第03章-平面问题的直角坐标解答(改)

1、1第三章第三章平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答2本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中本章是按应力求解平面问题的实际应用。其中采用应力函数作为基本未知函数进行求解，并以直采用应力函数作为基本未知函数进行求解，并以直角坐标来表示问题的解答。在学习本章时，应重点角坐标来表示问题的解答。在学习本章时，应重点掌握内容如下：掌握内容如下：1 1. .按应力函数求解平面问题时，应力函数必须按应力函数求解平面问题时，应力函数必须满足的条件；满足的条件；2 2. .逆解法和半逆解法；逆解法和半逆解法；3 3. .由应力求位移的过程及方法；由应力求位移的过程及方法；4 4. .从简支梁受均布荷载的

2、问题中，比较弹性力从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹性力学和材料力学解法的异同；学和材料力学解法的异同；本章学习指南本章学习指南Chapter 331 1. .早期应用逆解法与半逆解法曾经得出许多荷载和边早期应用逆解法与半逆解法曾经得出许多荷载和边界条件比较简单的平面问题的解答。但是，对于复杂界条件比较简单的平面问题的解答。但是，对于复杂荷载和边界条件的工程实际问题，难以用这些方法找荷载和边界条件的工程实际问题，难以用这些方法找出函数式解答。出函数式解答。2 2. .现在，对于复杂情况，可采用弹性力学的近似解法现在，对于复杂情况，可采用弹性力学的近似解法来求解工程实际问题。来求解工程实际问题。

3、3 3. .本课程不要求求解新问题的函数式解答，而是要求本课程不要求求解新问题的函数式解答，而是要求了解与掌握弹性力学问题是如何求解的，如何满足有了解与掌握弹性力学问题是如何求解的，如何满足有关的方程和边界条件的关的方程和边界条件的。4 4. .要求能阅读和理解弹性力学已有的解答，并为今后要求能阅读和理解弹性力学已有的解答，并为今后的工程实际应用打下一定的基础。的工程实际应用打下一定的基础。本章学习指南本章学习指南Chapter 34位移分量位移分量u,v应变分量应变分量e ex e ey g gxy 应力分量应力分量s sx s sy t txy 体力体力f变形协调方程变形协调方程约束位移约

4、束位移几何方程几何方程物理方程物理方程平衡微分方程平衡微分方程位移边界条件位移边界条件已知面力已知面力 f应力边界条件应力边界条件混合边界条件混合边界条件弹性力学的基本任务弹性力学的基本任务Chapter 353.1 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答3.2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲3.3 位移分量的求出位移分量的求出3.4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载3.5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力本章目录本章目录Content6体力为常量时，按应力法求解平面问题，可转化为求体力为常量时，按应力法求解平面问题，可转化为求解一个应力函数解一个应力函数 ，它在区域

5、内满足应力函数表示的，它在区域内满足应力函数表示的相容方程相容方程(2-25)(2-25)：024422444yyxx相容方程：相容方程：(2-25)(2-25)应力边界条件：应力边界条件：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyxstts(2-15)(2-15)同时在边界上满足应力边界条件同时在边界上满足应力边界条件(2-15)(2-15)：Chapter 3.13.2 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答7求得应力函数后，由下式求得应力函数后，由下式(2-24)(2-24)求应力分量，然后求求应力分量，然后求应变和位移分量。应变和位移分量。yxyfxxfyxyy

6、yxx22222,tss由于相容方程由于相容方程(2-25)(2-25)是偏微分方程，其通解不能写成是偏微分方程，其通解不能写成有限项数的形式，一般不能直接求解，只能采用逆解有限项数的形式，一般不能直接求解，只能采用逆解法与半逆解法。法与半逆解法。024422444yyxx相容方程：相容方程：(2-25)(2-25)Chapter 3.1逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答8逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 逆解法逆解法先设定各种形式的、满足相容方程先设定各种形式的、满足相容方程(2-25)(2-25)的应力函数的应力函数 ; ;并由式（并由式（2-242-24）求得应力分

7、量）求得应力分量；然后再根据应力边界条件（；然后再根据应力边界条件（2-152-15）和弹性体）和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决的问题。解决的问题。Chapter 3.19逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 半逆解法半逆解法针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；并从受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；并从而推出应力函数的形式；然后代入相容方程，求出应力而推出应力

8、函数的形式；然后代入相容方程，求出应力函数的具体表达式；再按式（函数的具体表达式；再按式（2-242-24）由应力函数求出应）由应力函数求出应力分量；并考察这些应力分量能否满足全部应力边界条力分量；并考察这些应力分量能否满足全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如果都能件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如果都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力满足，则所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复上述过程并进行求解。分量，重复上述过程并进行求解。 Chapter 3.110(1)(1)先假设一满足相容方程先假设一满足相容方程(2-25)(2-25)的应力

9、函数的应力函数 ; ;024422444yyxx(2-25)(2)(2)由式由式(2-24)(2-24)，根据应力函数，根据应力函数 求得应力分量求得应力分量; ;yxyfxxfyxyyyxx22222,tssChapter 3.1逆解法逆解法11(3)(3)在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15)(2-15)或或次要边界上的积分边界条件次要边界上的积分边界条件, , 分析这些应力分量对应于分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数

10、可以边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数）或应力分量表达式中的待定系数） syxyysxyxxmlsfmlsf)()()()(sttsChapter 3.1逆解法逆解法12(1) 对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式；分或全部应力分量

11、的函数形式；yxyfxxfyxyyyxx22222,tss(2) 按式按式(2-24)，由应力推出应力函数，由应力推出应力函数 的一般形式的一般形式（含待定函数项）；（含待定函数项）；Chapter 3.1半逆解法半逆解法13(3) 将应力函数将应力函数 代入相容方程进行校核，进而求得代入相容方程进行校核，进而求得应力函数应力函数 的具体表达形式；的具体表达形式；024422444yyxxChapter 3.1半逆解法半逆解法(4) 将应力函数将应力函数 代入式代入式(2-24)，由应力函数求得应，由应力函数求得应力分量力分量yxyfxxfyxyyyxx22222,tss14 (5) (5)根

12、据边界条件确定未知函数中的待定系根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全部应力边界数；考察应力分量是否满足全部应力边界条件。如果都能满足，则所得出的解就是条件。如果都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复正确解，否则要重新假设应力分量，重复上述过程并进行求解。上述过程并进行求解。 Chapter 3.1半逆解法半逆解法15逆解法和半逆解法的求解过程带有逆解法和半逆解法的求解过程带有 “试算试算”的性质，显然弹性力学解的唯一的性质，显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。Chapter 3.1逆解法与半

13、逆解法逆解法与半逆解法163.1 多项式解答多项式解答3.2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲3.3 位移分量的求出位移分量的求出3.4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载3.5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力逆解法逆解法半逆解法半逆解法Chapter 3.117下面用逆解法求几个简单平面问题。下面用逆解法求几个简单平面问题。假定体力不计假定体力不计 ，应力函，应力函数取为多项式。数取为多项式。Chapter 3.1逆解法求解平面问题逆解法求解平面问题0 xyff181、应力函数取为一次式：应力函数取为一次式： = =a+ +bx+ +cy显然，不论各系数取何值，总能满足相容方程显然，

14、不论各系数取何值，总能满足相容方程(2-25):代入方程代入方程(2-24)(2-24)求得应力分量：求得应力分量：s sx= = s sy = = t txy = = 0Chapter 3.1多项式解答多项式解答一次式一次式yxyfxxfyxyyyxx22222 , ,tss024422444yyxx19代入应力边界条件方程代入应力边界条件方程(2-15):(2-15):0yxff不论弹性体形状如何，也不论坐标系如何选择，不论弹性体形状如何，也不论坐标系如何选择，均求得面力分量：均求得面力分量：syxyysxyxxmlsfmlsf)()()()(sttsChapter 3.1多项式解答多项式

15、解答一次式一次式20结论结论1：（1）线性应力函数对应于无体力、无面线性应力函数对应于无体力、无面力、无应力的力学状态；力、无应力的力学状态；（2）将平面问题的应力函数加上一个线）将平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力分布。性函数，并不影响应力分布。Chapter 3.1多项式解答多项式解答一次式一次式212、应力函数取为二次式：、应力函数取为二次式： = =ax2+ +bxy+ +cy2显然，不论各系数取何值，相容方程总能满足。显然，不论各系数取何值，相容方程总能满足。求得应力分量：求得应力分量： s sx= =2c，s sy = =2a， t txy= =t tyx=-=-bC

16、hapter 3.1多项式解答多项式解答二次式二次式代入方程代入方程(2-24)(2-24)yxyfxxfyxyyyxx22222,tss22Chapter 3.1多项式解答多项式解答二次式二次式2ax (1) 对应于对应于0,2 ,0 xyxyyxasstt能解决矩形板在能解决矩形板在y方向受均方向受均布拉力（设布拉力（设a0）或均布压）或均布压力（设力（设a0）或均布压）或均布压力（设力（设ch的长梁，的长梁， y 与与 h 同阶，同阶，x 与与 l 同同阶。因此应力解答中有三种数量级，分别为阶。因此应力解答中有三种数量级，分别为 q(l/h)2、 q(l/h) 、 q。2 2、弯应力弯应

17、力s sx的第一项与的第一项与q(l/h)2同阶大小，为主同阶大小，为主要应力；要应力； 3 3、切应力切应力t txy与与q(l/h)同阶大小，为次要应力；同阶大小，为次要应力；4 4、挤压应力挤压应力s sy及弯应力及弯应力s sx的第二项均与的第二项均与q同阶同阶大小，为更次要应力。大小，为更次要应力。Chapter 3.4应力分布特点应力分布特点85 1 1、弯应力弯应力s sx的第一项为主要应的第一项为主要应力，并且与材料力学解答相同，力，并且与材料力学解答相同，而第二项正是弹性力学才有的修而第二项正是弹性力学才有的修正项，它只与正项，它只与q同阶大小；同阶大小；2 2、切应力切应力

18、t txy为次要应力，也与为次要应力，也与材料力学解答完全相同；材料力学解答完全相同；3 3、挤压应力挤压应力s sy在材力中一般不在材力中一般不考虑，它只与考虑，它只与q同阶大小。同阶大小。4 4、两者的区别中主要反映在最两者的区别中主要反映在最小的量级上。小的量级上。ISFhyhyqhyhyqyIMsxyyxtss222)21)(1 (2)534(ISFyIMsxyyxtss忽略Chapter 3.4比较弹力与比较弹力与材力材力对该问题的解答对该问题的解答86(2)(2)材料力学解法中，许多方面作了近似处理材料力学解法中，许多方面作了近似处理，只能得出近似的解答。例如平面截面假设导出，只能

19、得出近似的解答。例如平面截面假设导出位移、应变和应力沿横向均为直线分布；在平衡位移、应变和应力沿横向均为直线分布；在平衡条件中，忽略了挤压应力条件中，忽略了挤压应力s sy的作用，并且考虑的的作用，并且考虑的是有限部分物体的平衡，而不是微分单元体的平是有限部分物体的平衡，而不是微分单元体的平衡；在主要边界上，没有严格考虑应力边界条件衡；在主要边界上，没有严格考虑应力边界条件。Chapter 3.4弹力与材力在解法上的区别弹力与材力在解法上的区别(1)(1)弹性力学解法中，严格地考虑并满足区域弹性力学解法中，严格地考虑并满足区域内的平衡微分方程、几何方程、物理方程及边界内的平衡微分方程、几何方程

20、、物理方程及边界上的全部边界条件（小边界上应用圣维南近似），上的全部边界条件（小边界上应用圣维南近似），因此解答是较精确的。因此解答是较精确的。(3)(3)两者的区别中主要反映在最小的量级上，两者的区别中主要反映在最小的量级上，故材料力学的解答尽管近似，但对杆件是足够精故材料力学的解答尽管近似，但对杆件是足够精确的（此时确的（此时l h），否则不能用材料力学的解法），否则不能用材料力学的解法来求解。来求解。87作业：习题作业：习题3-11Chapter 3.4课后作业课后作业883.1 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答3.2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲3.3 位移分量的

21、求出位移分量的求出3.4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载3.5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力本章目录本章目录Content89Chapter 3.53.5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力要点要点半逆解法半逆解法（因次或量纲分析法）（因次或量纲分析法）问题的提出：问题的提出：楔形体，下部可无限延伸。楔形体，下部可无限延伸。侧面受液压作用：侧面受液压作用：)m/N(32g（液体的容重）（液体的容重）自重作用：自重作用：)m/N(31g（楔形体的容重）（楔形体的容重）求：楔形体应力分量求：楔形体应力分量 。 xyyxtss,90问题：问题：如图，无限长的楔形体受重力和

22、液体如图，无限长的楔形体受重力和液体压力，试求应力分量。压力，试求应力分量。Chapter 3.53.5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力xy2g1g2xsysxyt图图图91(1) 首先从量纲分析入手，来假定应力分量的首先从量纲分析入手，来假定应力分量的函数形式函数形式 楔形体内任意点的应力由重力和液体压力楔形体内任意点的应力由重力和液体压力所引起，两部分应力分别与所引起，两部分应力分别与 1g 和和 2g 成正比，成正比，而应力量纲（而应力量纲（L-1MT-2）只比）只比 1g 和和 2g 的量纲的量纲（L-2MT-2）高一次幂的长度量纲，因此应力只高一次幂的长度量纲，因此应力

23、只能是能是 1g 和和 2g 与与 x 和和 y 的一次式相乘，的一次式相乘，亦即应力中只能包含亦即应力中只能包含 x 和和 y 的的纯一次式纯一次式。Chapter 3.5半逆解法求解步骤半逆解法求解步骤92(2) 由应力推出应力函数的一般形式；由应力推出应力函数的一般形式；3223),(dycxyybxaxyx(3) 校核应力函数校核应力函数此纯三次多项式自然满足相容方程此纯三次多项式自然满足相容方程 由方程由方程(2-24)可知，应力函数应比应力的长度可知，应力函数应比应力的长度量纲提高二次幂，所以应力函数应为量纲提高二次幂，所以应力函数应为 x 和和 y 的纯的纯三次式，而纯三次多项式

24、只有四项，即三次式，而纯三次多项式只有四项，即Chapter 3.5半逆解法求解步骤半逆解法求解步骤93(4) 由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量cybxyxgybyaxyfxdycxxfyxyyyxx222662212222tss及应力函数及应力函数 代入式代入式(2-24)，可得应力分量：，可得应力分量：Chapter 3.5半逆解法求解步骤半逆解法求解步骤10,xyffg将体力分量将体力分量94(4) 由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量校核应力分量：校核应力分量：代入平衡微分方程和相容方程，可知上代入平衡微分方程和相容方程，可知上述应力分量是满足平衡微分方程和相容方程述应力分

25、量是满足平衡微分方程和相容方程的。其中的的。其中的4 4个待定常数由边界条件来确定。个待定常数由边界条件来确定。Chapter 3.5半逆解法求解步骤半逆解法求解步骤95(5) 考察边界条件：考察边界条件：只有两个边界，均为主要边界只有两个边界，均为主要边界（大边界），都应精确满足应力边界条件；（大边界），都应精确满足应力边界条件；将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，将应力分量在相应边界处的值代入上述条件，得到如下待定常数得到如下待定常数: :0)(,)(020 xxyxxgyts6, 02gdc首先考察左边界上的应力边界条件：首先考察左边界上的应力边界条件：Chapter 3.5半逆解法

26、求解步骤半逆解法求解步骤96 其次考察右边界上的应力边界条件，由于没有其次考察右边界上的应力边界条件，由于没有面力，故：面力，故：0)(0)(tantansttsyxyxyyxxyxmlmlChapter 3.5半逆解法求解步骤半逆解法求解步骤97将该边界的外法线方向余弦和应力分量在相应将该边界的外法线方向余弦和应力分量在相应边界处的值代入上述条件边界处的值代入上述条件32122cot3cot6,cot2ggagbcybxgybyaxdycxmlxyyx22,26,62sin,cos1tss可求解得到如下待定常数可求解得到如下待定常数: :Chapter 3.5半逆解法求解步骤半逆解法求解步骤

27、98综上所述，将各待定常数代回，可得应力综上所述，将各待定常数代回，可得应力分量的最终解答为：分量的最终解答为：tss221223212cot2)cot( )cot2cot(gxyggxgggyxyyx(3-7)Chapter 3.5半逆解法求解步骤半逆解法求解步骤99 应力分量应力分量s sx沿水平方向没变化，此结果不能沿水平方向没变化，此结果不能由由材料力学材料力学公式求得；公式求得； 应力分量应力分量s sy沿水平方向按直线变化，可求出沿水平方向按直线变化，可求出其在左右两边界上值与其在左右两边界上值与材料力学材料力学偏心受压公偏心受压公式算得的结果相同。式算得的结果相同。ss22tan

28、1220cot)cot(gyyggyxyxyChapter 3.5半逆解法求解步骤半逆解法求解步骤100 应力分量应力分量t txy也按直线变化，可求出其在两边也按直线变化，可求出其在两边界上值为；界上值为；材料力学材料力学中为抛物线分布中为抛物线分布ttcot02tan0gyyxxyxxyChapter 3.5半逆解法求解步骤半逆解法求解步骤101Chapter 3.5tss221223212cot2)cot()cot2cot(gxyggxgggyxyyx各应力分量沿水平方向的变化图各应力分量沿水平方向的变化图xy2g1g2xsysxyt图图图1021. 沿着坝轴，坝身往往截面不同，坝身常常

29、沿着坝轴，坝身往往截面不同，坝身常常不是无限长，因此严格讲，这不是一个平面不是无限长，因此严格讲，这不是一个平面问题。但是，如果可将坝身分为若干段，每问题。但是，如果可将坝身分为若干段，每段范围内坝身截面可当作不变化，轴向切应段范围内坝身截面可当作不变化，轴向切应力也可当作力也可当作0，则可作为平面问题来求解。，则可作为平面问题来求解。 Chapter 3.5 以上解答一向被当作三角形重力坝中应力的以上解答一向被当作三角形重力坝中应力的基本解答，但要注意以下三点：基本解答，但要注意以下三点：1032. 假定了下端是无限长，可以自由变形。实际假定了下端是无限长，可以自由变形。实际上坝身是有限高的

30、，底部与地基相连，即受约上坝身是有限高的，底部与地基相连，即受约束，因此对于底部，以上解答是不精确的。束，因此对于底部，以上解答是不精确的。3. 坝顶不会是尖顶，而且还会受其它的荷载，坝顶不会是尖顶，而且还会受其它的荷载，因此，在坝顶处，以上解答也不适用。因此，在坝顶处，以上解答也不适用。 以上解答一向被当作三角形重力坝中应力的以上解答一向被当作三角形重力坝中应力的基本解答，但要注意以下三点：基本解答，但要注意以下三点：Chapter 3.5104Summary本章小结本章小结105（1）区域内的相容方程；区域内的相容方程；（2）边界上的应力边界条件（假设全部为边界上的应力边界条件（假设全部为

31、 应力边界条件）；应力边界条件）；（3）多连体中的位移单值条件多连体中的位移单值条件 Summary 按逆解法（应力函数按逆解法（应力函数 ）求解时，）求解时， 必须必须满足：满足：应力函数须满足的条件应力函数须满足的条件106Summary逆解法的求解步骤逆解法的求解步骤1. 假设应力函数假设应力函数 ；2. 判断是否满足相容方程（判断是否满足相容方程（2-25）；）；3. 由公式（由公式（2-24）求解应力分量；）求解应力分量；4. 根据应力边界条件（根据应力边界条件（2-15）和弹性体的）和弹性体的 边界形状，反推面力；边界形状，反推面力；5. 判断所假设的应力函数判断所假设的应力函数

32、能解决什么样的能解决什么样的 问题。问题。107Summary多项式应力函数能求解的问题多项式应力函数能求解的问题 多项式次数多项式次数能解决的问题能解决的问题一次一次无体力、无应力、无面力无体力、无应力、无面力二次二次均匀应力状态均匀应力状态矩形板在矩形板在y向受均布拉压力向受均布拉压力矩形板受均布剪力矩形板受均布剪力矩形板在矩形板在x向受均布拉压力向受均布拉压力三次三次线性应力状态线性应力状态矩形梁受纯弯曲矩形梁受纯弯曲2ay2axaxy3ay108Summary由应力分量求位移分量的步骤由应力分量求位移分量的步骤1. 将应力分量代入物理方程，求出应变将应力分量代入物理方程，求出应变分量；分量；2. 将应变分量代入几何方程，积分求位将应变分量代入几何方程，积分求位移分量；移分量；3. 根据位移约束条件确定