初二等腰三角形讲义

1、课题等腰三角形教学目的1、熟练掌握等腰三角形的性质和判定2、熟练等腰三角形“三线合一”的性质3、会运用性质和判定解决实际问题重点、难点重点：等腰三角形的性质难点：“三线合一”的应用教学内容基础知识巩固:1 .等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形2 .等腰三角形的性质：1 .有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2:等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平

2、分线为对称轴的轴对称图形；2 .定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。3 .等腰三角形的判定:1 .有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。)推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直

3、角边等于斜边的一半。2 .定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3 .等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【知识点简单运用】例1、如图，在ABC中，ABAC

4、,D在AC上，且BDBCAD,求4ABC各角的度数。练习：1、如图ABC是等腰直角三角形(AB=AC,ZBAC=90°),AD是底边BC上的高，标出/B,/C,/BAD,/DAC的度数，图中有哪些相等的线段2、如图，在ABC中，AB=AD=DC,/BAD=26°.求/B和/C的度数。例2:求证：如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。（写出已知和求证，画出图形）随堂练习:1.如图1,在ABC中，AB=AC,ZA=50°,BD为/ABC的平分线，则/BDC=度.（P运动1+/2=2 .如图2,一个顶角为40。的等腰三角形纸片，剪去

5、顶角后，得到一个四边形，则/3 .等腰ABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以秒的速度运动，当到PA与腰垂直的位置时，点P?!动的时间应为【例题经典】根据等腰三角形的性质寻求规律例1.在ABC中，AB=AC,/1=L/ABC,/2=1ZACB,BD与CE相交于点O,N22的大小有什么关系若/1=1/ABC,/2=1/ACB,则/BOC与/A大小关系如何33若/1=1/ABC,/2=1/ACB,则/BOC与/A大小关系如何nn练习：如图，在F列三角形中若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是_如图，/BOC的大小与/AoCBCBCB会用等腰三角形

6、的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰二角形ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD?将这个等腰二角形周长分成三角形的腰长及底边长.练习：1、如图，在ABC中，AB=AC,ZBAD=20?°,且AE=?AD,则/CDE=15和6两部分，求这个A2、同学们都玩过跷跷板的游戏.如图11所示，？是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB.当跷跷板的一头A着地时，/OAC=25°,?则当跷跷板的另一头B着地时，/AOA1等于()A.25°B,50°C.60°D,130°利用等腰三角形的性质证线段或角相等例3.如图，P是等边三角形ABC内

7、的一点，连结PA、PRPC,?以BP为边作/PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.(2)若PAPB:PC=3:4:5,连结PQ,试判断PQC的形状，并说明理由.练习：已知：如图所示,BDECDE.ABC,ACB的平分线交于F,过F作DEBC,交AB于D,交AC于E.求证:例4:如图，ABC中，AD平分/BAC,BP±AD于P,AB=5,BP=2,AC=9。求证：/ABP=2ZACBoBDC练习：1、如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O,?给出下列三个条件：/EBO=ZDCO;/BEO=Z

8、CDQBE=CD(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)；(2)选择第(1)小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形.2、如图，AD=BC,AC=BD求证EAB是等腰三角形。实际应用:上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A,B望灯塔C,测得/NAC=42°,/NBC=84°.求从海岛B到灯塔C的距离。练习：要在离地面料，则在库存的A. LiB.5m处引拉线固定电线杆，？使拉线和地面成60。角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材Li=,L2L2=,L3=,L4=10m的四种备用拉线材料中，拉

9、线AC最好选用（C. L3D. L4典型题目练习:1、如图，/BAC=ZABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点。试判断OE和AB的位置关系，并给予证明。2、如图，ABC中，/ABC=50°,/ACB=80°,延长CB至D,使DB=BA,延长BC至E,使CE=CA连接AD、AE。求/D,/E,/DAE的度数。(2)3、如图，AD是ABC的角平分线，DE,DF分别是ABD和ACD的高，求证AD垂直平分EF(3)4、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD,DMBC,垂足为M。求证：M是BE的中点。5、如图，4ACD

10、和4BCE都是等腰直角三角形，/ACD-ZBCE=90°,AE交DC于F,BD分别交CEAE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由起发现数学中的美!等腰三角形有时作为隐含的挑拣出现在题目中，需要我们能够识别出来，下面列出五种常见的情形:OC为/AOB的平分线,CD/OB于AO于点D,则ODC是等腰三角形。想一想：为什么C是线段AB的垂直平分线上的一点，则4ABC是等腰三角形，其中想一想，为什么AC=BCABC中，AB=ACDEBC贝ADE为等腰三角形。想一下，相等的两腰为什么ABC中，OC为/AOB的平分线，D是OB上一点，DC，OC于C,延长DC交OA于E,则DOE是等腰三角形，其中OD=OE,DC=EC想一想，为什么ABC中，AB=AC,BD平分/ABC,ZABD=36°,则图中共有三对等腰三角形，哪三对顶点为36。的等腰