核心概念、思想方法教学(人民教育出版社中学数学室-章建跃)

1、聚焦数学核心概念、思想方法聚焦数学核心概念、思想方法的课堂教学设计的课堂教学设计人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃一、我们面临的现实一、我们面临的现实 课改迅猛推进课改迅猛推进 亟待解决的问题多多：新课程提倡的理亟待解决的问题多多：新课程提倡的理念难把握；新教材的改革设计难适应；念难把握；新教材的改革设计难适应；教学方式、学习方式的变革难跟上；课教学方式、学习方式的变革难跟上；课程改革与考试评价制度的改革不配套；程改革与考试评价制度的改革不配套；等。等。二、教学层面的问题二、教学层面的问题 课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数

2、学思想主线，在学生没有基致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下双低下”。学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。学基础仍很脆弱。 我国数学教学质量滑坡的现象并没有随课改而我国数学教学质量滑坡的现象并没有随课改而得到改观，而是越来越严重了。

3、得到改观，而是越来越严重了。例例1 1 “平方根平方根”中的不当问题中的不当问题 是近似值，无法在数轴上表示准确。是近似值，无法在数轴上表示准确。 带根号的数和分数统称实数。带根号的数和分数统称实数。 数轴上任意两点之间都有无数个点。数轴上任意两点之间都有无数个点。 若若a|b|，则，则a2b2。 的整数部分和小数部分分别是的整数部分和小数部分分别是m，n，求求mn。22三、教师层面的问题分析三、教师层面的问题分析 对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织对数学课程、教材的体系结构、内容及其组织方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和方式把握不准，特别是对中学数学核心概念和思想方法的体系结构缺

4、乏必要的了解；思想方法的体系结构缺乏必要的了解； 对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；反映的思想方法的理解水平不高； 只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学只能抽象笼统地描述数学教学目标，导致教学措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中措施无的放矢，对是否已经达成教学目标心中无数；无数； 对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不对自己设计的教学方案不能取得预期效果，不能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把能从设计层面给出令人信服的解释，往往只把问题归咎于教学系统的复杂性；问题归咎于教学系统的复杂性； 缺乏有效的发现、

5、分析和解决教学问题的方法，缺乏有效的发现、分析和解决教学问题的方法，往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者往往感到教学问题的存在而不知其所在，或者发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及发现了问题而找不到原因，甚至发现了问题及其根源也找不出解决问题的有效方法；其根源也找不出解决问题的有效方法； 采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机采取的教学方法、策略和模式都比较单一，机械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏械地套用一些已有的解决教学问题方案，缺乏根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的根据教学问题和教学条件创建解决教学问题的新方法。新方法。 四、努力的方向四、努力的方向专业化专业化数学

6、学科的专业素养数学学科的专业素养 有较好的数学功底（教好数学的前提是有较好的数学功底（教好数学的前提是自己先学好数学），对数学内容所反映自己先学好数学），对数学内容所反映的思想、精神有深入的体会和理解；懂的思想、精神有深入的体会和理解；懂得哪些数学知识对学生的发展具有根本得哪些数学知识对学生的发展具有根本的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的的重要性；具有揭示数学知识所蕴含的科学方法和理性思维过程的能力和科学方法和理性思维过程的能力和“技技术术”；等。；等。 教育学科的专业素养：教育学科的专业素养： 一个人的可持续发展，不仅要有扎实的一个人的可持续发展，不仅要有扎实的双基，而且要有积极的生活态度、

7、主动双基，而且要有积极的生活态度、主动发展的需求、终身学习的愿望、热情、发展的需求、终身学习的愿望、热情、能力和坚持性、健康向上的人生观和价能力和坚持性、健康向上的人生观和价值观。教师在这些方面对学生的影响力，值观。教师在这些方面对学生的影响力，就是教师的教育学科专业素养的最重要就是教师的教育学科专业素养的最重要指标。指标。 “两个素养两个素养”的结合的结合 善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削善于抓住数学的核心概念和思想方法，懂得削枝强干；对数学知识中蕴含的价值观资源特别枝强干；对数学知识中蕴含的价值观资源特别敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展相敏感，有挖掘这些资源并用与学生身心发展

8、相适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价适应的方式表述的能力，使数学知识教学与价值观影响有机整合；方法多样、有趣味、少而值观影响有机整合；方法多样、有趣味、少而精；能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学精；能有效激发学生的学习兴趣，发挥学生学习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动习的主动性、积极性，使学生有效学习、主动发展，使他们不仅学业成就得到提高，而且发发展，使他们不仅学业成就得到提高，而且发展均衡。展均衡。 五、数学课堂教学五、数学课堂教学教什么教什么 构建反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认构建反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的中学数学核心概念、思想方法结构体知规律的中学数

9、学核心概念、思想方法结构体系，并使核心概念、思想方法在数学课堂中得系，并使核心概念、思想方法在数学课堂中得到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突到落实，是提高数学课堂教学质量和效益的突破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手。因破口，同时也是数学课堂教学改革的抓手。因为使学生真正领会和把握数学概念的核心，领为使学生真正领会和把握数学概念的核心，领悟概念所反映的数学思想方法，学会数学地思悟概念所反映的数学思想方法，学会数学地思维，才能形成功能强大的数学认知结构，切实维，才能形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养。发展数学能力，提高数学素养。 例例2 2 代数的核心概念、思想方法

10、代数的核心概念、思想方法 有系统、有效力地运用数系的加、乘和有系统、有效力地运用数系的加、乘和指数运算的运算律，去解决各种各样的指数运算的运算律，去解决各种各样的代数问题：代数问题： 各种式（整式、分式、根式等）的运算各种式（整式、分式、根式等）的运算用运算律进行用运算律进行“等价变换等价变换”； 方程方程未知数、已知数之间的特定代未知数、已知数之间的特定代数关系；解方程数关系；解方程由代数方程式确定由代数方程式确定其中的其中的“未知数未知数”的值；的值； 解方程的基本原理：运算律对任何数都解方程的基本原理：运算律对任何数都成立（通性），所以对成立（通性），所以对“未知数未知数”也成也成立、可

11、用。有系统地用运算律化简所给立、可用。有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数的方程，从而确定其中的未知数化化未知为已知。未知为已知。 一元一次方程是基础，其它都设法向它一元一次方程是基础，其它都设法向它转化。转化。 许多问题是在引进字母表示数时才水到许多问题是在引进字母表示数时才水到渠成地提出来的渠成地提出来的从处理单个的数到从处理单个的数到处理一类问题。处理一类问题。 从代数式（符号代表数）、方程（符号从代数式（符号代表数）、方程（符号代表未知数）到函数（符号代表变数）代表未知数）到函数（符号代表变数）是一个飞跃，这是看问题角度的根本变是一个飞跃，这是看问题角度的根本变化化从变

12、化过程中考察规律，函数是从变化过程中考察规律，函数是研究变化规律的。研究变化规律的。 一次函数一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映的变化规律由谁反映不仅明确不仅明确x，y的意义，而且明确的意义，而且明确k，b的意义的意义变化规律由变化规律由k，b决定。决定。 其他函数也类似。其他函数也类似。六、基于概念的核心、思想方法六、基于概念的核心、思想方法的教学设计框架的教学设计框架1 1教学设计的基本线索教学设计的基本线索 概念及其解析（概念的核心）；概念及其解析（概念的核心）； 目标和目标解析；目标和目标解析； 教学问题诊断（达成目标已有条件和需教学问题诊断（达成目标已有条件和需要的新条件的分析）

13、；要的新条件的分析）； 教学过程设计；教学过程设计； 目标检测的设计。目标检测的设计。 2 2概念和概念解析概念和概念解析 概念：内涵和外延的准确表达；概念：内涵和外延的准确表达； 概念解析：重点是在揭示内涵的基础上概念解析：重点是在揭示内涵的基础上说明概念的核心之所在；对概念在中学说明概念的核心之所在；对概念在中学数学中的地位的分析，对内容所反映的数学中的地位的分析，对内容所反映的思想方法的明确。在此基础上确定教学思想方法的明确。在此基础上确定教学重点。重点。例例2 2 “三线八角三线八角”概念的核心概念的核心定义：定义： “两条直线两条直线”被被“第三条直线所截第三条直线所截”，得到八个角

14、。得到八个角。 对顶角、内错角、同位角、对顶角、内错角、同位角、同旁内角，都是关于一对角同旁内角，都是关于一对角的位置关系；的位置关系；关键是：根据结构特征进行分类。关键是：根据结构特征进行分类。例例3 3 一元二次方程一元二次方程 知识：概念（未知数、系数）；解法和知识：概念（未知数、系数）；解法和公式公式通法；判别式通法；判别式解的情况解的情况（通性）；根与系数的关系（通性）；根与系数的关系通性。通性。 思想方法：等价转化（配方法）；化归思想方法：等价转化（配方法）；化归思想：二次化一次（因式分解、开方等思想：二次化一次（因式分解、开方等运算）；对方程的根、系数之间关系进运算）；对方程的根

15、、系数之间关系进行研究的思想行研究的思想方法论层次。方法论层次。3 3目标和目标解析目标和目标解析 目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶目标是教学目的的具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标段所要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。准。 目标：用了解目标：用了解及行为动词经历及行为动词经历表述目表述目标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做标；阐明经过教学，学生将有哪些变化，会做哪些以前不会做的事。哪些以前不会做的事。 目标解析：解析了解、理解、掌握、经历、体目标解析：解析了解、理解、掌握、经历、体验、探究等的含义。特别注意对概念所反映的验、探究等的含义。特别注

16、意对概念所反映的数学思想方法的解析。数学思想方法的解析。例例4 4 “三线八角三线八角”的教学目标的教学目标目标：目标： 识别同位角识别同位角（课标）。（课标）。目标解析：目标解析： 正确地分析图形的结构特征，从中找到正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线两条直线”和和“第三条直线第三条直线”，确定角，确定角的关系（同位角、内错角、同旁内角）。的关系（同位角、内错角、同旁内角）。 以以“结构特征结构特征”为依据，对角进行分类，为依据，对角进行分类，确定角的特定关系的思想方法。确定角的特定关系的思想方法。例例5 5 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 目标：掌握一元二次方程的解法。目标：

17、掌握一元二次方程的解法。 解析：（解析：（1）能用具体的方法，如开方法）能用具体的方法，如开方法、因式分解法、配方法、公式法等解方、因式分解法、配方法、公式法等解方程；（程；（2）能用等价转化（如）能用等价转化（如x2=a、(xx1) (xx2)=0等）、化归（通过代数运算等）、化归（通过代数运算转化方程，化未知为已知）等探究一元转化方程，化未知为已知）等探究一元二次方程的解。二次方程的解。例例6 6 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 目标：掌握一元二次方程根的判别式。目标：掌握一元二次方程根的判别式。 解析：解析：对对“掌握掌握”的内涵作具体界定。的内涵作具体界定。（1）在用配方

18、法推导求根公式的过程中，理解）在用配方法推导求根公式的过程中，理解判别式的结构和作用；判别式的结构和作用；（2）能用判别式判断数字系数的一元二次方程）能用判别式判断数字系数的一元二次方程根的情况；根的情况；（3）能用判别式判断字母系数的一元二次方程）能用判别式判断字母系数的一元二次方程根的情况；根的情况；（4）能应用判别式解决其他情境中的问题。）能应用判别式解决其他情境中的问题。例例7 7 根与系数的关系根与系数的关系 目标：掌握一元二次方程根与系数的关系。目标：掌握一元二次方程根与系数的关系。 解析：解析：（1 1）提出问题的方法）提出问题的方法根的个数、符号、根根的个数、符号、根和根之间的

19、关系、根和系数的关系（根由系数和根之间的关系、根和系数的关系（根由系数唯一确定、具体关系的探究）、由根作新的方唯一确定、具体关系的探究）、由根作新的方程（解方程的反问题）、根程（解方程的反问题）、根多项式的因子多项式的因子；（2 2）通过运算所发现的规律）通过运算所发现的规律代数的基本方代数的基本方法；等等。法；等等。教学目标的三层级模型教学目标的三层级模型第一层级第一层级 主成分：以记忆为主要标志主成分：以记忆为主要标志, ,培养的是以记忆为主的基本能力。培养的是以记忆为主的基本能力。 测试：基本事实、方法的记忆水平。测试：基本事实、方法的记忆水平。 标准：获得的知识量以及掌握的准确性。标准

20、：获得的知识量以及掌握的准确性。第二层级第二层级 主成分：以理解为主要标志，培养的是主成分：以理解为主要标志，培养的是以理解为主的基本能力；以理解为主的基本能力； 测试：能否顺利地解决常规性、通用性测试：能否顺利地解决常规性、通用性问题，包括能否满意地解决综合性问题；问题，包括能否满意地解决综合性问题； 标准：运用知识的水平，如正确、敏捷、标准：运用知识的水平，如正确、敏捷、灵活、深刻等。灵活、深刻等。第三层级第三层级 主成分：以探究为主要标志，培养以评主成分：以探究为主要标志，培养以评判为主的基本能力；判为主的基本能力； 测试：能否对解决问题的过程进行反思，测试：能否对解决问题的过程进行反思

21、，即检验过程的正确性、合理性及其优劣；即检验过程的正确性、合理性及其优劣； 标准：思维的深刻性、批判性、全面性、标准：思维的深刻性、批判性、全面性、独创性等。独创性等。4 4教学问题诊断分析教学问题诊断分析 教师根据自己以往的教学经验，数学内教师根据自己以往的教学经验，数学内在的逻辑关系以及思维发展理论，对本在的逻辑关系以及思维发展理论，对本内容在教与学中可能遇到的障碍进行的内容在教与学中可能遇到的障碍进行的预测，并对出现障碍的原因进行分析。预测，并对出现障碍的原因进行分析。在上述分析的基础上指出教学难点。在上述分析的基础上指出教学难点。 例例8 8 “三线八角三线八角”中的难点中的难点 学生

22、初次接触平面几何关于位置关系、学生初次接触平面几何关于位置关系、大小度量的讨论，在思想方法上存在困大小度量的讨论，在思想方法上存在困难外，对于认识几何问题的一般程序也难外，对于认识几何问题的一般程序也存在困难。复杂的图形会使学生感到无存在困难。复杂的图形会使学生感到无从下手。从下手。 教学难点：对图形结构特点的理解并正教学难点：对图形结构特点的理解并正确地对角分类；在具体（变式）图形中确地对角分类；在具体（变式）图形中正确找出有关的角。正确找出有关的角。 B和和BCE可以看成是直线可以看成是直线 ， 被被直线直线 所截得的所截得的 角；角；B和和BCD可可以看成是直线以看成是直线 ， 被直线被

23、直线 所截得所截得的的 角。角。 B E A C D例例9 9 一元二次方程中的难点一元二次方程中的难点 真正的难点还是在思想方法上：等价转真正的难点还是在思想方法上：等价转化（配方法）；化归思想：二次化一次化（配方法）；化归思想：二次化一次（因式分解、开方等运算）；对方程的（因式分解、开方等运算）；对方程的根、系数之间关系进行研究的思想根、系数之间关系进行研究的思想如何提出研究的问题；分类讨论思想。如何提出研究的问题；分类讨论思想。 具体操作上：由平方根概念所附带产生具体操作上：由平方根概念所附带产生的难点。的难点。4 4教学支持条件分析教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，根据问题诊断为

24、了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，分析应当采取哪分析和学习行为分析，分析应当采取哪些教学支持条件，以帮助学生更有效地些教学支持条件，以帮助学生更有效地进行数学思维，使他们更好地发现数学进行数学思维，使他们更好地发现数学规律。当前，可以适当地侧重于信息技规律。当前，可以适当地侧重于信息技术的使用，以构建有利于学生建立概念术的使用，以构建有利于学生建立概念的的“多元联系表示多元联系表示”的教学情境。的教学情境。 5 5教学过程设计教学过程设计 强调教学过程的内在逻辑线索；强调教学过程的内在逻辑线索； 给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概给出学生思考和操作的具体描述；突出核心概

25、念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法念的思维建构和技能操作过程，突出思想方法的领悟过程分析；的领悟过程分析； 以以“问题串问题串”方式呈现为主，应当认真思考每方式呈现为主，应当认真思考每一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要一问题的设计意图、师生活动预设，以及需要概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能概括的概念要点、思想方法，需要进行的技能训练，需要培养的能力，等；训练，需要培养的能力，等； 根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决根据内容特点设计教学过程，如基于问题解决的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设的设计，讲授式教学设计，自主探究式教学设计，合作交流式教学设计，等。计，合作

26、交流式教学设计，等。 例例10 10 “三线八角三线八角”的教学过程的教学过程 问题问题1 1 （1 1）请回顾一下角的概念。（）请回顾一下角的概念。（2 2）对顶角、邻补角是怎样形成的？我们是对顶角、邻补角是怎样形成的？我们是怎样研究它们的性质的？怎样研究它们的性质的？ 设计意图：强调从结构特征、讨论问题设计意图：强调从结构特征、讨论问题的思想方法等角度，对已有知识进行复的思想方法等角度，对已有知识进行复习回顾，为新知识的学习提供借鉴。习回顾，为新知识的学习提供借鉴。 先行组织者：两条直线相交形成四个角，先行组织者：两条直线相交形成四个角，它们的关系（性质）已经清楚（特例是它们的关系（性质）

27、已经清楚（特例是垂直）。接下来可以研究一条直线与两垂直）。接下来可以研究一条直线与两条直线分别相交，可以得到哪些角，它条直线分别相交，可以得到哪些角，它们又有什么关系（性质）。们又有什么关系（性质）。 意图：提出问题的方法、研究思路的引意图：提出问题的方法、研究思路的引导。导。 问题问题2：画出一条直线与两条直线分别相：画出一条直线与两条直线分别相交的图形。共得到几个角？你知道其中交的图形。共得到几个角？你知道其中哪些角的关系？哪些角的关系？ 设计意图：培养学生画图的习惯；分析设计意图：培养学生画图的习惯；分析出需要研究的新问题（思维的逻辑性）。出需要研究的新问题（思维的逻辑性）。 问题问题3

28、：我们没有研究过的是哪些角的关：我们没有研究过的是哪些角的关系？如何把这些角分类？系？如何把这些角分类？ 1 2 设计意图：引导学生学设计意图：引导学生学 3 4 习根据一定标准分类的研习根据一定标准分类的研 5 6究方法。究方法。 7 8 问题问题4：如图，直线：如图，直线AB，CD被直线被直线EF所所截。截。1与没有公共定点的与没有公共定点的 5，6， 7，8的关系可以怎样描述？可分为的关系可以怎样描述？可分为几类？几类？ 设计意图：让学生自己描述这些角的结设计意图：让学生自己描述这些角的结构特征，并分类。构特征，并分类。 E B 说明：本问题是本课说明：本问题是本课 A 1的关键，可多给

29、时间，的关键，可多给时间， 5 6教师可在确定分类标准教师可在确定分类标准 C 7 8 D上给予引导。上给予引导。 F 问题问题5 5：图中，（：图中，（1 1）与）与1 1、5 5具有相具有相同位置关系的角还有哪几对？（同位置关系的角还有哪几对？（2 2）还有）还有哪几对角的位置关系是问题哪几对角的位置关系是问题4 4中没有包括中没有包括的？的？ 设计意图：从图中识别同位角，及时巩设计意图：从图中识别同位角，及时巩固概念；引导学生观察图形，从分类角固概念；引导学生观察图形，从分类角度认识内错角、同旁内角概念。度认识内错角、同旁内角概念。 可以安排让学生找出所有内错角、同旁可以安排让学生找出所有内错角、同旁内角的活动。内角的活动。 教科书只叙述了事实，给了名字。数学教科书只叙述了事实，给了名字。数学思想方法没有明确思想方法没有明确要学生自己悟。要学生自己悟。 例题：例题： 主要是通过图形变式，让学生在逐渐复主要是通过图形变式，让学生在逐渐复杂的图形中识别有关