复变函数：5-复积分与Cauchy-GoursatThm

1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 实变函数的可导性甚至不能保证其导函数的连续性。112 sincos0,( ) 00.ttf tttt 0lim( )( )0tf tf tt不存在，在处不连续。21sin0, ( )00.ttf ttt例如 解析函数却有很好的性质：解析函数的导函数仍解析。 Cauchy从表面看这是一个微分问题，但其证明却要利用复积分（积分公式）。Cauchy-GoursatCauchy 本章最重要的内容是基本定理和积分公式，它们是研究解析函数的理论基础。1. 复变函数积分的概念复变函数积分的概念( )Def wf zDCDAB设在区域 中有定义, 为 中以 为起点

2、为终点的光滑有向曲线.012,nCnAzz zzB 把曲线 任意分成段弧,设分点为 1111(1,2, ),()()().kkknnnkkkkkkkzzknSfzzfz在每段弧上任取一点作和 1. 定义定义11max.kkkkk nszzs 记的长度, 0,( ),nkCSf zC 时,如果不论对 的分法及的取法如何,有唯一的极限 则称该极限值为函数沿曲线的积分 ,n 当且( ).CCf z dz如果 为闭曲线,积分也记作 , ,( )( ), ( )( ).RemarkbCaCxa bf zu xf z dzu x dx当 为 轴上区间而时 有记作1( )lim().Cnkknkf z dz

3、fz2. 复积分存在的条件与计算复积分存在的条件与计算1()nkkkfz 先计算和式.( )( , )( , ),.kkkf zu x yiv x ypiq 记 ( )( )( ), ,Czz tx tiy tt 设光滑曲线 的方程为,( ( ), ( ),( ( ), ( ).AxyBxy正方向为参数增加的方向 起点终点于是有11() (,)(,)()nnkkkkkkkkkkfzu pqiv pqxi y 11 (,)(,) (,)(,).nkkkkkkknkkkkkkku pqxv pqyiv pqxu pqy,(,),kku vnCpq 若连续 当且弧段的最大长度0时,不论对 的分法如何

4、 不论点的取法如何 上式右端的两个和式的极限都存在. ( ).CCCf z dzudxvdyivdxudy 因此有( ):f zuivdzdxidy 上面的公式形式上可以看作是与相乘后求积分 ( )()() .CCCCCf z dzuiv dxidyudxivdxiudyvdyudxvdyivdxudy由实变函数的线积分计算方法,有 ( ) CCCf z dzudxvdyivdxudy ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )u x ty t x tv x ty ty tdtiv x ty t x tu x ty ty tdt (

5、), ( ) ( ), ( ) ( )( )u x ty tiv x ty tx tiy t dt ( ) ( ).f z t z t dt: 结论1) ( ),( ).Cf zCf z dz连续为光滑曲线积分存在2)( ),( ), ( ) ( ) ( ).CCxx tyy ttf z dzf z t z t dt 设有向光滑曲线 的参数方程为正方向为参数增加的方向 则形式上12123), ( ) ( )( ) ( ).nnCCCCCC CCCf z dzf z dzf z dzf z dz若 由有向光滑曲线依次相互连接而成(此时称 逐段光滑)则001 ,().nCdzCzrzz计算其中 为

6、以 为中心, 为半径的正向圆周例0 ,02 ,. iCzzreC的参数方程为参数增加的方向与 的正向一致解02211(1)00 .()iinnnni nCdzireidedzzrre 于是0,2. ni当时 积分值为0,n 当时 积分值为2200 (cossin)0.innniiednindrr0120,00.()nCindznzz综上, .这个结果以后经常要用到3. 复积分的性质复积分的性质1) ( )( ).CCf z dzf z dz 2) ( )( ), .CCf z dzf z dz3) ( )( )( )( ).CCCf zg z dzf z dzg z dz4) ,( ),. (

7、 )( ).CCCL f zMzCf z dzf z dsML 设曲线 的长度为则111 ()()()Proof.:nnnkkkkkkkkkfzfzfs ( )( )().CCf z dzf z dsML两边取极限得01 .CCCzzdzdz设 是从 到 的一条光滑可求长弧段,试比较积分与的不同点例10, Cdzzz由积分的定义,解于是C表示弧段 的弦长. CCdzdsC为第一型曲线积分,表示弧段 的弧长.10Cdzzz 2. Cauchy-Goursat基本定理基本定理( )( ). ,. Cauchy-RiemannGreen,f zuivBfzBCBD 设在区域 中,且在中连续为 中任意

8、简单闭曲线 逆时针方向为正,其内部记为由条单连通解析件和公式 有, ( )0.CCCf z dzudxvdyivdxudy于是 ()0, ()0.xyCDxyCDudxvdyvudxdyvdxudyuvdxdy.CfD由 的任意性,解析函数 在单连通区域 中积分与路径无关,( )Cauchy-Goursat-fzB 上面的假设条件中在 中连续的条件是可以去掉的,这就是下面的基本定理解析函数理论中最基本的定理. (Cauchy-Goursat0hm.TfBfBC单基本定理) 若 在区域中,则 沿 内任何一条闭曲线解析的积分为连通Remark .C定理中 可以不是简单曲线Remark CB定理中要

9、求 在区域 中.,( )0.CCBfBBf z dz 进一步可以证明:若 为区域 的边界在 中解析,在 上连续 则仍有 Cauchy-GoursatRemark定理说明函数积分是否与路径无关涉及到函数的解析性及解析区域的单连通性.该定理是函数积分与路径无关的充分而非必要条件. ,.RemarkC无特殊说明时 闭曲线 取逆时针方向为正 ( )f zz 处处不解析例.如图,1 i1xyo1C2C3C11100(1)(1)21,Czdzi ti dttdt2101 2,Czdzt dt310(1)1 2,Czdzitidti231 2 1 21.CCzdzii .积分与路径有关20000 1 ()

10、:,Cauchy-Goursat 20.CfzzBzCzzrCBdzizz函数的解析区域不是单连通的,曲线正向,不满足定理的条件,且例 ( )f zz 在复平面上积分与例路径无关.1L2LG12,()fL LGG 如图,设 在以闭曲线逆时针方向为正 为边界的区域 内解析,在 上连续.3. 复合闭路原理复合闭路原理基本定理的推广基本定理的推广BBDDCauchy-Goursat由基本定理可得,AA CC作辅助线AACC( )0,( )0.AA D C CDAABCC B A Af z dzf z dz 即) ( )0,) ( )0.AAA D CC CCDAABCCCC B AA Af z dzf z dz ( (1L2LAACCBBDD1212() ( )0, -( )( ). -LLLLf z dzf z dzf z dz 两式相加得复合闭路原理闭路变形原理121(2)( )( ),(). knnCCkf z dzf z dzC CCC其中及 均取正向 逆时针方向12(1)( )0,. nf z dzCCCC 其中为复合闭路 -复合闭路原理1212Thm ,nnCC CCCfC C CCGG设 为简单闭曲线为 内部的简单闭曲线,它们互不相交且互不包含. 在以为边界的多连通区域 中解析,在 上连续 则1C2CnC3CCG221 ,1.CzdzCzzz计算其