最小值问题转化为求圆锥以将某些最大值、最小值问题转化为求圆锥曲线的切线的斜率问题曲线的切线的斜率问题.3.圆锥曲线中的最

21、值及范围问题求范围圆锥曲线中的最值及范围问题求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似，的方法同求最值及函数的值域的方法类似，常见的解法有两种：代数法和几何法常见的解法有两种：代数法和几何法.454.遇到中点弦问题常用遇到中点弦问题常用“根与系数关系根与系数关系”或或“点差法点差法”求解求解.若知道中点，则利用若知道中点，则利用“点点差法差法”的方法可得出过中点弦的直线的斜率的方法可得出过中点弦的直线的斜率.比较两种方法，用比较两种方法，用“点差法点差法”的方法的计算的方法的计算量较少，此法解决有关存在性的问题时，要量较少，此法解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式加以检验结合图形和判别式

22、加以检验.461.(2009全国卷全国卷)设双曲线设双曲线(a0,b0)的渐近线与抛物线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，相切，则该双曲线的离心率等于（则该双曲线的离心率等于（ ）A. B. 2C. D. 22221xyabC35647由题双曲线由题双曲线(a0,b0)的的一条渐近线方程为一条渐近线方程为y=x，代入抛物线方程整，代入抛物线方程整理得理得ax2-bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，因渐近线与抛物线相切，所以所以b2-4a2=0，即，即c2=5a2，所以，所以e=，故选，故选择择C. 本小题考查双曲线的渐近线方程、本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离

23、心直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，为基础题率，为基础题.22221xyabba5482.(2009全国卷全国卷)已知椭圆已知椭圆C：(ab0)的离心率为的离心率为,过右焦点过右焦点F的直线的直线l与与C相交于相交于A、B两点，当两点，当l的斜率为的斜率为1时，坐标原时，坐标原点点O到到l的距离为的距离为 .()求求a,b的值；的值；()C上是否存在点上是否存在点P，使得当，使得当l绕绕F转到转到某一位置时，有成立某一位置时，有成立?若存在，若存在，求出所有的求出所有的P的坐标与的坐标与l的方程；若不存在，的方程；若不存在，说明理由说明理由.22221xyab3322OPOAOB 49 ()设设F(c,0)，当，当l的斜率为的斜率为1时，其时，其方程为方程为x-y-c=0，O到到l的距离为的距离为故故 解得解得c=1.由由得得00,22cc 2,22c 3,3cea223,2.abac 50（）C上存在点上存在点P，使得当，使得当l绕绕F转到某转到某一位置时，有成立一位置时，有成立.由（由（）知）知C的方程为的方程为2x2+3y2=6.设设A（x1,y1）,B（x2,y2）.（）当当l不垂