函数的最值与导数公开课

1、Page 1关于函数的最值与导数公开课现在学习的是第一页，共16页Page 20 xyabf(a)f(b) 复旧知新复旧知新问题一：问题一：函数极值相关概念函数极值相关概念（1）若函数）若函数y=f(x)在点在点x=b的函数值的函数值f(b)比它在点比它在点x=b附近其他点的函数值都小，附近其他点的函数值都小，满足满足f (b)=0且在点且在点x=b附近的左侧附近的左侧f (x)0,右侧右侧f (x)0,则把点则把点b叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值点极大值点，f(b)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值极大值。（2）若函数若函数y=f(x)在点在点x=a的函数值的函数值f(a)比它在

2、点比它在点x=a附近其他点的函数附近其他点的函数值都小值都小,满足满足f (a)=0且在点且在点x=a附近的左侧附近的左侧f (x)0,则把点则把点a叫叫做函数做函数y=f(x)的的极小值点极小值点，f(a)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值极小值。现在学习的是第二页，共16页Page 3 复旧知新复旧知新问题二：问题二：一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？的极值的方法是什么？解方程解方程f (x) =0。当。当f (x0) =0时：时：（1）如果在）如果在x0附近附近 的左侧的左侧 f (x) 0 ，右侧，右侧 f (x)0 ,那么那么f (x0)是极是极大值；大

3、值；（2）如果在）如果在x0附近附近 的左侧的左侧 f (x)0 ,那么那么f (x0)是极小值；是极小值；现在学习的是第三页，共16页Page 4 观察区间观察区间a,b上函数上函数y=f (x)的图象，的图象，你能找出它的极大值和极小值吗？你能找出它的极大值和极小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？ 讲授新课讲授新课x1极大值：极大值：f (x2)，f (x4)，f (x6)极小值：极小值：f (x1)，f (x3)，f (x5)最大值：最大值：f (a)最小值：最小值：f (x3)oxyx2x3x4x5x6ba现在学习的是第四页，共16页Page 5规律总结

4、规律总结（1）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体概念；）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体概念；（2）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一个）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一个最大值或最小值；最大值或最小值；（3）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。最值特点：最值特点：现在学习的是第五页，共16页Page 6oxyaby=f(x)y= =f( (x) )oxyaboxyaby= =f( (x) )oxyaby= =f( (x) )性质探究性质探究探究问题探究问题1：开区间上

5、的最值问题：开区间上的最值问题结论结论 在开区间内的连续函数在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值。不一定有最大值与最小值。若有最值，一定在极值点若有最值，一定在极值点处取得。处取得。 如图，观察如图，观察（a，b）上的函数）上的函数y=f(x)的图像，它们在（的图像，它们在（a，b）上有最上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？现在学习的是第六页，共16页Page 7性质探究性质探究探究问题探究问题2：闭区间上的最值问题：闭区间上的最值问题y=f(x)abx1x2x4x3yxoaby=f(x) 如图，观察如图，观察

6、a，b上的函数上的函数y=f(x)的图像，它们在的图像，它们在a，b上有最大上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 一般地一般地，如果在闭区间，如果在闭区间a，b上函数上函数y=f(x)的的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。值和最小值。结论结论 特别地，若函数特别地，若函数y=f(x)在区间在区间a，b上是单上是单调函数，则最值则在端点处取得。调函数，则最值则在端点处取得。yxo现在学习的是第七页，共16页Page 8例例1 .给出下列说法：给出下列说法：（1）函数在

7、其定义域内若有最值与极值，则其极大值便）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值。是最大值，极小值便是最小值。 （2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 （3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值。之，若有极值，则一定有最值。 （4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个最大）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极值。值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极值。其中说法正确的有（其中说法正确的有

8、（）牛刀小试牛刀小试(4)现在学习的是第八页，共16页Page 9 一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在区间在区间a, b上的最大上的最大值与最小值的步骤如下：值与最小值的步骤如下： (1) 求函数求函数y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内的极值；内的极值； (2) 计算端点处的函数值计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数并将其与函数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最大值，的各极值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。最小的一个是最小值。 提炼升华提炼升华现在学习的是第九页，共16页Page 10典例精讲典例精讲例例 2.求函数求函数f(x)=48x

9、-x3在区间在区间-3, 5上的最值。上的最值。解：解：f(x)=48-3x2= -3(x2-16)= -3(x-4)(x+4)令令 f(x)=0，得，得 x=4或或 x= -4（舍）（舍）当当-3 x 0，函数单调递增；，函数单调递增； 当当4 x 5时，时，f(x)0，函数单调递减；，函数单调递减； 所以当所以当x=4 时，函数取得极大值，且极大值时，函数取得极大值，且极大值 f (4)=128； 又又 f (-3)= -117, f (5)=115所以函数在区间所以函数在区间-3, 5 上最大值为上最大值为 128，最小值为最小值为 -117.-117. 现在学习的是第十页，共16页Pa

10、ge 11 求函数求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间在区间-2, 1上的最值上的最值解：解： 又又 f (-2)=1, f (1)=-8所以函数在区间所以函数在区间-2, 1 上最大值为上最大值为 12, ,最小值为最小值为 - -8 巩固练习巩固练习f(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)，令令 f(x)=0，得，得 x=-1或或 x=2（舍）（舍）当当-2 x 0，函数单调递增；，函数单调递增；当当-1 x 1时，时，f(x)0，函数单调递减；，函数单调递减；所以当所以当x= -1时，函数取得极大值，且极大值时，函数取得极大值，且极大值f (-

11、1)=12；现在学习的是第十一页，共16页Page 12课堂小结课堂小结（1）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体概）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体概念；念；（2）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一个最大值或最小值；个最大值或最小值；（3）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。现在学习的是第十二页，共16页Page 13课堂小结课堂小结 一般地，如果在闭区间一般地，如果在闭区间a，b上函数上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。的曲线，那么它必定有最大值和最小值。现在学习的是第十三页，共16页Page 14课堂小结课堂小结(1) 求函数求函数y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内的极值；内的极值；(2) 计算端点处的函数值计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数并将其与函数