(单辉祖)工程力学课件ppt 6弯曲应力

1、单辉祖：材料力学2第 6 章 弯曲应力 梁的弯曲正应力 梁的弯曲切应力 梁的强度分析与设计 弯拉(压)组合问题本章主要研究：单辉祖：材料力学3第6章 弯曲应力 1 弯曲正应力 2 惯性矩与平行轴定理3 弯曲切应力4 梁的强度条件5 梁的合理强度设计 6 弯拉(压)组合与截面核心单辉祖：材料力学41 弯曲正应力 引言引言 弯曲弯曲试验与假设试验与假设 弯曲正应力公式弯曲正应力公式 例题例题单辉祖：材料力学5 引引 言言弯曲应力弯曲应力 弯曲正应力弯曲正应力梁弯曲时横截面上的梁弯曲时横截面上的s s 弯曲切应力弯曲切应力梁弯曲时横截面上的梁弯曲时横截面上的t t对称弯曲对称弯曲对称截面梁，在纵向对

2、称面承受横向对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式外力时的受力与变形形式对称弯曲对称弯曲单辉祖：材料力学6 弯曲弯曲试验与假设试验与假设弯弯曲曲试试验验点击点击画面画面单辉祖：材料力学7试验现象试验现象 横线仍为直线横线仍为直线，仍与纵线正交仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短，靠底部纵靠顶部纵线缩短，靠底部纵 线伸长线伸长 纵线伸长区，截面宽度纵线伸长区，截面宽度减小减小, , 纵线缩短区，纵线缩短区，截面截面宽度宽度增大增大弯曲假设弯曲假设 横截面变形后仍保持平面, 仍与纵线正交弯曲平面假设弯曲平面假设 各纵向”纤维” ,处于单向受力状态单向受力假单向受力假设设 （纯弯与正弯矩作用

3、）（纯弯与正弯矩作用）单辉祖：材料力学8推推 论论 梁内存在一长度不变的过渡层中性层中性层 横截面间绕中性轴相对转动 中性轴截面纵向对称轴单辉祖：材料力学9 对称对称弯曲正应力公式弯曲正应力公式公式的建立公式的建立几何方面几何方面 dd)d()( yy0)( y 物理方面物理方面)()(yEy s s 0)()( yGy t t y yE 单辉祖：材料力学10静力学方面静力学方面结论结论中性轴过截面形心中性轴过截面形心zEIM 1z)(IMyy s s 中性轴位置：中性轴位置： 截面弯曲刚度）截面弯曲刚度）（zEIzWM maxs s 抗弯截面系数）抗弯截面系数）（zW 正正应力公式：应力公式

4、： 中性层曲率：中性层曲率：(a) )( s syEy (b) 0d AAs s(c) dMAyA s spmaxs ss s ，对称弯曲对称弯曲 , 纯弯与非纯弯纯弯与非纯弯联立求解式联立求解式(a),(b)与与(c) 惯性矩）惯性矩）（zI 应用条件：应用条件：详见详见单辉祖：材料力学11一些易混淆一些易混淆的的概念概念 对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横 向外力时的受力与变形形式向外力时的受力与变形形式 纯纯 弯弯 曲梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩曲梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩 为常数的受力状态为常数的受力状态 中性轴横截面受拉与受压区的分界线

5、中性轴横截面受拉与受压区的分界线 形心轴通过横截面形心的坐标轴形心轴通过横截面形心的坐标轴 弯曲刚度弯曲刚度EI代表梁截面抵抗弯曲变形的能力代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数抗弯截面系数Wz代表梁截面几何性质对弯曲代表梁截面几何性质对弯曲 强度的影响强度的影响中性轴中性轴与与形心轴形心轴对称弯曲对称弯曲与与纯弯曲纯弯曲 截面弯曲刚度截面弯曲刚度与与抗弯截面系数抗弯截面系数单辉祖：材料力学12 例例 题题 例例 1-1 梁用梁用18 工字钢工字钢 制成制成, Me=20 kNm, E=200 GPa。计算：计算：最大最大弯曲正弯曲正应力应力s smax , 梁轴曲率半径梁轴曲率半径 解：

6、解：1. 工字钢工字钢一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材（GB 706-88）45m 1066. 1 zI34m 1085. 1 zW18 工字钢：工字钢：单辉祖：材料力学132. 应力计算应力计算3. 变形计算变形计算mkN 0 .20e MMMe=20 kNm，E=200 GPa，求求 s smax 与与 45m 1066. 1 zI34m 1085. 1 zWMPa 1 .108max zWMs szEIM 1m 166 MEIz 单辉祖：材料力学142 惯性矩与平行轴定理 静矩与惯性矩静矩与惯性矩 简单截面惯性矩简单截面惯性矩 平行轴定理平

7、行轴定理 例题例题单辉祖：材料力学15 静矩与惯性矩静矩与惯性矩 AzAySd静矩静矩惯性矩惯性矩 niizzSS1 niizzII1 AzAyId24L3LCAy 截面对截面对z轴的轴的静矩静矩截面对截面对 z 轴的轴的惯性矩惯性矩 niCiiyA1单辉祖：材料力学16 简单截面惯性矩简单截面惯性矩矩形截面惯性矩矩形截面惯性矩hbhWz2123 AzAyId2圆形截面惯性矩圆形截面惯性矩AIAd2p zII2p 6424pdIIz 3226434dddWz ybyhhd2/2-2 123bh 62bh AzyAd)(22 yzII 单辉祖：材料力学17 平行轴定理平行轴定理平行轴定理平行轴定

8、理Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系Oyz 任意直角坐标系任意直角坐标系 AzAyId22020d2dAaAyaAyIAAz 20 AaIIzz AyIAzd 200 同理得：同理得：20AbIIyy 0d 0 AAy AzAayId20二者平行二者平行的关系的关系与与建立建立 0zzII单辉祖：材料力学18 例例 题题 例例 2-1 已知：已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d d=20mm计算：计算：截面截面 B-B 的最大拉应力的最大拉应力s st,max与压应力与压应力s sc,max解：解：1. 弯矩计算弯矩计算mN 6000 FlMB单辉祖：材料力学1

9、92. 惯性矩计算惯性矩计算m 045. 022 bbbbbyCd dd dd dd dd dd d46-231m 103.02212 d dd dd dCzybbI46-232m 105.82212 CzybbbId dd dd d4621m 10848 .IIIzzz3. 最大弯曲正应力最大弯曲正应力MPa 530maxt,.IyMzCB s sMPa 564)(maxc,.IybMzCB d ds s单辉祖：材料力学20例例 2-2 已知已知：钢钢带厚带厚d d=2mm, 宽宽b=6mm, D=1400mm, E=200GPa。计算计算：带内的带内的 s smax 与与 M解解：1. 问

10、题分析问题分析 s syE s smaxmaxyE zEIM 1 应力变形关系：应力变形关系： 内力变形关系：内力变形关系：已知钢带变形，求已知钢带变形，求钢带应力与内力钢带应力与内力单辉祖：材料力学21带厚带厚 d d=2 mm, 宽宽 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa，求，求 s smax 与与 M22d d D s smaxmaxyE 2. 应力计算应力计算MPa 285maxmax s syE2maxd d y3. . 弯矩计算弯矩计算zEIM 1 zEIM 12 3d d bE mN 141. 1 m 701. 0 m 100 . 13 单辉祖：材料力学2

11、23 弯曲切应力 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力 工字形等工字形等薄壁梁的薄壁梁的弯曲切应力弯曲切应力 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较 例题例题单辉祖：材料力学23 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力假设假设t t (y) / 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布截面侧边，并沿截面宽度均匀分布问题问题狭窄矩形截面梁狭窄矩形截面梁(hb)，分析其弯曲切应力分布，分析其弯曲切应力分布单辉祖：材料力学24弯曲切应力公式弯曲切应力公式xFbydd1)( t tbISFyzz)()(S t t Sz( )面积面积 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩Fxb,Fxdd

12、 0 t t s s dAFxMbISyzzdd)()( t t d* AyIMzzzIMS)( 单辉祖：材料力学25bISFyzz)()(S t t yhyhbSz2212)( 22S4123)(hybhFyt tAFSmax23 t t123bhIz 2242yhb单辉祖：材料力学26截面翘曲与非纯弯推广截面翘曲与非纯弯推广 切应变切应变非均布非均布 截面翘曲截面翘曲（abab（=，弯曲，弯曲 s s 仍保持线性分布仍保持线性分布切应力非均布切应力非均布当梁上作用横向分布载荷时，只要当梁上作用横向分布载荷时，只要 l 5h，纯弯，纯弯s s 公式仍足够精确公式仍足够精确当当FS= =常数时

13、，常数时，单辉祖：材料力学27 工字形等工字形等薄壁梁的薄壁梁的弯曲切应力弯曲切应力工字形薄壁梁工字形薄壁梁d d t tzzISFy)()(S 假设假设 : : t t / 腹板侧边，腹板侧边，并沿其厚度均匀分布并沿其厚度均匀分布 )4-()-(8)(22220SyhhhbIFyzd dd dt t y 下侧部分截面下侧部分截面对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩(0)maxt tt t )2(minh t tt t单辉祖：材料力学28盒形薄壁梁盒形薄壁梁 )4-(2)-(612)()(22220SSyhhhbIFISFyzzzd dd dd d t t 单辉祖：材料力学29 弯曲正应力与弯曲

14、切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较22max66bhFlbhFl s sbhF23max t t hlFbhbhFl43262maxmaxt ts s当当 l h 时，时，s smax t tmax单辉祖：材料力学30 例例 题题例例 3-1 FS = 15 kN，Iz = 8.84 10-6 m4，b = 120 mm，d d 20 20 mm， yC = 45 mm。试求试求 ：t tmax ；腹板与翼腹板与翼缘交接处切应力缘交接处切应力 t ta352maxm 100392)( .ybSC, zd dd dMPa 667maxSmax.ISFz, z d dt t35-,m 108.4

15、0-2 CazybbSd dd dMPa 137S.ISFzaa d dt t解：解：单辉祖：材料力学31解：解：例例 3-2 已知梁段剪力已知梁段剪力F FS S，试分析铆钉的受力，试分析铆钉的受力12S2FFF 212SFFF 单辉祖：材料力学32zzISMF11 zS 上翼板横截面对上翼板横截面对 中性轴中性轴 z 的静矩的静矩zzISMF22 eFMMS12 zzISeFF2SS 212SFFF M1 横截面横截面 1 的弯矩的弯矩M2 横截面横截面 2 的弯矩的弯矩zzISMMFF)(1212 单辉祖：材料力学334 梁的强度条件 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态 梁的强度条

16、件梁的强度条件 强度条件的选用强度条件的选用 例题例题单辉祖：材料力学34 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态实心与非薄壁截面梁实心与非薄壁截面梁a, c 点点处单向应力处单向应力b 点点处纯剪切处纯剪切单辉祖：材料力学35薄壁截面梁薄壁截面梁c , d 点点处单向应力处单向应力a 点点处纯剪切处纯剪切b 点点处处s ,t s ,t 联合作用联合作用d单辉祖：材料力学36 梁的强度条件梁的强度条件 弯曲弯曲正应力正应力强度条件：强度条件： 弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件： s ,ts ,t 联合作用联合作用强度条件强度条件maxs ss s maxt tt t s smax 最大

17、弯曲正应力最大弯曲正应力 t t 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许用应力（详见强度理论）（详见强度理论） s s 材料单向应力许用应力材料单向应力许用应力t tmax 最大弯曲切应力最大弯曲切应力单辉祖：材料力学37 梁梁强度条件的选用强度条件的选用 细长非薄壁梁细长非薄壁梁 短而高梁、薄壁梁、短而高梁、薄壁梁、 M 小小 FS大的梁大的梁maxmax t ts s maxs ss s maxs ss s maxt tt t 考虑考虑 s, ts, t 联合作用的强度条件联合作用的强度条件单辉祖：材料力学38 例例 题题例例 4-1 简易吊车梁，简易吊车梁，F =20 kN，l = 6 m，s

18、s = 100 MPa ，t t = 60 MPa，选择工字钢型号选择工字钢型号解：解：1. 危险工作状态分析危险工作状态分析lFlF)()(S FF maxS lFM 1)(4maxFlM 移动载荷问题移动载荷问题单辉祖：材料力学392. 按弯曲按弯曲 s s 条件选截面条件选截面 4maxs ss sFlMWz 选选 22a, Wz=3.0910-4 m43. 校核梁的剪切强度校核梁的剪切强度d dd dt tzzzzIFSISFmax,max,maxSmax MPa 11.14maxt tt t 44m 1003 .d dmax, zzSIF 4maxFlM FF maxS单辉祖：材料力

19、学40例例 4-2 铸铁梁铸铁梁， y1 = 45 mm，y2 = 95 mm，s st = 35 MPa ，s sc = 140 MPa，Iz =8.8410-6 m4，校核梁的校核梁的强度强度解：解：MD最大正弯矩最大正弯矩MB最大负弯矩最大负弯矩危险截面危险截面 截面截面 D, B单辉祖：材料力学41daBDyy,MM das ss s 危险点危险点zDaIyM2 s sMPa 859-. zDbIyM1 s sMPa 328. zBcIyM2 s sMPa 633. MPa 859maxc,.a s ss sMPa 633maxt,.c s ss s cs s ts s a, b, c

20、截面截面D截面截面B单辉祖：材料力学42例例 4-3 Fy =Fz =F = 1.0 kN，a = 800 mm，截面高截面高 h = 80 mm，截面截面宽宽 b = 40 mm，s s = 160 MPa ，校核梁强度校核梁强度解：解：1. 问题分析问题分析 分别位于分别位于x-y 与与x-z 平面的平面的两个对称弯曲的组合两个对称弯曲的组合 用叠加法求解用叠加法求解单辉祖：材料力学432. 内力分析内力分析危险截面危险截面FaM,FaMzAyA 2截面截面AFy =Fz =F单辉祖：材料力学443. 应力分析应力分析FaM,FaMzAyA 2危险点危险点zzAyyAWMWM maxs s

21、22662bhFahbFa MPa 5146. 4. 强度校核强度校核危险点处于单向应力状态危险点处于单向应力状态 maxs ss s 分别作用分别作用s st,max与与s sc,max, 且数值相等且数值相等=+d, f单辉祖：材料力学455. 讨论讨论zzyyIyMIzM- s s 弯曲正应力沿横截面线性分布弯曲正应力沿横截面线性分布 s smax 发生在离中性轴最远之点处发生在离中性轴最远之点处单辉祖：材料力学465 梁的合理强度设计 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁 梁的合理受力梁的合理受力单辉祖：材料力学47 梁的合理截面形状梁的合理截面形状

22、将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性与脆性材料的差异与脆性材料的差异tcts ss s yyc上下对称上下对称塑性材料梁塑性材料梁脆性材料梁脆性材料梁单辉祖：材料力学48 注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性腹板不能过薄，以避免剪切破坏与局部失稳腹板不能过薄，以避免剪切破坏与局部失稳单辉祖：材料力学49 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁)()(s s xWxM弯曲等强条件弯曲等强条件FxxM )(6)()(2xbhxW 6)(s sbFxxh )(2)(3St t xbhxF123)(hbFxh

23、 t tFxF )(S等强度梁等强度梁各横截面具有同样强度的梁各横截面具有同样强度的梁剪切等强条件剪切等强条件单辉祖：材料力学50单辉祖：材料力学51 梁的合理受力梁的合理受力合理安排约束合理安排约束 a = ? F 最大最大单辉祖：材料力学52合理安排加载方式合理安排加载方式单辉祖：材料力学536 弯拉(压)组合与截面核心 弯拉弯拉( (压压) )组合的应力组合的应力 偏心压缩应力偏心压缩应力 截面核心截面核心 例题例题单辉祖：材料力学54 弯拉弯拉( (压压) )组合的应力组合的应力实例实例弯拉组合弯拉组合偏心拉伸偏心拉伸（外力平行与（外力平行与 偏离轴线）偏离轴线）（横向载荷轴向载荷）（

24、横向载荷轴向载荷）单辉祖：材料力学55弯拉弯拉(压）组合分析压）组合分析AF Ns szIyMmaxM s szWMAFmaxmax s sMNs ss ss s zIyMAFmax maxs ss s 危险点处单向应力危险点处单向应力内力内力FN，Mmax单辉祖：材料力学56 偏心压缩应力偏心压缩应力外力向形心简化外力向形心简化弯压组合弯压组合zzyyIyMIzM Ms szyFeM yzFeM zyyzIyFeIzFeAF s sAF-N s s单辉祖：材料力学57 截面核心截面核心zyyzIyFeIzFeAF s s0 zyyzIyFeIzFeAFs s偏心压缩的中性轴偏心压缩的中性轴0

25、1 zyyzIyeIzeA中性轴方程中性轴方程偏心距愈小，中性轴离形心愈远偏心距愈小，中性轴离形心愈远单辉祖：材料力学58截面核心概念截面核心概念 当中性轴与横截面边缘相切当中性轴与横截面边缘相切时，截面上各点处仅受压时，截面上各点处仅受压中性轴中性轴 2 对应外力作用点对应外力作用点 ，点点、点、点、点、点构成一封构成一封闭边界闭边界，当外力作用于该边界当外力作用于该边界内时，横截面上各点处仅受压内时，横截面上各点处仅受压 使横截面仅受压之偏心压力使横截面仅受压之偏心压力作用点的集合，称为作用点的集合，称为截面核心截面核心 脆性材料杆偏心承压时脆性材料杆偏心承压时, 外力作用点宜控制在截面核外力作用点宜控制在