考研数学微积分复习精要

1、1、函数定义：已知两个集合A,B；从A到B的一个函数是一个规则，它对集合A中每个元素指定了集合B中一个唯一的元素，记作：F:AB；若xA, FxB则可表示为：xFx；复合：fgx=fg；函数代数的单位元：ff-1=I；其中f-1表示反函数，即某函数的逆；并非所有函数都存在逆函数的；只有定义了F:AB是一对一的映射；只有定义了F:AB的才是一对一的映射关系，才存在函数的逆元；函数极限性质：limxafx±gx=limxafx±limxagx；limxafxgx=limxafxlimxagx ; limxafxgx=limxafxlimxagx, limxagx0渐近线方程：l

2、imxx0fx=，其中x0为一个奇点，此时存在垂直渐近线：x=x0；limxfx=c，则存在水平渐近线：y=c；limxfxx=a ; limxfx-ax=b y=ax+b；此为一般渐近线；fx+f-x一定为偶函数；而fx-f-x则一定为奇函数；奇函数证明：定义域关于0对称；fx+f-x=0；2、连续性、可导性问题函数连续性，在几何上呈现为不间断的连续曲线，包括角点；满足以下条件： x0必须在函数定义域内，即fx0必须有定义；limxx0fx必须存在；limxx0fx=fx0； 性质： 任何多项式函数在其定义域内都是连续的； 在定义域内连续的任意有限个函数的和差积商，在定义域内也分别是连续的；

3、函数连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件；即可导必连续，反之未必；可导性要求函数在几何上不存在角点，即原函数的平滑性，即导函数的连续性；导数的几何意义为曲线的斜率；间断点的定义： 第一类间断点：左右极限都存在； 可去间断点：左右极限相等；跳跃间断点：左右极限不相等； 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在；无穷间断点：该极限趋于无穷大；尖点问题：如果一个函数在一点x=c的一个邻域中除去点x=c自身以外均可微，而limxcf'x=±，并且f'x在x通过c时改变符号，则我们称点x=c是个尖点；由于当我们趋向x=c时导数变为无穷，故而我们推断出切线在我们趋向尖点时它变为

4、竖直；两个重要极限：limx0sinxx=1；limx1+1xx=e；求fx,y在0,0点上的连续性，以及可导性：先令x=y0，求出fx,y的值；若是常数，则表明在任意小的邻域内总是有fx,y=c，若 f0,0c，则可以判定0,0必为一个间断点；再令fx,0=a1x0a2x=0 若a1=a2，则必有fx'x,0=fx'0,0=0；同理可判断fy'0,0的情况；3、导数定义：f'x0=limx0fx0+x-fx0x=limx0yx=limxx0fx-fx0x-x0； 两个基本公式：ddxfx+gx=f'+g'；ddxfxgx=f'g+fg&

5、#39;；易忘公式 其他基本的常用公式请参考教材；：fxgx'=f'xgx-fxg'xg2x；arcsinx'=11-x2；ax'=axlna；tanx'=sec2x；x'=xx；xx'=1+lnxxx；sinhx'=coshx；coshx'=sinhx；tanhx'=1coshx2；性质：fx>gxf'x>g'x；Fx=gxx =念phi/fi/；x在x= 念xi/ksai/处连续但不可导，而g'x却是存在的，则g=0是Fx在x=处可导的充分必要条件；如果y=fx在0,

6、内有界且可导，则当limx+f'x存在时，limx+f'x=0；fx处处可导，则当limx+f'x=+时，则必有limx+fx=+； 链式微分法：dfgdx=dfdgxdgdx；反函数微分 一般情况下，我们总是约定反函数形式若存在平方根函数时取其正值；在隐函数中亦是如此；法则：反函数性质：ff-1x=f-1fx=x；dxdy=1dydx；偏导数则不具有该性质； df-1xdx=1f'f-1x；4、全微分及偏导数全微分定义：U=Ux1,x2,xn DifferentialdU=Ux1dx1+Ux2dx2+Uxndxn；全导数：y=fx,w,z;w=gx;z=hx；

7、先对x,w,z求全微分：dy=yxdx+ywdw+yzdz； 再对x求微商：dydx=yx+ywdwdx+yzdzdx；偏全导数：y=fx,w,z,q;w=gx,q;z=hx,q；方法同上得：dydx=yxdxdx+ywdwdx+yzdzdx+yqdqdx; ( dxdx=1; dqdx=0 )dydx=yx+ywdwdx+yzdzdx； 一般隐函数法则：Fy,x1,x2,xm=0，若隐函数y=fx1,x2,xm存在，则有偏导数：yxi=-Fxi'Fy',i=1,2,m； 联立方程组的隐函数法则：F1y1,y2,yn;x1,x2,xm=0F2y1,y2,yn;x1,x2,xm=

8、0Fny1,y2,yn;x1,x2,xm=0雅可比行列式JF1,F2,Fny1,y2,ynF1y1F1ynFny1Fnyn0则说明，该方程组均具有连续偏导数；使用全微分法则可推导出如下偏导数方程组：F1y1F1ynFny1Fnyny1x1ynx1=-F1x1-Fnx1Crameryjx1=JjJF1y1F1ynFy1Fnyny1xnynxn=-F1xn-FnxnCrameryjxn=JjJ5、一元函数麦克劳林级数（Maclaurin series）：多项式函数fx围绕x=0展开fx=f00!+f'01!x+f''02!x2+fn0n!xn泰勒级数（Taylor seri

9、es）：多项式函数fx围绕x=x0+展开， 念delta/'delt/为偏差值；然后按g作为麦克劳林级数展开，然后将代换掉，推出Pn=fx=fx00!+f'x01!x-x0+f''x02!xx-x02+fnx0n!x-x0n任意函数的泰勒级数展开，x=Pn+Rn；Rn称为余项；余项的拉格朗日（Lagrange）型：Rn=n+1n+1!x-x0n+1；拉格朗日（Lagrange）中值定理：fx在a,b处连续，在a,b处可导，则至少存在一点a,b；fb-fa=f'b-a几何意义：fb-fa=BC=BCACAC=f'b-a柯西定理：fb-fagb-ga

10、=f'g' g'0；极值的导数验证：极值的定义：x0最近邻域内的x值，如果fx-fx0恒为负（正），则fx达到极大（小）值；f'x00；选择n=0； fx-fx0=P0+R0=f'1!x-x0=f'x-x0因为是x0最近邻域内的值，所以f'0；因此fx-fx0正负不确定，故无极值；若f'>0，则为单调递增函数；若f'<0，则为单调递减函数；单调函数所特有的性质是一对一映射的关系。f'x0=0; f''x00；选择n=1； fx-fx0=P1+R1=f'x0x-x0+f'&

11、#39;2!x-x02=12f''x-x02因为x-x02总为正；f''0；故当f''>0时，fx为极小值；f''<0时，fx为极大值；f'x0=f''x0=0; f'''x00；选择n=2； fx-fx0=P2+R2=16f'''x-x03因为x-x03不确定符号；f'''0；同理所以不存在极值；又因为f'x0=0，故该点为拐点；f'x0=f''x0=fm-1x0=0; fmx00；选择n=

12、m-1； fx-fx0=Pm-1+Rm-1=1m!fmx-x0m结论：A、如果m为偶数时，fmx0>0为极小值；fmx0<0为极大值；B、如果m为奇数时，不存在极值，若f'x0=0，则x0为拐点；极值定理：Fermat定理：如果函数fx为a,b上的一个可微函数，如果存在一个a,b，为fx的一个局部极大或者极小点，那么f'=0；Rolle定理：如果函数fx为a,b上的一个可微函数，且有fa=fb，则必有f'=0; a,b；Rolle定理证明：令xa,b; fxm,M;若M=m fx=C f'x=0；C为常数；若Mm，则必然存在M或者m至少有一个不等于f

13、a；假设Mfa=fb；则必然存在一个a,b；使得f=M；因为已构成一个局部极大点，所以f'=0；Rolle定理推论：若存在一个 念eta/'et/a,b，且f>fa; f>fb；则必然存在一个最大点a,b; ，使得f=M；因此f'=0；6、两元函数两元函数相对极值的求解：z=fx,y条件极大值极小值一阶必要条件fx'=fy'=0fx'=fy'=0二阶充分条件fxx'',fyy''<0；fxx''fyy''>fxy''2fxx'&

14、#39;,fyy''>0；fxx''fyy''>fxy''2若fxx'',fyy''符号相反，则表明该点为曲面上的鞍点，即fxx''fyy''<fxy''2；海塞行列式Hessian determinant：H=fxx''fxy''fxy''fyy''；正定极小，负定极大；多元函数的极值问题：一阶导数为零；H=f11''f1n''fn1&#

15、39;'fnn'' ；正定极小，负定极大；凹凸性定理 国内某些教材的凹凸性定义与国际定义正好相反，国际定义为二阶大于零为凸，反之为凹；：若fx是线性函数，则此函数既是凹函数，也是凸函数，但不是严格凹凸函数；若fx为凹函数，则-fx为凸函数，反之亦然；推广到严格凹凸函数也成立；若fx与gx均为凹（凸）函数，则fx+gx也是凹（凸）函数；若其中至少有一个为严格凹（凸）函数，则fx+gx为严格凹（凸）函数；若函数可微，则d2z若为正定则为凸函数，反之则为凹函数；奇函数关于原点对称，分别在区间-,0与0,+上，其单调性相同，凹凸性相反；此外，如果是fx奇函数，且在x=0处有定义

16、，则f0=0；7、n个变量和多重约束下的最优化 如果使用gx1,x2,xn-c，则拉格朗日乘数前应为负号，这切不可弄错；：z=fx1,x2,xn; s.t. gx1,x2,xn=c; hx1,x2,xn=dL=fx1,x2,xn+c-gx1,x2,xn+d-hx1,x2,xn一阶条件：L'=0;L'=0;Lx1'=0;Lxn'=0；二阶条件：使用海塞加边行列式，记作H；H=0000gx1'gx2'hx1'hx2'gxn'hxn'gx1'hx1'gx2'hx2'gxn'hxn&

17、#39;L11''L12''L21''L22''L1n''L2n''Ln1''Ln2''Lnn''加边主子式定义为：H1=00gx1'00hx1'gx1'hx1'L11''加边主子式Hk<0, k2；则为正定，故为极小值；加边主子式k为奇数时Hk<0，k为偶数时Hk>0；则为负定，故为极大值；8、拟凹性与拟凸性定义：令u和v为函数f定义域（凸集 这里的定义域凸集为非负正交分划体，即非负象

18、限的n维模拟，即有x1,xn0组成的定义域；）中的两个不同的点，定义域中的线段uv在函数f图形上给出弧段MN，使得点N高于或等于点M；如果弧段MN上除了点M和N外的所有点均高于或等于点M，则称为函数f为拟凹函数；同理，若均低于或等于点N，则称函数f为拟凸函数。如果弧段MN上除了点M和N外的所有点均严格高于点M，则称函数f为严格拟凹函数；同理，若均严格低于点N，则称函数f为严格拟凸函数。定理：若fx为拟凹函数，则-fx为拟凸，反之亦然；推广到严格时也成立；任意凹（凸）函数都是拟凹（拟凸）函数，但反之则不成立；任意严格凹（凸）函数都是严格拟凹（拟凸）函数，但反之则不成立；若fx是线性函数，则此函数

19、既是拟凹函数，也是拟凸函数，但非严格；导数判定法则：z=fx1,xn为二阶连续可微；则其加边行列式 这个加边行列式，并非前面介绍的海塞加边行列式，两者是不同的；为：B=0f1'f2'f1'f11''f12''f2'f21''f22''fn'f1n''f2n''fn'fn1''fn2''fnn''加边主子式k为奇数时Bk0，k为偶数时Bk0；是拟凹函数的必要条件；加边主子式Bk0，是拟凸函数的必要条件；k为

20、奇数时Bk<0，k为偶数时Bk>0，是非负f为拟凹的充分条件；Bk<0，是非负f为拟凸函数的充分条件；B与H的关系：当gx1,x2,xn为线性方程时，则有L=fx1,x2,xn+c-gx1,x2,xn Lj=fj-aj .and. Lij=fij B=2H9、易忘常用积分公式含a2-x2, a>0的积分；1a2-x2dx=arcsinxa+C；xa2-x2dx=-a2-x2+C；x2a2-x2dx=-x2a2-x2+a22arcsinxa+C；a2-x2dx=x2a2-x2+a22arcsinxa+C；a2-x23dx=x85a2-2x2a2-x2+38a4arcsin

21、xa+C；xa2-x2dx=-a2-x233+C；含a2±x2的积分；1a2+x2dx=1aarctanxa+C；1a2-x2dx=12alna+xa-x+C, x<a；含a+bx2的积分；xa+bx2dx=12blna+bx2+C；1xa+bx2=12alnx2a+bx2+C；含三角函数的积分；sec2xdx=tanx+C；cscxdx=lntanx2+C；tanxdx=-lncosx+C；arcsinxadx=xarcsinxa+a2-x2+C；02sinnxdx=02cosnxdx=n-1nn-3n-2122n2k,kNn-1nn-3n-223n2k-1,kN；含指数或对

22、数的积分；axdx=axlna+C；eaxdx=eaxa+C；xeaxdx=eaxa2ax-1+C；lnxdx=xlnx-x+C；xnlnxdx=xn+1lnxn+1-1n+12+C；lnxx-1dx=4arctanx-1+2x-1lnx-2+C；xmlnnxdx=xm+1m+1lnnx-nm+1xmlnn-1xdx；广义积分公式；0+e-axdx=1a , a>0；0+xne-axdx=n!an+1 , a>0；0+e-a2x2dx=2a；0+x2ne-ax2dx=1352n-12n+1ana；10、积分性质几个基本公式：abKfxdx=Kabfxdx；K为常数；abfx

23、7;gxdx=abfxdx±abgxdx；abfxdx=acfxdx+cbfxdx , acb；abfxdx=-bafxdx；F'x=fx，这里的Fx称为 fx的反导数，国内教材也称作原函数；换元积分公式：fudu=fuu'xdx；分部积分公式：udv=uv-vdu；积分中值定理：若函数fx在a,b处连续，gx在a,b处可积且不变号，则至少存在一点a,b abfxgxdx=fabgxdx设M与m分别是函数fx在区间a,b上的最大值与最小值，则有：mb-aabfxdxMb-a在函数值域为正的区域，积分其面积为正，反之为负，因此奇函数是关于原点对称，所以在积分区域对称的情

24、况下，奇函数的积分为零；同理如果函数是关于x轴对称的话，那么其积分也必然为零；11、积分计算方法有理函数是指两个多项式函数的比：FxGx , Gx0；任何有理函数均可拆分为：axbx=qx+rxbx；qx和rx均为多项式，其中rx又称为余项，是一个次数严格小于bx次数的多项式；任何多项式均可分解为一次的多项线性函数，亦称为线性因子；因此总可以找到rxbx=A1x+t1+A2x+t2+Akx+tk；例：求解x3-5x2+8x-2x2-5x+6dx；因为分子的次数大于分母，因此必须做长除：x3-5x2+8x-2x2-5x+6=x+2x-2x2-5x+6；分解分母：x2-5x+6=x-2x-3；令2

25、x-2x2-5x+6=A1x-2+A2x-3 2x-2=A1x-3+A2x-2；按线性因子归零原则在定义域内可自由定义x值，从而求出Ai；x=3 A2=4；x=2 A1=-2；原积分可拆分为：x3-5x2+8x-2x2-5x+6dx=x+-2x-2+4x-3dx三角函数替换法：含有a2-x2因子的，可令x=asin；三角法则：1-sin2=cos2；含有a2+x2因子的，可令x=atan；三角法则：sec2x=1+tan2x；含有x2-a2因子的，可令x=asec；三角法则：sec2x-1=tan2x；双曲函数替换法：基本定义：sinhx=ex-e-x2；coshx=ex+e-x2；应用法则：

26、1+sinhx2=coshx2；含有a2+x2因子的，可令x=asinht；dx=acoshtdt；含有x2-a2因子的，可令x=acosht；dx=asinhtdt；魏尔斯特拉斯替换：令t=tanx2 sinx=2t1+t2 , cosx=1-t21+t2 , dx=21+t2dt12、微积分的几何及数值计算应用微分的应用：曲线y=fx在点x0,y0处的切线方程为：y-y0=f'x0x-x0；法线方程为：y-y0=1-f'x0x-x0；与切线垂直的方程并非一定是法线方程，因为可能不过x0,y0；积分的应用：计算函数fx在区间a,b上的平均值：1b-aabfxdx；计算函数面积

27、： 两函数无交点，则围成面积为：abfx-gxdx； 两函数有交点，则围成面积为 这个原理也称为卡瓦列里原理Cavalieri's Principle：abfx-gxdx； 计算弧长：ab1+f'x2dx；当令b为未知数时可得弧长函数；通过截面积求体积：设是个三维实体，它位于在x轴上点a和b的平面之间，其 中a<b，如果Ax是在x的横截面的面积，则=abAxdx； 旋转体的体积： 旋转体截面积Ax=f2x； 设R为曲线y=fx在区间a,b上与x轴之间的区域，绕x轴旋转R，得到的物体体积由下面公式给出：Vx=abf2xdx； 设R为曲线y=fx在区间a,b上与x轴之间的区域

28、，绕y轴旋转R，得到的物体体积由下面公式给出：Vy=ab2xfxdx；若要求曲线与y轴所围成的区域，则只需先求出反函数，按如上方法求解； 由f1x,f2x两曲线围成区域，绕x轴旋转，则体积为Vx=abf22x-f12xdx13、常微分方程变量可分离的方程：dydx=fxgy , gy0 , dygy=fxdx+c；齐次方程：dydx=fyx , define. u=yx y=ux yx'=u+xux'=fudufu-u=lncx；将u=yx代回，得到通解；准齐次方程-I：dydx=fax+by+c , define. u=ax+by+c ux'=a+byx' dua+bfu=x+c；将u=ax+by+c代回，得到通解；准齐次方程-II：dydx=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2；if. =a1b1a2b2=0 .and. bi0 , define. u=aix+biy+ci , i=1,2可将方程化为第一种变量可分离方程来解；if. =a1b1a2b20 , define. x=ux+y=uy+ .and. a1+b1+c1=0a2+b2+c2=0；则原方程可化为第二类齐次方程duydux=fa1ux+b1uya2ux+b2uy，进而求解；全微分方程：Px,ydx+Qx,ydy=0 , where. Py=Qx de