匀速转动内悬臂梁稳定性研究

1、匀速转动内悬臂梁稳定性研究李涛高卫民洪善桃（同济大学，汽车工程系，上海200092）摘要：本文采用了简化模型和连续体梁模型分析了匀速转动内悬臂梁的稳定性，指出了匀速转动内悬臂梁动力柔化的原因在于梁的大范围平动。提出了匀速转动内悬臂梁的内转半径和外转半径的概念。指出匀速转动内悬臂梁的内转半径和外转半径比值存在一定关系时，系统为一阶稳定。柔性多体动力学的发展和现代航天器、机器人、车辆、机械和兵工等工程领域的发展紧密联系的。自1988年以来，关于大范围转动引起连续体梁的动力刚化现象的研究已经有多年的历史。但近年来研究表明，大范围运动的连续体梁存在着动力柔化现象，这尤其以大范围匀速转动的内悬臂梁为突出

2、。本文推导了同时进行大范围平动和转动的简化柔性梁以及连续体梁的控制方程。以匀速转动内悬臂梁为例，说明了动力柔化产生的原因是大范围平动造成的，并提出了内悬臂梁匀速转动的内转半径和外转半径的概念。1、简化柔性梁模型采用恰当的简化模型可以方便地揭示所研究问题的本质。在凯恩当年研究柔体大范围转动对变形运动影响的时候，凯恩就曾经向研究者建议了一种说明传统建模方式缺陷的简化模型（图4.1）,并被学者采用发表在文献中74,对该简化模型建模的修正非常清晰地揭示了大范围转动惯性力对非线性结构作用的影响。其它研究者在研究过程中也采用过类似的简化模型。图4.1模型为单集中质量4自由度模型，其中单集中质量位于节点2处

3、，四个自由度分别为节点0的两个平动自由度x0、y0。杆01在绝对坐标系中的转角3,杆12相对于杆01的转角9。图1凯恩简化柔性梁模型在、y0为已知，仇=c也为已知，变形8为小量的情况下，得到的控制方程为:m2l22.J2l2八生吧一型吧_建建一&cosl2V。12sinal2(3)显然，大范围转动和大范围平动对系统横向振动的影响是耦合的，且大范围平动对于简化柔性梁振动特性的影响可能是刚化，也可能是柔化。以内悬臂柔性梁为例，将对应于内悬臂梁的边界条件和初始条件为：不能简单地叠加，而=rcosMy。=rsin1Jt代入控制方程，可以得到:6+0li-rr2-1l2x0sin1tmy0cos14D=

4、-十I2K不m2l2通过分析方程（4）,可以得到以下结论:在将r称为内转半径，l1-r称为外转半径的前提下，外回转半径大于。时，系统横向振动处于刚化状态，反之，系统处于柔化状态。当匚12*2,系统没有周期解，处l2于发散状态。通过前面的分析可以得出以下结论，大范围转动和平动对简化柔性梁横向振动的影响是非线性耦合的，不能叠加。大范围平动会导致柔性梁出现动力柔化现象，简化内悬臂柔性梁进行匀速转动的时候，由于柔性梁进行大范围平动，当外转半径小于。时，系统处在柔化状态，外转半径大于。时系统处在刚化状态。因此，简化柔性内悬臂梁的动力稳定状态和该梁的内转半径以及外转半径有关。2、连续体梁模型同时作大范围平

5、动和转动的连续体梁模型如图2所示，设梁的总长为l。距离梁端为X处的微元在局部坐标系中的位移为w,设梁端在绝对坐标系中的的位移为小，丫。，转角为%。图2连续体梁模型则系统的控制方程变为:EIw）+PAW=(W*1：AX2-l2二；：Ax0cosoy0sinoX2(5)上述方程化为拟线性偏微分方程：令X,v=w，a=x,p=y,T=JlLrtllll.：Al4可以得到无量纲化的控制方程：v（4）+v日：v=FN，-1仁2-1解+6coso+Ssino注一1力悬臂梁的边界条件为：v0,=0v0,=0v1,=0v1,=0将方程（6）和（7）的解表示为如下形式：v,二e带入控制方程（6）可以得到巾（4）

6、+般2-哂=（，）其中g=-12-1-（2+6cosu0,:sin%-1用中乘以方程的两边并从0到1积分可以得到(6)(8)(9)111cc1cc1c11c40_巾50+ad1+/a2d200fo*2dt=4990JoT2gdZ根据边界条件（7）:_1_11_1_片十端.2dua%已（10）显然当，a=8=0时，一111一1一,2J&：=-*01一2d，-Tio,0d-od根据Schwarz不等式可以得到：-13”（1，2d+je2d0则九0系统具有周期解，系统为无条件稳定，这对应大范围转动下的动力刚化现象。如果令式（6）中ct=rcosE、P=rsinH、80=807+元，R其中r=7,则对应于内悬臂梁旋转的条件：F1c0g，仁2-1）+r（J麻一时，系统存在临界转速，0o=,当转速局于临界转速时，系统将不能93.59r-0.4进行周期运动而发散。1 1,r的物理意义如图3,R为系统的内转半径，r时，即系统的