“数学广角”2(2016年7月6日,教师发展中心)

1、“数学广角数学广角”教学的若干原则教学的若干原则长沙市岳麓区教研室长沙市岳麓区教研室 郑志刚郑志刚“数学广角数学广角”的编写意图的编写意图“数学广角数学广角”教学的三个原则教学的三个原则 1. 淡化模式淡化模式 2. 通法为先通法为先 3. 强调过程强调过程 “数学广角数学广角”教学例谈教学例谈 “数学广角数学广角”的编写意图的编写意图思考：思考： 教材为什么要增加教材为什么要增加“数学广角数学广角”这个内容？这个内容？ 第第1 1列列 第第2 2列列 第第3 3列列 第第4 4列列 1 4 1 43第第1行行第第2行行第第3行行第第4行行突破口是哪个方格？推理推理2 2-数独数独（二年级下册

2、）教学流程教学流程:一、介绍数独及规则一、介绍数独及规则二、学生自主研究二、学生自主研究 数独数独突破口的特点突破口的特点三、巩固练习三、巩固练习 1 4 1 43第第1 1列列 第第2 2列列 第第3 3列列 第第4 4列列第第1行行第第2行行第第3行行第第4行行什么样的方格可以先确定？行和列里必须出现三个不同数字。 1 4 1 43第第1 1列列 第第2 2列列 第第3 3列列 第第4 4列列第第1行行第第2行行第第3行行第第4行行什么样的方格可以先确定？问题：要不要研究突破口特点？问题：要不要研究突破口特点？ 1 4 1 43第第1 1列列 第第2 2列列 第第3 3列列 第第4 4列列

3、第第1行行第第2行行第第3行行第第4行行三、巩固练习。三、巩固练习。 2 1 3 4 2问题：要不要研究突破口特点？问题：要不要研究突破口特点？ 1 4 1 43第第1 1列列 第第2 2列列 第第3 3列列 第第4 4列列第第1行行第第2行行第第3行行第第4行行三、巩固练习。三、巩固练习。 2 1 3 4 2问题：要不要研究突破口特点？问题：要不要研究突破口特点？ “数学广角数学广角”教学的三个原则教学的三个原则 1. 淡化模式淡化模式2. 通法为先通法为先3. 强调过程强调过程一、淡化模式一、淡化模式 “数学广角数学广角” 的教学目标主要体现在过程性目标上，让学的教学目标主要体现在过程性目

4、标上，让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。学生主要是通过观生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。学生主要是通过观察、猜测、实验、操作和直观的手段解决问题，察、猜测、实验、操作和直观的手段解决问题， 而不是通过总而不是通过总结抽象的数学模型和公式来解决问题。结抽象的数学模型和公式来解决问题。人教社小教室人教社小教室 王永春王永春搭配搭配（三年级）（三年级） 抽屉原理抽屉原理植树问题植树问题种数种数= =衣服数裤子数衣服数裤子数物体数抽屉数物体数抽屉数= =商商余数余数至少数至少数= =商商+1+1对于小学生来说，抽屉原理对于小学生来说，抽屉原理重在理解。重在理解。1.你还能举几个例子不

5、？你还能举几个例子不？ 2.为什么这样，你能讲讲道理不？为什么这样，你能讲讲道理不？如何看待教材列出来的算式？如何看待教材列出来的算式？我学会了抽屉原则我学会了抽屉原则抽屉原理 1. 把把7个苹果放入个苹果放入6个抽屉里，总有一个抽个抽屉里，总有一个抽屉至少有屉至少有_个苹果。个苹果。 2. 2016的倍数中，有没有这样的数，它的各的倍数中，有没有这样的数，它的各个数位上的数字要么为个数位上的数字要么为0，要么为，要么为1？搭配搭配（三年级）（三年级） 抽屉原理抽屉原理植树问题植树问题种数种数= =衣服数裤子数衣服数裤子数物体数抽屉数物体数抽屉数= =商商余数余数至少数至少数= =商商+1+1

6、植树问题植树问题两端都栽：两端都栽： 棵数棵数= =段数段数+1+1一端栽一端不栽：一端栽一端不栽： 两端都不栽：两端都不栽：封闭图形：封闭图形：植树问题植树问题课前调查（丁丽）课前调查（丁丽）: 120米的路，每米的路，每20米一段，可以分成几段？米一段，可以分成几段？100-99 + 98-97 + 96-95 + 4-3 + 2-1 直接把问题抛给学生，不做任何铺垫，鼓励学生通直接把问题抛给学生，不做任何铺垫，鼓励学生通过画图解决问题！过画图解决问题！例例1.1.在一条长在一条长2020米长的路的一边栽树，每隔米长的路的一边栽树，每隔4 4米栽米栽1 1棵，两端都棵，两端都栽，要栽多少棵

7、？栽，要栽多少棵？4米4米4米4米4米画图的价值： 用画图的方法教植树问题，价值体现在，在你教用画图的方法教植树问题，价值体现在，在你教完以后，他不但植树问题用画图解决，碰到其它新问题完以后，他不但植树问题用画图解决，碰到其它新问题时，他也能勇敢地拿起笔，画画图，去试着解决问题，时，他也能勇敢地拿起笔，画画图，去试着解决问题，而不是等老师来教。而不是等老师来教。 判断一种解题方法优劣的标准：判断一种解题方法优劣的标准： 这种方法是否具有普适性？这种方法是否具有普适性？ 从数学的角度看：从数学的角度看： 什么方法适用面更广，什么方法什么方法适用面更广，什么方法就是好方法。就是好方法。通法为先就是

8、这个意思。通法为先就是这个意思。 这种方法学生是否容易接受和理解？这种方法学生是否容易接受和理解？ 从学生的角度看：什么方法更自然，更容易理解，从学生的角度看：什么方法更自然，更容易理解， 更接近学生的思维水平，起点更低，什么方法就是好方更接近学生的思维水平，起点更低，什么方法就是好方法。法。 猜一猜 枚 举 假 设调调 查：你查：你 喜喜 欢欢 哪哪 一种一种 方方 法？法？鸡兔同笼鸡兔同笼 95% 小学老师喜欢：小学老师喜欢：100% 中学老师喜欢中学老师喜欢： 专家推崇的方法：专家推崇的方法： 学生喜欢哪一种呢？学生喜欢哪一种呢？假设方程列举学生为什么不喜欢枚举法？学生为什么不喜欢枚举法

9、？师：同学们，刚才我们用枚举法解决了鸡兔同笼问题。师：同学们，刚才我们用枚举法解决了鸡兔同笼问题。 你觉得这种方法怎么样？你觉得这种方法怎么样？ （学生停顿）（学生停顿）师：如果题目中的数字还大一些呢？师：如果题目中的数字还大一些呢？生：麻烦，不够简单。生：麻烦，不够简单。师：是的，说得真好。谁还有其它更简单的办法？师：是的，说得真好。谁还有其它更简单的办法？ （由此转入假设法教学）（由此转入假设法教学）问题：问题： 鸡兔同笼鸡兔同笼教学，是不是方法越多越好？教学，是不是方法越多越好？解法一：解法一：84=323226=662=38 3=5解法二：解法二：82=162616=10102=58

10、5=3分析与讨论：分析与讨论： 二年级用乘法解决问题 （2）小路旁有有2 2排树，一排排树，一排6 6棵，一排棵，一排4 4棵。棵。 一共有多少棵树？一共有多少棵树？如何看待算法多样化？如何看待算法多样化？ 4+6=10 24+2=10 26210 3+6+1=10 33+1=10 2+2+2+2+2=10 猜一猜 枚 举 假 设猜一猜猜一猜鸡兔同笼，8个头，26条腿，问鸡兔各有几只？评判标准：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（足，问雉兔各几何？（孙子算经孙子算经）鸡鸡 20， 兔兔 15，鸡鸡 30， 兔兔 5，鸡鸡 25， 兔兔

11、 10，腿腿: 100腿腿: 80腿腿: 90鸡鸡 23， 兔兔 12，腿腿: 94假设法的优势和不足：假设法的优势和不足：优势：优势：不足：不足：评判标准评判标准鸡比兔多鸡比兔多4只，鸡兔的腿共只，鸡兔的腿共38条，鸡、兔各几只？条，鸡、兔各几只？一种处理一种处理“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题的新思路：问题的新思路：双轨迹模型双轨迹模型数学的发现，对解题的理解、研究和讲授数学的发现，对解题的理解、研究和讲授(波利亚）波利亚）CB4A作一个已知三边长度的三角形。（作一个已知三边长度的三角形。（2,3,4）求最大公因数与最小公倍数求最大公因数与最小公倍数求30，105 先写出先写出 30的倍数的倍数：

12、 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240， 再在其中找出再在其中找出105的倍数：的倍数： 210， 4，7，10，13，16，19，22，25，28除以除以7余余3， 一个数除以一个数除以3余余1，除以，除以5余余3，这个数最小是多少？这个数最小是多少？除除以以3余余1的数有：的数有：其中除以其中除以5余余3的数有：的数有：13，28，43，58 ，73，88，103，118其中除以其中除以7余余3的数有：的数有：73一种处理一种处理“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题的新思路：双轨迹模型问题的新思路：双轨迹模型枚举法枚举法问题：问题： 丁老师需要在班上找一位文章写得好，

13、歌唱丁老师需要在班上找一位文章写得好，歌唱得也很棒的同学。她有什么办法呢？得也很棒的同学。她有什么办法呢？鸡、兔各有几只？鸡、兔各有几只？鸡、兔共有鸡、兔共有9 9个头，个头，2828条腿条腿文章写得好，歌唱得也很棒文章写得好，歌唱得也很棒2元纸币和元纸币和5元纸币共元纸币共12张，是张，是39元，两种纸币各几张？元，两种纸币各几张？2元元5元元总值总值012111210394857667584931021111206060575754543939鸡比兔多鸡比兔多4只，鸡兔的腿共只，鸡兔的腿共38条，鸡、兔各几只？条，鸡、兔各几只？思考： 与假设法相比，这种方法有什么优势？评判标准评判标准不要

14、看不起画图！不要看不起枚举！不要看不起凑答案！不要看不起数数！A方法一：应用规律11+ 22 + 33+ 44 + 55 方法二：数出来！11: 25 22： 16 33：44： 55：求下图的周长。求下图的周长。图一11 一个只关注结果，不关注过程的教学，无论效率看一个只关注结果，不关注过程的教学，无论效率看起来多么起来多么“高高”，都不会是一个好的教学。，都不会是一个好的教学。miaosha 学生动手操作了；学生动手操作了； 小组合作探究了；小组合作探究了； 学生意见充分表达了；学生意见充分表达了； 问题最终由学生自己解决了；问题最终由学生自己解决了； 在探究过程中，学生充分思考了。在探究

15、过程中，学生充分思考了。12分钟方案分钟方案 如何实现如何实现12分钟方案向分钟方案向9分钟的方案跨越分钟的方案跨越？改变探究任务。改变探究任务。原任务：探究原任务：探究9 9分钟烙三张饼的方法。分钟烙三张饼的方法。新任务：将新任务：将1212分钟烙三张饼的方案改进为分钟烙三张饼的方案改进为9 9分钟。分钟。小结小结： “数学广角数学广角”中的很多内容其实是不太适合中的很多内容其实是不太适合学生独立探究的。老师在组织学生进行探究的学生独立探究的。老师在组织学生进行探究的过程中，一定要从实际出发，找准着力点。过程中，一定要从实际出发，找准着力点。 抽屉原理抽屉原理探究、发现抽屉原理理解、验证抽屉

16、原理（4,0,0）, （3,1,0） （2,2,0）, （2,1,1）田忌赛马田忌赛马探究获胜策略体会、欣赏获胜策略数与形数与形数与形 思思 考：考： 如何搭建如何搭建“数形结合数形结合”的桥梁？的桥梁？1=( )21+3=( )21+3+5=( )2你能利用规律写一写吗？如果有困难，可以画图来帮助。你能利用规律写一写吗？如果有困难，可以画图来帮助。1+3+5+7=( )21+3+5+7+9+11+13=( )2 _ = 92321观察一下算式和上面的图有什么关系？观察一下算式和上面的图有什么关系？461+3+5+7+9+11+13=( )27 思思 考：考： 如何搭建如何搭建“数形结合数形结

17、合”的桥梁？的桥梁？算两次 !1411111+2481632121811613231321132 “为了得到一个方程为了得到一个方程,我们必须把同一个我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来。量用两种不同的方法表示出来。” 波利亚波利亚 也就是将同一个量也就是将同一个量“算两次算两次”，从而建立，从而建立相等关系，这就是算两次原理，又称相等关系，这就是算两次原理，又称福比尼福比尼原理原理。现有浓度为20%的糖水350克，要把它变成浓度为30%的糖水，需加糖多少克？ 解：设加糖x克。 35020% + x = 30%（350+x） 算两次： _。350+x35020% + x 30% =100

18、%溶液溶液溶质溶质浓度浓度 =100%弦弦 图图另一方面：另一方面：一方面：一方面：计算正方形ABCD的面积，c2214()2abba综合两方面的结果得综合两方面的结果得：a2+b2 = c2另一方面：另一方面：一方面：一方面：考查正方形ABCD的面积，综合两方面的结果得综合两方面的结果得：a2+b2 = c2(a+b)22142abc勾股定理的证明勾股定理的证明 a2+b2 = c2搭配搭配教什么？教什么？有序思考，不重复不遗漏。有序思考，不重复不遗漏。问题：怎样才能做到不重复不遗漏呢？问题：怎样才能做到不重复不遗漏呢？等候时间A：卸完要：卸完要8小时小时B：卸完要：卸完要4小时小时C：卸完要：卸完要7小时小时讨论与交流：（1）可以有哪些卸货的顺序？（2）每种方案总的等候时间是多少？（3）比较每种方法的等候时间总和，最少的就是解决问题的方法。为了表示方便，我们分别用A、B、C表示三艘船，并和学生共同绘制出以下表格：方案方案卸货卸货顺序顺序A