第7章题目 刚体力学gai

1、第七章第七章 刚体力学刚体力学刚体平面运动的解题步骤：刚体平面运动的解题步骤：1. 求刚体受力的情况求刚体受力的情况 (1) 利用质心运动定理列出利用质心运动定理列出刚体平面运动的刚体平面运动的两个方程两个方程ciamF (2) 利用刚体绕质心轴转动定利用刚体绕质心轴转动定律列出方程律列出方程IMi (3) 利用约束关系利用约束关系 Rac 2. 求刚体运动速度及角速度求刚体运动速度及角速度（1）利用刚体平面运动）利用刚体平面运动的动能定理的动能定理(2) 利用约束关系利用约束关系)(222121ccImvA外外Rvc 第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题1如图，固定斜面倾角为如图，固定斜面

2、倾角为 ，质量为，质量为 m 半径为半径为 R 的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的加速度加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力及斜面作用于柱体的摩擦力F .x yOCx y 解解NFFW根据质心运动定理根据质心运动定理camFWF Ny 轴上投影轴上投影cmaFW sin对质心轴的转动定理对质心轴的转动定理 Rac sin31 sin32mgFgac 221mRIFR 无滑滚动无滑滚动 第七章第七章 刚体力学刚体力学例例2质量为质量为m的汽车在水平路的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转面上急刹车，前后轮均停止转动动. 前后轮相距前

3、后轮相距L，与地面的摩，与地面的摩擦因数为擦因数为 .汽车质心离地面高汽车质心离地面高度为度为h，与前轮轴水平距离为，与前轮轴水平距离为l .求前后车轮对地面的压力求前后车轮对地面的压力.解解 汽车受力如图汽车受力如图. 根据质心运动定理根据质心运动定理OCxyx y 1F2F1NF2NFcamFFFFW212N1N02N1N WFFy 轴投影轴投影2N21N1 FFFF 0)()(1N2N21 lFlLFhFF对质心轴的转动定理对质心轴的转动定理LhlmgFLhlLmgF/ )(/ )(2N1N 由上面方程可解出由上面方程可解出根据牛顿第三定律，前根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小后轮

4、对地面的压力大小分别为分别为FN1、FN2 ，但，但方向向下方向向下.W第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题3 在例题在例题1中，设圆柱体中，设圆柱体自静止开始滚下，求质心下落自静止开始滚下，求质心下落高度高度 h 时，圆柱体质心的速率时，圆柱体质心的速率.x yOCx y NFFW解解 因为是无滑滚动，静摩因为是无滑滚动，静摩擦力擦力F 不做功，重力不做功，重力W做功，做功，由动能定理有由动能定理有.2224121 mRmvc Rvc ghvc332 222)21(2121 mRmvmghc 无滑滚动条件无滑滚动条件sin32gac sin)sin32(212tgh tgvc)sin32(

5、 gh332 第七章第七章 刚体力学刚体力学7.6 刚体的平衡条件刚体的平衡条件 0 izM0 iF刚体平衡的充要条件刚体平衡的充要条件（一般指刚体静止）（一般指刚体静止）共面力系共面力系 所有力的作用线位于同一平面内所有力的作用线位于同一平面内（Oxy）. .第七章第七章 刚体力学刚体力学 0 ixF（1） 对对共面力共面力系系, 在直角坐标系在直角坐标系O-xyz中平衡条件化为中平衡条件化为 Fiy0 0 izM刚体平衡条件的其它形式刚体平衡条件的其它形式0 izM0 iF是力对是力对z轴力矩的代数和为零轴力矩的代数和为零, z是垂直于是垂直于Oxy面的任意轴面的任意轴. 0 ixF 0

6、izM 0 z iM(2) 在力在力(共面力共面力)的作用平面内选的作用平面内选O和和O 两个参考点，两个参考点，OO 连线不与连线不与Ox轴相互垂直轴相互垂直. 0 izM 0 z iM 0 z iM(3) 在力在力（共面力）（共面力）的作用平面内选的作用平面内选O、O 和和O 三个参考点，三个参考点，O、O 和和O 三点不共线三点不共线第七章第七章 刚体力学刚体力学刚体平衡条件刚体平衡条件 0 ixF Fiy0 0 izM0 izM0 iF 0 ixF 0 izM 0 z iM(3) 0 izM 0 z iM 0 z iM(2)(1)(4)任意力任意力共面力共面力共面力共面力共面力共面力不

7、垂直不垂直不共线不共线第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题将长为将长为l ,质量为质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下的均匀梯子斜靠在墙角下,已知梯子与已知梯子与墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分别为墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分别为 1 和和 2 ，为使质，为使质量为量为m2 的人爬到梯子顶端时的人爬到梯子顶端时,梯子尚未发生滑动梯子尚未发生滑动.试求梯子与地试求梯子与地面间的最小夹角面间的最小夹角.1fFN1F2NFm1g2N22fFF 解解平衡条件平衡条件 0)(122N1f gmmFF02f1N FFlO2fF1N11fFF 联立求解得：联立求解得：点点对对O0sincosc

8、os2cos1N1f12 lFlFlgmglm )(22)1(tan12222111minmmmm gm2第七章第七章 刚体力学刚体力学1.刚体定轴转动几个重要定理和定律刚体定轴转动几个重要定理和定律质心运动定理质心运动定理转动定律转动定律动能定理动能定理 2122212121IIdMAz常量常量zzZI M, 0角动量守恒定律角动量守恒定律ciamFIMi第七章第七章 刚体力学刚体力学3.刚体平面运动几个定理和定律刚体平面运动几个定理和定律质心运动定理质心运动定理ciamF转动定律转动定律IMi动能定理动能定理 )(222121ccImvA外外2.刚体的质心和定轴转动的转动惯量的计算刚体的质

9、心和定轴转动的转动惯量的计算）；线线；面面（体体lmSmVm mrIddddddd2MMcmmxxddMMcmmyyddMMcmmzzdd转动惯量的其它计算方法转动惯量的其它计算方法第七章第七章 刚体力学刚体力学4. 刚体平衡条件刚体平衡条件 0 ixF Fiy0 0 izM0 izM0 iF 0 ixF 0 izM 0 z iM(3) 0 izM 0 z iM 0 z iM(2)(1)(4)任意力任意力共面力共面力共面力共面力共面力共面力不垂直不垂直不共线不共线第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题1 求质量均匀，半径为求质量均匀，半径为R的半球的质心位置的半球的质心位置.解解 设半球的密度

10、为设半球的密度为 ，将半球分割成许多厚为，将半球分割成许多厚为dx的圆片，任取其一体积元的圆片，任取其一体积元xdxRxdyVd)(222R833/2)(3022RxdxRxR332RV VVdxxVc由对称性得由对称性得 0cczyxROyzyxxd第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题2 在半径为在半径为R的均质等厚大圆板的一侧的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为挖掉半径为R/2的小圆板的小圆板,大小圆板相切大小圆板相切,如图如图所示所示.求余下部分的质心求余下部分的质心.xyO解解 建立坐标系如图，设平板面建立坐标系如图，设平板面密度为密度为 ,由对称性，由对称性，yc= 0 余下部分余下部

11、分2141Rm2/1Rxc2243Rm22224/32/410RxRRRc62Rxc小圆板小圆板iiicmxmx0cx2Rm大圆板大圆板?2cx第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题3一圆盘形均质飞轮质量为一圆盘形均质飞轮质量为m=5.0kg，半径为，半径为r=0.15m,转速为转速为n=400r/min.飞轮作匀速转动飞轮作匀速转动.飞轮飞轮质心距转轴质心距转轴d=0.001m，求飞轮作用于轴承的压力，求飞轮作用于轴承的压力.计入飞轮质量但不考虑飞轮重量（这意味着仅计计入飞轮质量但不考虑飞轮重量（这意味着仅计算由于飞轮的转动使轴承受到的压力，不考虑飞算由于飞轮的转动使轴承受到的压力，不考虑飞

12、轮所受重力对该压力的影响）轮所受重力对该压力的影响）.rad/s rad/sn9 .41301416. 340030 解解 根据质心运动定理根据质心运动定理N NdmF8 . 8001. 09 .410 . 522第七章第七章 刚体力学刚体力学例例1一匀质细棒的质量为一匀质细棒的质量为M，长为，长为L，转轴通过，转轴通过棒上离中心为棒上离中心为D的一点并与棒垂直，求细棒对的一点并与棒垂直，求细棒对给定转轴的转动惯量。给定转轴的转动惯量。xdmx解：由题意可给出右图解：由题意可给出右图LOL/2-DcD DLDLDOLD取一质量元取一质量元dm，设，设=M/L，建立坐标系如图，建立坐标系如图，

13、质量元的质量元的长度为长度为dx。=dx由转动惯量定义有，由转动惯量定义有，dxxIDLDL2/)2/(22.2 转动惯量的计算举转动惯量的计算举例例第七章第七章 刚体力学刚体力学dxxIDLDL2/)2/(22332121121MDMLDLLxdmxLOL/2-DcD DLDLDOLD= dx22121MDMLI讨论讨论（1）当）当D=0时时2121MLI （2）当）当D=L/2时时231MLI 第七章第七章 刚体力学刚体力学例例2(1)求薄圆环求薄圆环(m,R)过环心且与环面垂直的转过环心且与环面垂直的转轴的转动惯量轴的转动惯量 .（薄圆柱环）（薄圆柱环）2mRI (2) 求圆柱环求圆柱环

14、(m,R1, R2)对柱环体轴线的转动惯量对柱环体轴线的转动惯量 .(3) 求圆柱体求圆柱体(m,R)对柱体轴线的的转动惯量对柱体轴线的的转动惯量 .rdrxyz 解解 盘由许多薄环柱组成盘由许多薄环柱组成 mdrId22121222RRRRrdhrrmdrI2132RRrdrh)(21)(21212221222122RRmRRRRh第七章第七章 刚体力学刚体力学【例例3】一匀质球壳的质量为一匀质球壳的质量为M，内半径为，内半径为R0，外，外半径为半径为R，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。解：球壳的体积为解：球壳的体积为质量体密度为质量体密度为如图示，在球

15、壳中取一体积元，如图示，在球壳中取一体积元，3304()3VRR33034()MMVRR其质量为其质量为到转动轴到转动轴z的距离为的距离为其体积为其体积为drd d rdVsin2drd d r dVdmsin2 rDsinyrdVRODzxR0第七章第七章 刚体力学刚体力学转动惯量为转动惯量为球壳的转动惯量为球壳的转动惯量为 2550012(cos1)dcos()5RR35500112( coscos )()35RR5508 ()15RR55033025.RRMRRdmDIM2023400dsin ddRRJr r dmDIM2讨论：讨论： （1）当）当R0=0时时 252MRI （1）当）

16、当R0=R时时 232MRI 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为Mr。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。m1m2am1m2am第七章第七章 刚体力学刚体力学m1m2m1m22 T1T2G2G1m1m2T2 T1T2G2G1m1m2 解：按题意，滑轮具解：按题意，滑轮具有一定的转动惯量，在有一定的转动惯量，在转动中，两边绳子的张转动中，两边绳子的张力不再相等力不再相等. .规定竖直向下为规定竖直向下为X轴正轴正方向，垂直屏幕向里

17、方向，垂直屏幕向里为为Z轴的正方向轴的正方向m第七章第七章 刚体力学刚体力学T2 T1T2G2G1m1m2T2 T1T2G2G1m1m2对对m11111amgmT2222amgmT对对m2对对mIMrTrTr1211TT 22TT 21aara 2第七章第七章 刚体力学刚体力学)2()(21122mmmrMgmmar)2()(21121mmmgmmrMarrmmmrMgmmr)()(212112)()2(212121211mmmrMgmmmTr)()2(212121122mmmrMgmmmTr第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题2如图如图(a)表示半径为表示半径为R的放水弧形闸门，的放水弧形

18、闸门，可绕图中左方支点转动，总质量为可绕图中左方支点转动，总质量为m,质心在距质心在距转轴转轴2/3R处，闸门及钢架对支点的总转动惯量处，闸门及钢架对支点的总转动惯量为为 ,可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧形部分的切向加速度为形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速为重力加速度度,不计摩擦不计摩擦,不计水浮力不计水浮力.297mRI 图图(a) 第七章第七章 刚体力学刚体力学（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力和支点对闸门钢架的支承力

19、门的拉力和支点对闸门钢架的支承力.（2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门门图图(b)需拉力是多少？需拉力是多少？TF W图图(b) 图图(a) 第七章第七章 刚体力学刚体力学xyONFTFW图图(a) 解解（1）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如图图(a)所示所示. 建立直角坐标系建立直角坐标系Oxy， 根据转动定理根据转动定理zTmRRmgRF2)9/7() 3/2(ycyNTmaFmgF根据质心运动定理根据质心运动定理 cxxNmaF0 xcaRaz/Razcy) 3/2(mgFT90670 xNFmgFyN9029解

20、得解得第七章第七章 刚体力学刚体力学TF W图图(b) (2) 用用 表示提升平板形闸门所用的拉力，表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛顿第二定律，得：对闸门应用牛顿第二定律，得：TFmgFT1011比较，可见提升弧形闸门所用的拉力较小比较，可见提升弧形闸门所用的拉力较小.mamgFT第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题3如图表示一种用实验方法测量转动惯量如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为体半径为r，线的另一端通过定滑轮

21、悬挂质量为，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得，并测得m自静自静止开始下落止开始下落 h 高度的时间为高度的时间为 t ,求待测物体的转求待测物体的转动惯量动惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线不计滑轮和线的质量，线的长度不变的质量，线的长度不变.hII0rm第七章第七章 刚体力学刚体力学解解分别以质点分别以质点 m 和转动系统和转动系统 I+I0 作为研究作为研究对象，受力分析如图对象，受力分析如图.xyONF2TFmaFmgT1)(02IIrFT21TTFFra 221ath 022) 12(IhgtmrI

22、hII0rm1TFW解得解得第七章第七章 刚体力学刚体力学例例: 已知均匀直杆已知均匀直杆(l ,M),一端挂在光滑水平轴上，一端挂在光滑水平轴上，开始时静止在竖直位置，有一子弹（开始时静止在竖直位置，有一子弹（m.vo)水平射水平射入底部而不出。求杆与子弹一起运动时的角速度入底部而不出。求杆与子弹一起运动时的角速度.解：解：重力、轴的作用力重力、轴的作用力对轴的力矩为零对轴的力矩为零, 角动量守恒角动量守恒201()3mlvmlvMllmMmv)3/(30()vlvo00m lv I 碰撞前角动量碰撞前角动量方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外碰撞后角动量碰撞后角动量方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕

23、向外201()3m lvm lvM l第七章第七章 刚体力学刚体力学例例: 已知均匀直杆已知均匀直杆(l ,M),一端挂在光滑水平轴上，一端挂在光滑水平轴上，开始时静止在竖直位置，有一子弹（开始时静止在竖直位置，有一子弹（m.vo)水平射水平射入杆内而不出。问子弹击中杆的何处，系统的动入杆内而不出。问子弹击中杆的何处，系统的动量守恒。量守恒。vo0)31(20Mlvmlvmlxxxlv 20lMmvmvllx32lmMmv)43/(60第七章第七章 刚体力学刚体力学vovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和以子弹和杆为系统杆为系统以子弹和沙袋以子弹和沙袋为系统为系统圆锥摆系

24、统圆锥摆系统讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计下面几种情况系统的动量下面几种情况系统的动量、角动量和机械角动量和机械能是否守恒？能是否守恒？第七章第七章 刚体力学刚体力学例：圆盘质量例：圆盘质量M,半径半径R,J=MR2/2,转轴光滑转轴光滑,人的人的质量质量m,开始时，两者静止开始时，两者静止求：人在盘上沿边求：人在盘上沿边缘走过一周时，人、盘对地面转过的角度分别缘走过一周时，人、盘对地面转过的角度分别为多少？为多少？解：解：在走动过程中在走动过程中,人盘系统人盘系统角动量守恒角动量守恒设任意时刻，人对盘设任意时刻，人对盘: ；盘对地；盘对地: ;人对地人对地: + 0)2/1 ()(22MRmR)2/(2Mmm第七章第七章 刚体力学刚体力学)2/(4)2/(2 )2/(2000MmmdtMmmdtMmmdtt t t盘盘)2/(2Mmm)2/(2)2/( )2/(000MmMdtMmMdtMmMdtt t t人人人对盘人对盘: ；盘对地；盘对地: ;人对地人对地: + )2/(MmM第七章第七章 刚体力学刚体力学例题例题1装置如图所示，均质圆柱体质量为装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半径为半径为R，重锤质量为，