布洛赫定理 近自由电子近似-山东大学固体物理ppt课件

1、第一节第一节 布洛赫定理布洛赫定理5.1.1 5.1.1 布洛赫定理布洛赫定理5.1.3 5.1.3 布里渊区布里渊区5.1.2 5.1.2 波矢的取值和范围波矢的取值和范围本节主要内容本节主要内容: :5.1 布洛赫定理5.1.1 布洛赫定理1.晶格的周期性势场 (3) (3)理想晶体中原子陈列具有周期性，晶体内部的势场具理想晶体中原子陈列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性；有周期性； (1) (1)在晶体中每点势能为各个原子真实该点所产生的势能之在晶体中每点势能为各个原子真实该点所产生的势能之和；和； (2) (2)每一点势能主要决议于与核较近的几个原子实每一点势能主要决议于与核较近的几

2、个原子实( (由于势由于势能与间隔成反比能与间隔成反比) )； (4) (4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。 ErVm 222 nRrVrV nR其中其中 为恣意格点的位矢。为恣意格点的位矢。电子在一个具有晶格周期性的势场中运动电子在一个具有晶格周期性的势场中运动2. 布洛赫定理当势场具有晶格周期性时，动摇方程的解具有如下性质：当势场具有晶格周期性时，动摇方程的解具有如下性质：),r()Rr(nRk in e其中其

3、中 为电子波矢，为电子波矢， k332211anananRn 是格矢。是格矢。 在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此方式的波函数称为布洛赫波函数。幅的平面波。具有此方式的波函数称为布洛赫波函数。?aaa )()()(321 、 nkkRruru 3.证明布洛赫定理(1)(1)引入平移对称算符引入平移对称算符)(nRT(2)(2)阐明阐明: :0, HT(3)(3) TnRkinR e)( 根据布洛赫定理波函数写成如下方式：根据布洛赫定理波函数写成如下方式：)()()(nnRrfrfRT )2()()()()(2n

4、nnnRrfRrfRTrfRT (1)(1)平移对称算符平移对称算符)(nRT)()()(nnlRlrfrfRT )()()()(rHrrVrf，可以是 )(222rVmH ),()(nRrVrV (2)(2)0, HT)()(22222222nRrzyxr 233222222112)()()(anzanyanx 晶体中单电子哈密顿量晶体中单电子哈密顿量 具有晶格周期性。具有晶格周期性。H)()()()()(nnnRrRrHrrHRT )()()(rRTrHn 平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。0, HT在直角坐标系中：在直角坐标系中： 由于对易的算符

5、有共同的本征函数，所以假设波函数由于对易的算符有共同的本征函数，所以假设波函数 是是 的本征函数，那么的本征函数，那么 也一定是算符也一定是算符 的本征函数。的本征函数。)(r H)(r )(nRT，则则有有对对应应的的本本征征值值为为设设)()(nnRRT )()()()()(rRRrrRTnnn 根据平移特点根据平移特点)()()()()(332211332211anTanTanTanananTRTn 321)()()(321nnnaTaTaT (3)(3) TnRkinR e)( 可得到可得到 )()()()()()()()(321321raaarRrRTnnnnn 即即 321)()(

6、)()(321nnnnaaaR ?aaa )()()(321 、,321321个个原原胞胞、方方向向各各有有、设设晶晶体体在在NNNaaa )()()()()()(332211aNrraNrraNrr 由周期性边境条件由周期性边境条件根据上式可得到根据上式可得到 )()()()()(111111raNrraraNTN 1)(11 Na 1121e)(Nlia 同理可得：同理可得：,aNli2222e)( 3323e)(Nlia 这样这样 的本征值取以下方式的本征值取以下方式)(nRT)(2333222111e)(NlnNlnNlninR 引入矢量引入矢量333222111NblNblNblk

7、式中式中 为晶格三个倒格基矢，由于为晶格三个倒格基矢，由于 ,321bbb、ijjiba 2 nRk inR e)( )(e)(rRrnRk in -布洛赫定理布洛赫定理 rurkrkik e nkkRruru 再证明布洛赫波函数具有如下方式：再证明布洛赫波函数具有如下方式： 可以看出平面波可以看出平面波 能满足上式。因此矢量能满足上式。因此矢量 具有波矢的具有波矢的意义。当波矢添加一个倒格矢意义。当波矢添加一个倒格矢 ，平面波，平面波 也满足上式。也满足上式。rk i ekhKrKkih )(e因此电子的波函数普通是这些平面波的线性叠加因此电子的波函数普通是这些平面波的线性叠加 hrKihr

8、k ihrKkihkhhKkaKkar)e(e)e()()( hrKihkhKkaru)e()(设那么上式化为那么上式化为)(e)(rurkrk ik )()(ruRruknk 即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。22)()(rRrknk )(e)(rRrnRk in 可以以为电子在整个晶体中自在运动。布洛赫函数的平面可以以为电子在整个晶体中自在运动。布洛赫函数的平面波因子描画晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描画波因子描画晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描画电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。5.1.2 的取值和范围

9、k个个原原胞胞，、方方向向各各有有、设设晶晶体体在在321321NNNaaa )()()()()()(332211aNrraNrraNrrkkkkkk 由周期性边境条件由周期性边境条件1e jjaNk i)()(11raNrkk )(e)(1111ruaNrkaNrkik )(ee11rukrkiaNki )(rk 332211bbb 333222111NblNblNblk ,baijjj 2 jjjlN 其中其中ljlj为恣意整数为恣意整数) )，jjjNl 只能取一些分立的值。只能取一些分立的值。)()(rrhKkk 可以证明可以证明是倒格矢。是倒格矢。nK整整数数时时，当当 jj ,nK

10、kkk 换换成成相相当当于于波波矢矢khKk 态和态和态是同一电子态，而同一电子态对应同一态是同一电子态，而同一电子态对应同一故故 。)()(hKkEkE 个能量，个能量， 为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征值值 一一对应起来，必需把波矢一一对应起来，必需把波矢 的值限制在一个倒格子的值限制在一个倒格子原胞区间内，通常取：原胞区间内，通常取：)(kEk)3 , 2 , 1( ,22 ibkbiii)3 , 2 , 1( ,22 iNlNiii 在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶

11、体的原胞数目目N=N1N2N3N=N1N2N3。在波矢空间内，由于。在波矢空间内，由于N N的数目很大，波矢点的分的数目很大，波矢点的分布是准延续的。一个波矢对应的体积为：布是准延续的。一个波矢对应的体积为：C*VNNNbNbNb33332211)2()2()( 一个波矢代表点对应的体积为：一个波矢代表点对应的体积为：电子的波矢密度为：电子的波矢密度为： 3)2(cVCV3)2()()(rrnKkk 下面我们证明下面我们证明证明：根据布洛赫定理证明：根据布洛赫定理 hrKihkkrk ikhKkaru,rur)e()()(e)( hrKKkihnKkhnnKKkar)()e()( lrKkil

12、lKka)()e( hrKkihhrKihrkikhhKkaKkar)()e()e(e)( lhnKKK 令令)(rk 例例1：一维周期场中电子的波函数：一维周期场中电子的波函数 该当满足布洛赫该当满足布洛赫定理，假设晶格常量为定理，假设晶格常量为a，电子波函数为，电子波函数为 , f为某一确定函数，试求电子在这些为某一确定函数，试求电子在这些形状的波矢。形状的波矢。 )()()(maxfixmmk )(xk 解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：)(e)(xnaxkiknak )()()(manaxfinaxmmk

13、 )()()()()(anmxfiianmxfinmmnmm 令令m-n=l，)()()()()(xilaxfiinaxknllnk 据布洛赫定理，据布洛赫定理，niknai)(e 即即iika e232 ska在简约布里渊区中，即在简约布里渊区中，即，aka 1. 布里渊区定义 在倒格空间中以恣意一个倒格点为原点，做原点和其他一在倒格空间中以恣意一个倒格点为原点，做原点和其他一切倒格点连线的中垂面切倒格点连线的中垂面(或中垂线或中垂线)，这些中垂面，这些中垂面(或中垂线或中垂线)将倒将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。5.1.3 布里渊

14、区 第一布里渊区第一布里渊区( (简约布里渊区简约布里渊区) )：围绕原点的最小闭合区域；：围绕原点的最小闭合区域；ak2 取取对于知的晶体构造，如何画布里渊区呢对于知的晶体构造，如何画布里渊区呢? ? 第第n+1n+1布里渊区：从原点出发经过布里渊区：从原点出发经过n n个中垂面个中垂面( (或中垂线或中垂线) )才才干到达的区域干到达的区域(n(n为正整数为正整数) )。2.布里渊区作图法晶体晶体构造构造布拉维布拉维晶格晶格倒格点倒格点陈列陈列 中垂面中垂面( (中垂线中垂线) )区分布区分布里渊区里渊区倒格基矢倒格基矢321bbb、332211bhbhbhKh 正格基矢正格基矢,321a

15、aa、aa 例例2：以下图是一个二维晶体构造图，画出它的第一、第：以下图是一个二维晶体构造图，画出它的第一、第二、第三布里渊区。二、第三布里渊区。aaiaa 1jaa 2jaaiaa 21jabiab2221 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji ij第一布第一布里渊区里渊区第三布第三布里渊区里渊区第二布第二布里渊区里渊区a2a2布里渊区的面积布里渊区的面积= =倒格原胞的面积倒格原胞的面积 高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区，构成布里渊区的简约区图。矢进入简约布里渊区，构成布里渊区的简约区图。第一区第一区第二

16、区第二区第三区第三区布里渊区的简约区图布里渊区的简约区图布里渊区的扩展区图布里渊区的扩展区图ija 2a 2第一区第一区第二区第二区第三区第三区第四区第四区第五区第五区第六区第六区第七区第七区第八区第八区第九区第九区第十区第十区二维正方晶格的布二维正方晶格的布里渊区的简约区图里渊区的简约区图abjbaiaa 21jbbiab2221 ijjiba 2)(2ji )(0ji iaa 1jba 2倒格仍为矩形。倒格仍为矩形。 例例3 3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的：画出下面二维矩形格子的第一和第二布里渊区的扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为 。

17、ba，解解: :ij第一区第一区第二区第二区b2a2例例4：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。 jiaakiaakjaa222321解：解：面心立方正格基矢：面心立方正格基矢： 213132321222aabaabaab332141)(aaaa 倒格基矢倒格基矢: kjiakjiakjia 2221a3a2ai ajaka面心立方的倒格是面心立方的倒格是边长为边长为4 4/a/a体心立方。体心立方。 kjiabkjiabkjiab222321倒格基矢：倒格基矢：知体心立方正格基矢知体心立方正格基矢: : kjiaakjiaakji

18、aa222321 0002 O,a：X 0012 ,aX：L 2121212 ,aL：K 043432 ,aK：例例5 5：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为a a。 kjiaakjiaakjiaa222321解：正格基矢：解：正格基矢：332121)(aaaa jiakiakja 222 213132321222aabaabaab倒格基矢：倒格基矢：iajaka1a3a2a体心立方倒格是边长体心立方倒格是边长为为 4 4/a/a的面心立方。的面心立方。 jiabkiabkjab222321 jiaakiaakjaa222321知面心

19、立方正格基矢：知面心立方正格基矢：H 0012 ,aH：P 2121212 ,aP：N 021212 ,aN：正方形正方形正格正格简约布里简约布里渊区外形渊区外形面心立方面心立方正方形正方形十四面体十四面体(截角八面体截角八面体)体心立方体心立方十二面体十二面体简约布里渊简约布里渊区体积区体积(面积面积)*1SS *V 1*V 1布里渊区的外形由晶体构造的布拉维晶格决议；布里渊区的外形由晶体构造的布拉维晶格决议；布里渊区的体积布里渊区的体积( (或面积或面积) )等于倒格原胞的体积等于倒格原胞的体积( (或面积或面积) )。 第二节第二节 近自在电子近似近自在电子近似本节主要内容：本节主要内容

20、：5.2.1 5.2.1 一维弱周期场的解一维弱周期场的解5.2.2 5.2.2 一维简并微扰的计算一维简并微扰的计算5.2.3 5.2.3 能带的三种图示法能带的三种图示法 模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0V0替代替代V(x)V(x)，把，把周期性起伏周期性起伏V(x)-V0V(x)-V0作为微扰来处置。作为微扰来处置。5.2.1 一维弱周期场的解1.势场ikxnnVxVe)( 22d)e(1aaikxnxxVaV)()(xVaxV

21、(a(a为晶格常量为晶格常量) ) 5.2 近自在电子近似,VaxVaxiknn)(e)( 220)d(1aaxxVaV是是势势能能的的平平均均值值其其中中,ika1e nak2 即即“表示求和不包括表示求和不包括n=0项项 22d)e(1aaikxnxxVaV我们取我们取V0=0V0=0。由于势能是实数。由于势能是实数, ,可得关系式：可得关系式：*nnVV ikxnnVxVe)( VVVVVxVnxainnnxainn 0202ee)()()(dd2222xEx)x(Vxmkkk 2.零级近似解按照微扰实际按照微扰实际, ,哈密顿量写成哈密顿量写成,0HHH 2220dd2xmH 式中由由

22、得得)()(xExHkk )()()()(210210 xxxxEEEEkkkkkkkk )()(dd2222xExVxmkkk nnxainVVH2e)()(000 xExHkk LAAexikxk1,)(0 计入微扰后本征值的一级和二级修正为：计入微扰后本征值的一级和二级修正为：mkEk2220 kkkNakxxx )d()(00 kkkkkEEkVkEkVkE00221，0001kkkkkEEkVk 波函数的一级修正为波函数的一级修正为将将 带入带入0)(VxVV 000d)(VxxVk*k 0d)(0001 xVxVEk*kk 0001kkkkkEEkVk kkkkkEEkVkE,kV

23、kE00221 可以证明：可以证明： 其其他他情情况况当当02)(nakkVkxVkn kVk 利用：利用： nnnakkmVmk222222)2(22计入微扰后计入微扰后: : kkkkEEkVkEE0020 nnxainikxnakkmVL2222)2(2e1e1 0000)()(kkkkkkEEkVkxx )(exukikx nnxainikxnakkmVL2222)2(2e1e1)(xk 上式右端第一部分为平面波，第二部分为电子在行进过程中上式右端第一部分为平面波，第二部分为电子在行进过程中遭遭到起伏势场的散射作用所产生的散射波，各散射波的振幅为遭遭到起伏势场的散射作用所产生的散射波，

24、各散射波的振幅为： 222)2(2nakkmVn由于它的振幅已足够大，由于它的振幅已足够大，ank ，ank 当当时，时，00kkEE 这时散射波不能再忽略，此时这时散射波不能再忽略，此时 出现能量简并，需用出现能量简并，需用简并微扰计算。简并微扰计算。5.2.2 一维简并微扰的计算)()()(000 xBxAxkk 现实上，当波矢接近布拉格反射条件时，即现实上，当波矢接近布拉格反射条件时，即为为小小量量时时， )1()1(ankank零级波函数也必需写成两波的线性组合。零级波函数也必需写成两波的线性组合。零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合 ，an

25、k ank 当当时，时，1.零级波函数 )()()()(dd20000222xBxAExBxAVxmkkkk 利用利用)()()(dd2000222xxExxmkkk )()()(dd2000222xxExxmkkk 得到得到 0)()(0000 xVEEBxVEEAkkkk 将上式分别左乘将上式分别左乘:)()(*0*0积积分分再再对对和和xxxkk 将波函数代入薛定谔方程将波函数代入薛定谔方程2.本征值0 BVA)EE(*nok0)(0 BEEAVkn 其其他他情情况况当当02)()(nakkVkxVkkxVkn0d)(000 VxxVk*k 利用：利用：得：得：要使要使A，B有非零解，必

26、需满足有非零解，必需满足00*0 EEVVEEknnk由此求得由此求得 220000421nkkkkVEEEEE22224)1( nnnTVT 代表自在电子在代表自在电子在 形状的动能。形状的动能。222 anmTnank 222121 nnnnnnnnnnVTTVTEVTTVTE(1)(1)(2)(2) 220000421nkkkkVEEEEE 由于由于 是小量，是小量，(1)(1)式只适用于禁带之上的能带底部，而式只适用于禁带之上的能带底部，而(2)(2)式那么只适用于禁带之下的能带顶部。式那么只适用于禁带之下的能带顶部。 在能带底部，能量随波矢k的变化关系是向上弯曲的抛物线；而在能带顶部，那么是向下弯曲的抛物线。为为小小量量时时， )1( )1(ankankan Oan k kE0 0 DBAC222121 nnnnnnnnnnVTTVTEVTTVTE(1)(1)(2)(2)nnnnVTEVTE 当当 =0=0时：时：