国小数学教材分析

1、1國小數學教材分析 小數的數概念與運算指導教授：葉啓村 學 生：顏宛青學 號：91172112小數報告內容n小數的數概念n小數的加減 n小數乘法 n小數除法 n小數編輯課程理念 3小數的數概念一、小數的源起 人類很晚才有小數的概念，當人們想將印度阿拉伯記數系統由整數推廣至分數情境時，才產生小數的問題，並發展出小數的數概念。所以人們先發展出分數，再透過小數，將分數推廣至印度阿拉伯記數系統。 例：小數2.34，可以記為2+ + ，有人將小數稱為十進分數，視為不帶分母的十進分數。 10310044二、82年教材對小數意義的觀點( (一一) )透過分數來瞭解小數，兩者皆由等分割及合成活動製作而成透過分

2、數來瞭解小數，兩者皆由等分割及合成活動製作而成，如：0.01是的1/100另一種記法，而0.38是38個單位小數0.01合成的結果。 ( (二二) )由印由印阿記數系統的位值概念來瞭解小數阿記數系統的位值概念來瞭解小數，如：0.38是記錄3個0.1和8個0.01的合成結果。 先引入整數及分數的教材，待學童能掌握分數的意義及整數記法的位值概念後，先透過分數概念引入小數的記法，小數0.1是分數1/10的一種記法，小數0.01是分數1/100的另一種記法，再幫助學童類比整數發現小數的記法和整數的記法相同，都滿足位值概念。 小數的數概念5小數的數概念三、為什麼要規定記做0.1 在整數記數系統中，各個相

3、鄰位值間滿足10倍的等比例關係。因此，當我們將印度阿拉伯記數系統由整數推廣至小數時，小數部份也必須滿足左邊位值是相鄰右邊位值十倍的等比例關係。 因為在國小三、四年級的學童沒有自己發現0.1必須是1/10的另一種記法的能力。因此，本教材透過0.1是1/10的一種記法，0.01是1/100另一種記法的約定方式引入單位小數。 6小數的數概念四、小數(分數)問題的分類 本教材過分數概念引入小數，因此在教材的安排上，都是先進分數的活動，再進行相關小數部份的活動。小數教材是類比分數問題的分類方式安排活動。 依問題情境區分為下列三類： 1.連續量情境 2.離散量情境 3.全部為單位量情境 (1)單位分數的內

4、容物為單一個物(2)單位分數的內容物為多個個物(3)單位分數的內容物不是整數個個物7小數的數概念四、小數(分數)問題的分類 在學童尚未發展測量運思以前尚未發展測量運思以前，單位分數的內容物是單一或多個個物，對學童而言有很大的差別，學童在概念上較容易接受內容為單一個物的問題，面對內容物為多個個物則有較多的困難，故將它們當做不同的問題。 分數小數【第四冊】開始進行單位分數內容物為單一個物的分數活動。【第八冊】【第七冊】開始進行單位分數內容物為多個個物的分數活動。【第八冊】【第十冊】本教材預期學童測量運思已逐漸成熟，因此教材將上述兩種問題合併處理，都稱之為單位分數內容物為整數個個單位分數內容物為整數

5、個個物。物。【第九冊】8小數的數概念五、認識一位純小數(沒有位值概念)【三下】1.透過日常生活經驗和學生溝通溝通0.10.1是是1/101/10的另一種記法的另一種記法，讀成零點一，並在連續量連續量及離散量離散量等多種情境中，建立建立0.10.1與與1/101/10兩種記法兩種記法互換的關係。互換的關係。2.再運用0.1與1/10之間關係的類比，學習0.10.9的記法與讀法，進而建立一位純小數的數詞序列。(此時所建立的小數數詞序列，是以0.9為終點)3.在第八冊(四下)，透過類比整數位值概念，才會介紹1.0的意義。在引入0.1-0.9小數數詞序列後，宜運用小數數詞序列的認識，進行計數與做數的活

6、動，以增加一位純小數數詞或數字意義的掌握。1.澄清代表單位小數0.1具體物的意義。2.運用小數數詞序列，進行點數的活動，強調0.1是可以被數的單位。3.保持小數與分數數詞間的聯絡關係。9小數的數概念六、一位帶小數的引入【四下】 帶小數：2.3= 12+0.13 透過1和0.1兩個被計數單位結果的並置，使用小數點， 來區別各個數碼的意義。 討論如何記錄整數整數與一位純小數一位純小數(0.1-0.9)的合成結果合成結果，幫助學童形成一位帶小數的記法帶小數的記法與讀法讀法的共識，並幫助學童掌握一位帶小數詞所描述的意義。 (1)記法：2+0.3應先接受，再透過易於與社會溝通的理由要求記成 2.3。 (

7、2)讀法：引入一位帶小數的讀法，但不宜出現在紙筆測驗中。 (3)做數活動：需限制白色積木不能超過9個的方式，檢查孩童對一 位帶小數數詞的掌握。10小數的數概念七、十分位位名及小數點的引入【四下】 在掌握一位帶小數數詞所描述的意義後，進而在一位帶小數各個數碼意義的討論中，區分個位與十分位，建立定位板，並討論小數點的功能。 在第八冊(四下)時，透過使用一位帶小數一位帶小數記錄數量的過程，引導孩童認識一位帶小數中的各個位名一位帶小數中的各個位名。 例：在4.7中，4是表示4個1，整數記數系統的命名方式，記幾個一的位置仍叫做個位；4.7中的7是表示7個0.1，記幾個0.1的位置叫做十分位。 經過位置的

8、命名活動形成十分位位名的共識後，接著討論如何將記錄整數的定位板擴充，讓擴充後的定位板也能用來記錄一位帶小數。定位板上有無小數點並不重要，但離開定位板後才會突顯小數點的重要，並形成使用小數點來區分小數與整數部份數碼意義的共識。. .叫做小數點，用來區分小數整數的部份。宜記在個位叫做小數點，用來區分小數整數的部份。宜記在個位的右下方。的右下方。11小數的數概念八、如何引入一位小數數詞序列 (0.9的下一個數是什麼) 第一階段第一階段：約定0.1是1/10的一種記法。(三下) 第二階段第二階段：透過分數十分之幾的連絡，或以0.1為計數單位引入 0.1-0.9的讀法及記法，此時的一位小數是分數的一種

9、記法，並沒有位值概念。(三下) 第三階段第三階段：類比帶分數的記法，將整數(3)與一位小數(0.5)合起 來記成3.5，並溝通記錄幾個1的位置是個位，記幾0.1 的位置是十分位，此時一位帶小數已經與整數連結， 有位值概念。(四下) 第四階段第四階段：讓學童重新認識有位值概念的一位純小數。(四下) 第五階段第五階段：類比整數的位值概念，並利用10個0.1合起來和1等價 的性質，透過定位板討論十分位上碼的限制。(四下) 12小數的數概念八、如何引入二位小數數詞序列 (四下) 第一部份第一部份：先透過分數百分之幾的聯絡，認識0.01，以0.01為計數單位，建立0.01-0.09的數字與數詞序列。 第

10、二部份第二部份：透過一位帶小數和0.01-0.09的合成方式，讓二位帶小數與一位帶小數及整數互相聯絡，認識二位帶小數的記法及讀法並認識百分位。(透過定位板的輔助，強調三個被計數單位的相關位置。) 第三部份第三部份：透過兩位帶小數的連絡，以幾個0.1和幾個0.01的合成方式，認識二位純小數的記法和讀法。(強調缺位需要補0與小數點的重要性。) 第四部份第四部份：進行0.1和0.01兩單位間的化聚活動。 第五部份第五部份：以幾十幾個0.01的合成方式，認識0.10-0.99的數字與數詞。(最後再協助將幾十幾個0.01化成幾個0.1和幾個0.01，來滿足位值概念中的數碼限制) 第六部份第六部份：進行二

11、位小數的做數活動。13小數的加、減1.首次做集聚單位。如：0.1。2.不斷複製集聚單位，發現集聚單位彼 此之間都相等，可以點數有有多少個集 聚單位。3.不會混淆兩單位點數的意義。如：0.1和1。(一)單位的概念形成的過程14小數的加、減 第第 一一 種種 策策 略略 第第 二二 種種 策策 略略 透過分數的加減活動來進行小數的加減活動。類比整數成人加減算則，使用多單位策略解決小數的加減活動。82年教材：【第六冊】首引一位小數加減問題時，小數只是分數的另一種記法，並 沒有位值概念，此時學童較可能採用第一種策略的方式解題。【第八冊】再次引入一位小數加減問題時，已能掌握小數的位值概念，能夠將小數視為

12、多個單位合成的結果，此時可要求學童類比整數，使用較有效的成人加減算則解決問題。但學童仍用第一種策略，教師應先接受，再要求並幫助學童使用第二種策略。 15小數的加、減如：2.45+3.52如：2.45+3.522、 、 + 3、 、 5、 、 5.97 5.97 2個1 4個0.1 5個0.01 + 3個1 5個0.1 2個0.01 5個1 9個0.1 7個0.01 104100510510021091007 第一種策略第一種策略 第二種策略第二種策略16小數的加、減第二種策略的發展歷程：1. 一位純小數合成分解：視0.1為可以計數的單位，進行一位純小數合成分解問題的解題活動。(四下)2. 一位

13、帶小數的合成分解：分別在單位分量為單一個物和多個個物下，開始限制使用幾個一幾個0.1加減幾個一幾個0.1的方法，解決一位帶小數的合成分解問題。(四下)、(五上)17小數的加、減進行一位帶小數的合成與分解問題，分三階段進行：1. 解題成功後，要求使用有小數的算式摘要地記錄其解活動與結果。2. 要求使用幾個一幾個0.1加幾個一幾個0.1的方法解題，並要求在定位板上，利用直式記錄其解題活動的過程與結果。3. 方法如2.但不提供定位板， 促進直式記錄的形成。個位十分位342155 3.4+2.1 5.518小數乘法 一、小數的整數倍 二、小數(分數)的小數倍三、小數成人乘法算則 19小數乘法 小小 數

14、數 乘乘 法法 的的 教教 材材 安安 排排 第第 一一 種種 第第 二二 種種 透過分數的乘法活動來進行小數的乘法活動。類比整數乘法算則，幫助學童看到相同數字(不同位值)相乘時位值的變化情形，引入小數的乘法。 本教材認為，國小階段的學童，無法理解第二種方式解題的意義，雖然可以透過模仿或察覺規律算出答案，但無法理解解題活動的意義。故本教材使用第一種方式編寫教材，先進行分數乘法的解題活動後，才會進行相關小數乘法的問題。 20小數乘法一、小數的整數倍(五上、六上) 小數是整數系統的延伸，因此小數也記錄了多單位的合成結果。整數整數是 整數的整數倍整數的整數倍 幾個百幾個十幾個一的合成結果 幾個百幾個

15、十幾個一的幾倍 仿照使用整數的整數倍的解題策略，引導孩子使用如下的方法來解決小數的整數倍問題。 小數小數是 小數的整數倍小數的整數倍 幾個1幾個0.1幾個0.01的合成結果 幾個1幾個0.1幾個0.01的幾倍 21小數乘法一、小數的整數倍 當以多單位運算策略進行解題時，本教材建議使用直式格式直式格式記錄解題過程結果解題過程結果。乘法直式紀錄須符合：(1) 記錄問題的原始條件(2) 解題視窗內須利用位值概念簡化紀錄(3) 解題視窗內各數碼的位值必須以被乘 數中位值為基礎(4) 一個位置記的數字不能超過9備註：由於此時的乘數與積數的單位量並 不相同，因此，記錄乘數時，不須 考慮其位置對齊的問題。

16、1. 2 5 8 8 1 6 4 0 1 0. 0 022小數乘法二、小數(分數)的小數倍(五下)整數的分數倍問題分數的分數倍問題 整數的小數倍問題 小數的小數倍問題 仿整數的分數倍進行的方式，順序如下：1.整數的單位小數倍問題的解題 活動。(324公尺的0.01倍)2.整數的純小數倍問題的解題活 動。(324公尺的0.12倍)3.整數的帶小數倍問題的解題活 動。 (324公尺的2.12倍)仿分數的分數倍活動，進行方式如下：1.一位純小數的一位單位小數倍 問題。(0.2包的0.1倍)2.一位純小數的一位純小數倍問 題。(0.2包的0.4倍)3.一位帶小數的一位單位小數倍 問題。 (1.2包的0

17、.1倍)4.一位帶小數的一位純小數位及 一位帶小數倍問題。 (1.2包的1.1倍)23小數乘法三、小數成人乘法算則 (一)以0.90.46為例，成人是先解決整數乘以整數 (946=414)的問題，再利用m位小數乘以n位小數答 案是(m+n)位小數的口訣將原來整數的答案414改寫 為小數的答案0.414。(甲) (乙) (丙) 但孩童不易判斷在題視窗中的54究竟是代表54、5.4、0.54或0.054？因此這正是目前學童在學習此種紀錄形式時最容易迷失之處。 0 .9 0 .4 6 5 4 3 6 0 .4 1 4 9 4 6 5 4 3 6 4 1 4 0 .9 0 .4 6 0 .0 5 4

18、0 .3 6 0 .4 1 424小數乘法三、小數成人乘法算則 (二)協助學童看得懂成人習慣 的小數乘法直式紀錄，本 教材選擇透過分數的乘法， 來進行說明。小數轉為分 數來進行解題，是解決小 數倍乘法問題策略之一。 透過分數乘法來說明成人習慣的小數乘法直式紀錄，學童可能較易理解成人的直式紀錄中反映了哪些解題活動。0.90.46=1004610910010469414. 0100041425小數乘法三、小數成人乘法算則 (三)學童在面對小數乘法問題的注意事項1. 不宜要求唯一的解題策略，因為學童可以透過不同的 觀點來解決問題。2. 宜接受各種不同的直式紀錄，只要直式紀錄中記錄出問題與解答，解答視

19、窗內能反映重要步驟的結果，並應用位值概念，掌握各步驟的意義，都是合理的記法。3. 進行直式紀錄的討論時，宜注重它所反映的解題過程，及對位值意義的掌握。4. 至於成人所使用之直式算則，是社會中溝通的習慣，經常會遇到，因此希望在多次討論與說明中，協助學童理解它所表達的意義。 26小數除法 一、除法問題的情境 二、當量轉換觀點 三、小數的除法(包含除問題) 四、等分除的小數除法問題 27小數除法一、除法問題的情境 包含除的問題 商是整數商不是整數這類問題情境在日常生活中都是存在的。日常生活中就不易找到這類情境。如：14.4元，每人分3.2元，儘量分完，可以分給多少人？剩下多少元？如：14.4元每人分

20、3.2元，全部分完，可以分給多少人？(不合理)等分除的問題 除數是整數除數不是整數這類問題情境在日常生活中都是存在的。日常生活中就不易找到這類情境。如： 14.4元，平分給3人，一人可以分得多少元？ 如：14.4元，平分給3.2人(不合理)，一人可以分得多少元？ 28小數除法二、當量轉換觀點 在一般的情境中，整數的除法可以用包含除等分除的觀點來理解，但是將除法運算推廣至分數或小數範圍時，上述的觀點已不足以說明除法的意義。 如：如：14.414.4元每人分元每人分3.23.2元，全部分完，可以分給多少人？元，全部分完，可以分給多少人？ 如：如：14.814.8元，平分給元，平分給3.23.2人，

21、一人可以分得多少元？人，一人可以分得多少元？ 如：如：0.20.2公尺長的鐵絲重公尺長的鐵絲重3 3公斤，問公斤，問1 1公尺長的鐵絲重多少公斤？公尺長的鐵絲重多少公斤？無法用包含除或等分除的意義來解釋。因此，需要賦予新的除法意義，本教材選擇將原先單位量轉換的觀點，擴充為當量轉換的觀點，來彌補意義解釋上的不足。在這樣的意義擴充下，原先的三個式子可以改寫為：當量除：單位當量當量數當量值當量除：當量值單位當量當量數 或 當量值當量數單位當量29小數除法二、當量轉換觀點 當量轉換觀點當量轉換觀點與單位量轉觀點單位量轉觀點最大的差異在於： 當量數不一定和新單位數一樣是計數測度。當量轉換觀點當量轉換觀點

22、是單位量轉換觀點意義上的擴充。將當 量數由整數整數數值擴充至小數或分數數值小數或分數數值時，新單位量的操作方式產生質變，此時的當量數不會是計數測度，且應為可被分割的測度為可被分割的測度。新單位量新單位量是一個單位的當量測度數下的量的測度一個單位的當量測度數下的量的測度，稱之為單位當量單位當量。單位當量事實上是兩個測度所聯合的量，其本質是比值，或是密度。30小數除法二、當量轉換觀點 例1：14.4元，每人分3.2元，全部分完，可以分給多少人？例2：14.8元，平分給3.2人，一人可以分得多少元？例3：0.2公尺長的鐵絲重3公斤，問1公尺長的鐵絲重多少公斤？例1：14.4元，每人分3.2元，全部分

23、完，相當於可分給多少人？相當於可分給多少人？例2：14.8元，相當於是相當於是3.23.2人份的錢人份的錢，一人可以分得多少元？例3：0.2公尺長的鐵絲重3公斤，問1公尺長的鐵絲重多少公斤？1.當量數不是計數測度，而是可分割的測度2.例3中的1公尺是一個單位的當量測度3.例3題目的意思可轉換為 0.2個當量數下的當量值為3公斤31小數除法三、小數的除法(包含除問題) 包含除類的小數除法 可能有下列解題策略：例：有14元，每人分3元，儘量分完，可以分給多人？剩下多少元？1.連減策略：14-3=11，11-3=8，8-3=5，5-3=22.先乘後減策略：34=12，14-12=23.換單位策略：有

24、14000元，每人分3000元，儘量分 完，可以分給多少人？剩下多少元？，將問題改為14 個千元，每人分3個千元，儘量分完，可以分給多少人？剩 下多少元？，並使用14 3=42(千元)32小數除法三、小數的除法(包含除問題) 範例：23.6公尺長的繩子，1.4公尺剪成一段，可以剪成幾段？還剩幾公尺？ 連減策略 23.61.422.222.31.420.9 . . .2.61.41.2 先乘後減策略橫式1.4101423.6149.61.468.49.68.41.210616 .106 .234 . 1 14 9 . 6 8 . 6 1 . 2 61633小數除法三、小數的除法(包含除問題) 範

25、例：23.6公尺長的繩子，1.4公尺剪成一段，可以剪成幾段？還剩幾公尺？ 換單位策略 以0.1公尺為新單位，將問題改寫成236個0.1公尺長的繩子，每14個0.1公尺剪成一段，量剪完，可剪成幾段，還剩多少個0.1公尺？橫式2361416.12再將12個0.1公尺改為1.2公尺 6 .234 . 1162361414 96 84 121.2換單位34小數除法四、等分除的小數除法問題 學童解等分除問題時可能有二種題策略：【第一種】是透過一次一人分一個的方式，將等分 除問題轉換為包含除問題後解決問題， 當學童將等分除問題轉換為包含除問題 後，可以用包含除問題的連減策略、先 乘後減策略以及換單位策略解

26、決問題。【第二種】是多單位結構策略，將被除數視為多單 位結構來解決問題。35小數除法四、等分除的小數除法問題 (一)除數為整數例：有一條緞帶長55.3公尺，平分給3位同學，儘量分完， 一人可以分得多少公尺？ 還剩多少公尺？例：有一條緞帶長5.52公尺，平分給3位同學，全部分完， 一人可以分得多少公尺？ 都可以轉換成包含除問題轉換成包含除問題後解題，也可以用多單位結構策略多單位結構策略解題。36小數除法四、等分除的小數除法問題 (一)除數為小數 (此類問題對國小學童而言相當困難)例：袋子裡的米重6.5公斤，相當於3.25人份的量，一人份 的米是多少公斤？教材編寫的方式有三種：第一種：轉換成包含除

27、的策略第一種：轉換成包含除的策略，由於單位不同，語意需轉換 成包含除的語意一人輪分1公斤，因此一輪分用 去3.25公斤，因此可使用連減策略、先乘後除策略 或同時換單位策略。37小數除法四、等分除的小數除法問題 (一)除數為小數 (此類問題對國小學童而言相當困難)例：袋子裡的米重6.5公斤，相當於3.25人份的量，一人份 的米是多少公斤？教材編寫的方式有三種：第二種：使用多單位結構策略解題第二種：使用多單位結構策略解題 由於國小學童無法掌握等分成非整數份的意義，不易處理。38小數除法四、等分除的小數除法問題 (一)除數為小數 (此類問題對國小學童而言相當困難)例：袋子裡的米重6.5公斤，相當於3

28、.25人份的量，一人份 的米是多少公斤？教材編寫的方式有三種：第三種：透過等比例放大的策略解題第三種：透過等比例放大的策略解題 將被除數及除數同時乘以100倍，將原問題轉換為新問題袋子裡的米重650公斤，相當於325人份的量， 一人份的米是多少斤？後解題。學童可以透過模仿或察覺規律算出答案，但是無法瞭解解題活動的意義。39一、一位純小數一、一位純小數( (沒有位值概念沒有位值概念) )的概念與合成、分解【三下】的概念與合成、分解【三下】(一) 一位純小數數字與數詞序列(沒有位值概念)的引入(二) 連續量情境下一位純小數的合成與分解(和數、被減數均1)(三) 離散量情境下一位純小數的合成與分解活

29、動(單位小數0.1的內容物為單一個物，且和數、被減數均1)二、一位小數二、一位小數( (有位值概念有位值概念) )的數概念的數概念( (單位小數單位小數0.10.1的內容物為單一個物的內容物為單一個物) ) 【四下】【四下】(一)一位帶小數的引入(單位小數0.1所指示的內容物為單一個物)(二)1與0.1兩單位間的化聚活動(單位小數0.1所指示的內容物為單一個物)(三)1.0的引入三、一位小數三、一位小數( (有位值概念有位值概念) )的數概念的數概念( (單位小數單位小數0.10.1的內容物為多個個物的內容物為多個個物) ) 【四下】【四下】、【五上】、【五上】(一)一位純小數再探(單位小數0

30、.1的內容為單一個物)(二)一位帶小數再探(單位小數0.1的內容為多個個物)四、一位小數的合成與分解四、一位小數的合成與分解( (單位小數單位小數0.10.1內容物為整數個個物內容物為整數個個物) ) 【四下】、【五上【四下】、【五上】(一)一位純小數的合成與分解(單位小數0.1的內容為多個個物)(二)一位帶小數的合成與分解活動(單位小數0.1所指示的內容物為單一個物)(三)一位帶小數的合成、分解(單位小數0.1所指示的內容物為多個個物)小數編輯課程理念 40五、二位小數的數概念五、二位小數的數概念( (單位小數單位小數0.010.01的內容物為單一個物的內容物為單一個物) ) 【四下】【四下

31、】(一)0.010.09數字與數詞序列(單位小數0.01所指示的內容物為單一個物)(二)兩位帶小數的認識(單位小數0.01所指示的內容物為單一個物)(三)兩位純小數的認識(單位小數0.01所指示的內容物為單一個物)(四)0.1和0.01兩單位間的化聚活動(單位小數0.01所指示的內容物為單一個物)(五)0.100.99數字與數詞序列(以幾十幾個0.01的合成方式) (單位小數0.01所指示的內 容物為單一個物)(六)兩位小數的做數活動(單位小數0.01所指示的內容物為單一個物)六、二位小數六、二位小數( (有位值概念有位值概念) )的數概念的數概念( (單位小數單位小數0.010.01的內容物為多個個物的內容物為多個個物) ) 【五上】【五上】七、二位小數的合成與分解七、二位小數的合成與分解( (單位小數單位小數0.010.01內容物為整數個個物內容物為整數個個物) ) 【四下】、【五上】【四下】、【五上】(一)以0.01為被計數單位的合成分解(單位小數0.01的內容物為整個個物)(二)二位小數的合成與分解(單位小數0.01的內容物為單一個物)(三)二位小數的合成與分解(單位小數0.01的內