通信技术基础理论 ：第6章 离散时间系统的分析

1、第六章第六章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统1目录离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析6-4离散时间信号的时域表示离散时间信号的时域表示6-1序列的基本运算与典型序列序列的基本运算与典型序列6-2离散时间系统及其数学模型离散时间系统及其数学模型6-3用离散卷积求零状态响应用离散卷积求零状态响应6-52z变换的性质变换的性质6-73z变换变换6-6模拟信号的优缺点模拟信号的优缺点4模拟通信的优点是直观且容易实现，但存在两个主要缺点。 （1） 保密性差 模拟通信，尤其是微波通信和有线明线通信，很容易被窃听。只要收到模拟信号，就容易得到通信内容。 （2） 抗干扰能力弱 电信号在沿线路的

2、传输过程中会受到外界的和通信系统内部的各种噪声干扰，噪声和信号混合后难以分开，从而使得通信质量下降。线路越长，噪声的积累也就越多数字信号的特点数字信号的特点5数字信号的优点：（1）抗干扰能力强、无噪声积累。（2）便于加密处理。（3）便于存储、处理和交换。（4）设备便于集成化、微型化。（5）便于构成综合数字网和综合业务数字网。数字信号的缺点数字信号的缺点 占用频带较宽。占用频带较宽。 技术要求复杂，尤其是同步技术要求精度很高。技术要求复杂，尤其是同步技术要求精度很高。 进行模进行模/数转换时会带来量化误差。数转换时会带来量化误差。66-1 离散时间信号的时域表示离散时间信号的时域表示7离散时间序

3、列 用样值的集合来表示，0 9 0 8 0 3 0 1. , . , . , .数字序列 如: ( );( )x nf n离散信号有规则的， 可以用函数表示: 线段的长短表示各序列波形表示值的大小 为了标注在序列 的位置，一般在 n = 0下方标注一个小箭头，如果未标注箭头，则缺省认为序列左起第一个值为序列在 n = 0处的值。0n6-2 序列的基本运算与典型序列序列的基本运算与典型序列81相加：用同序号的值对应相加后构成新的序列。2相乘：同序号的数值对应相乘( )( )( )z nx ny n( )( )( )z nx ny n( )() z nx nm右右移移位位3移位：6-2-1 离散信

4、号的运算离散信号的运算( )() z nx nm左左移移位位9( )(2)(2)x nx nx n已已知知如如图图所所示示，请请画画出出和和的的图图形形。【例题例题6-3】 4 4、标度变换、标度变换10 , nx nx anx nxa或或( )( )nx nx n在压缩时，由于 只能取整数，所以需要去除中某些点。而在扩展时，则需将补足零值。【例题6-4】 ( )0,1,2,4,5,7(2 )2nx nxnx已知，求和的波形。解：115 5 序列的能量运算序列的能量运算6 6 差分运算差分运算：2( )nEx n( )x n信信号号的的能能量量( )(1)( )x nx nx n前前向向差差分

5、分：( )( )(1)x nx nx n后后向向差差分分：6-2-2 典型的离散序列典型的离散序列1 1单位样值信号单位样值信号120,0( )1,0nnn时移性0,()1,nKnKnK 。不是面积不是面积取有限值取有限值在在，幅度为，幅度为表示，表示，强度强度用面积用面积0)(; 0 )( nntt 13nO3( )x n22-1-1( )2 (2)(1)3 ( )2 (1)(2)x nnnnnn或者，写成或者，写成( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)(2) (2)x nxnxnxnxnxn( )x n因因此此，可可以以得得到到任任意意信信号号的的一一般般形形式

6、式( )( ) ()kx nx knk( )()nnK利利用用和和序序列列可可以以表表示示任任何何离离散散信信号号。142 单位阶跃序列单位阶跃序列10( )00nnnnO( )n11123( )( )(1)(2)(3)nnnnn( )( )(1)nnn( ):n可可以以看看作作是是无无数数个个单单位位样样值值之之和和( )( )nn与与是是差差和和关关系系，不不再再是是微微分分和和积积分分的的关关系系。0()knk单边指数序列：单边指数序列：15( )( )nx nan 6-3 离散时间系统及其数学模型离散时间系统及其数学模型16实际的离散系统处理的信号一般都是数字信号，并且通实际的离散系统

7、处理的信号一般都是数字信号，并且通过离散系统处理后的信号也是数字信号过离散系统处理后的信号也是数字信号对于离散系统来说，信号的变量是离散的整数，因此，系统的行为需用差分方程式来表示。6-3-2 离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型17( )如如果果在在第第 个个月月初初向向银银行行存存款款元元，月月息息为为 。nx na( )每每月月的的利利息息不不取取出出，则则第第 月月的的本本利利可可以以用用下下面面的的差差分分方方程程表表示示ny n( )( )(1)(1)y nx ny ny n整理后，为：整理后，为：( )(1) (1)( )y ny nx n【例题6-1】【例题例题6-2】

8、 18( )表表示示一一个个国国家家在在第第 年年的的人人口口数数，出出生生为为 ，y nna( )x nn1死死亡亡率率为为 ，国国外外移移民民的的净净增增数数为为，则则求求该该国国在在第第年年的的人人口口总总数数。解：解：(1)( )( )( )( )y ny ny ny nx n整理后得到标准的差分方程为：整理后得到标准的差分方程为：(1)(1) ( )( )y ny nx n这是前差式差分方程。这是前差式差分方程。变成后差方程：从前差式差分方程右移变成后差方程：从前差式差分方程右移N位位( )(1) (1)(1)y ny nx n19一个离散系统的后差式差分方程的通式为：一个离散系统的

9、后差式差分方程的通式为：101( )(1)()( )(1)()NMy na y na y nNb x nb x nb x nM称为称为N阶、常系数、线性非齐次差分方程。阶、常系数、线性非齐次差分方程。差分方程的阶数差分方程的阶数是指差分方程中输出序列的最高和最低序号是指差分方程中输出序列的最高和最低序号差数为阶数。差数为阶数。系统框图系统框图 nx1 nx2 nxnx21 nx1 nx2 nxnx21 加法器加法器：乘法器：乘法器： nx1 nx2 nxnx21 nx naxa nx naxa延时器延时器单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离散值顶出来，

10、递补。离散值顶出来，递补。 ny 1 nyE1 ny 1 ny1z标量乘法器标量乘法器系统框图22【例题【例题6-3】设某系统的输入输出方程为】设某系统的输入输出方程为( )4 (1)3 (2)(1)2 (2)y ny ny nf nf n解：首先考虑当解：首先考虑当 单独作用的时候单独作用的时候( )f n( )( )f nq n( )4 (1)3 (2)( )q nq nq nf n满足以下方程满足以下方程(1)q n( )q n( )( )4 (1)3 (2)q nf nq nq n(2)q n23( )( )f nq n(1)(1)f nq n( )4 (1)3 (2)(1)2 (2)

11、y ny ny nf nf n2 (2)2 (2)f nq n(1)q n(2)q n( )q n6-4 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析常系数线性差分方程的求解，一般有以下几种方法：常系数线性差分方程的求解，一般有以下几种方法：（1）迭代法）迭代法（2）经典法）经典法（3）零输入响应和零状态响应）零输入响应和零状态响应（4）Z变换域分析法变换域分析法24经典解法经典解法25101( )(1)()( )(1)()NMy na y na y nNb x nb x nb x nM( )( )hpynyn其其全全解解由由两两部部分分组组成成，即即齐齐次次解解和和特特解解( )( )( )

12、hpy ny nyn( ):hyn求求齐齐次次解解就就是是求求齐齐次次方方程程的的解解1( )(1)()0Ny na y na y nN先分析最简单的一阶齐次差分方程的情况，如先分析最简单的一阶齐次差分方程的情况，如 10y nay n差分方程的一般形式为：261 ,2 ,yyyN起起始始状状态态不不能能为为零零 , 说说明明是是一一个个公公比比为为的的几几何何级级数数所所以以y na 101yy nayy n L ()ny nCa其中其中C是待定系数，由边界条件决定。是待定系数，由边界条件决定。因此，对于因此，对于N阶差分方程，它的特征方程可写为：阶差分方程，它的特征方程可写为：271211

13、0NNNNaaaLN(1,2,3,)kkNL它它有有 个个特特征征根根12NL(1)(1)若若特特征征根根都都不不同同，且且为为单单根根的的情情况况下下：齐次解的形式为：齐次解的形式为： 1122nnnNNy nCCCL28(2)(2)若特征根中有若特征根中有k重根重根 1211211122nnnnkkkky nCnCnC nCL( )( )pynf n(3)(3)特特解解的的函函数数形形式式与与输输入入信信号号的的函函数数形形式式有有关关。选定特解后代入原差分方程，利用等式系数平衡法求出选定特解后代入原差分方程，利用等式系数平衡法求出其待定系数，便得到了差分方程的特解。其待定系数，便得到了差

14、分方程的特解。特解的形式特解的形式29输入信号输入信号( )特特解解pynA(常数常数)0B nx nr ny nC rr 12nny nC n rCrr kx nn 1110kkkky nA nAnAnAL cosx nnsinn cos()y nAn（当（当 不等于特征根时不等于特征根时）（当（当 为特征单根时）为特征单根时）或或全解的形式为：全解的形式为：30 1( )niipiy nCyn求求出出齐齐次次解解中中的的系系数数iC对于对于N阶差分方程，用阶差分方程，用N个初始条件个初始条件(值值) (0)(1)(1)yyy N， ，【例题例题6-5】31( )2 (1)5 ( )11(

15、)y ny nnyy n，且，求出。解：解：特征方程特征方程齐次解齐次解特征根特征根20r2 r 12nhynC特解特解 50 5 x nnn时时全全为为（常常数数）Q pynC25 (0)CCn53C代入原方程求特解代入原方程求特解32全解形式：全解形式： 1523nhpy nynynC 452033ny nn143C 15033yC 1523代代入入解解，得得ny nC0 (0)52 ( 1)3nyy11由由迭迭代代出出y6-5 用离散卷积求零状态响应用离散卷积求零状态响应33 在在激激励励作作用用下下，系系统统的的零零状状态态响响应应为为单单位位样样值值响响应应，表表示示为为nh n6-

16、6-1 单位样值响应单位样值响应【例题例题6-13】 已知一个已知一个LTI离散时间系统的激励与响应的离散时间系统的激励与响应的关系是关系是34 3122y ny ny nx n试确定该系统的单位样值响应试确定该系统的单位样值响应( )h n 3122h nh nh nn 031220nh nh nh n当当时时，解：解： 激激励励作作用用下下n121,2rr特征根特征根 (1)(2)0rr特征方程特征方程12( )(2 ) ( )nh nCCn35因为单位样值响应是零状态响应因为单位样值响应是零状态响应120hh 0312201hhh 130213hhh1211CC，12( )(2 ) (

17、)nh nCCn代代入入，得得( )(12 ) ( )nh nn 0 ,1hh可可叠叠代代出出( )0h nn对于求，边界条件中至少有一项是 的。6-6-2离散系统的卷积和离散系统的卷积和361 输入与输出关系输入与输出关系对于离散信号来说，很容易把一个离散信号用单位样值序对于离散信号来说，很容易把一个离散信号用单位样值序列来表示。列来表示。( )可可表表示示为为x n( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)(2) (2)(3) (3)(4) (4)x nxnxnxnxnxnxnxn37 :任任意意序序列列表表示示为为的的加加权权移移位位之之线线性性组组合合x nn

18、11011 x nxnxnxnx mnm mx mnm38 x nh n时不变时不变nmh nm均匀性均匀性 x mnmx m h nm可加性可加性 ( )mx nx mnm输出输出 my nx m h nm x nx m系系统统对对的的响响应应每每一一样样值值产产生生的的响响应应之之和和，在在各各处处由由加加权权。 ( )y nx nh n零零状状态态响响应应。离散卷积的计算离散卷积的计算 。求卷积求卷积已知已知)()()(,10 nhnxnynunhnunxn nhnxny nmm , 0:宗宗量量0,0 nnm即即：)()(0nunynmm 11ny mmmnumu)()( nun 11

19、1时时当当 n要点：要点：定上下限定上下限波形波形o1 23)(nxnn nh1123oo1 23 mnh muamm0 no1 2 3 mnh muam1nm nyno12341 11 nununynnmm 11)()(10 nyn 11时，时，当当6-6-4 用单位样值响应表示的因果性条件与稳定条件用单位样值响应表示的因果性条件与稳定条件1.因果特性因果特性 如果该如果该LTI离散时间系统是因果的，则条件是离散时间系统是因果的，则条件是41( )00h nnLTI离散时间系统是因果系统。离散时间系统是因果系统。2. 系统稳定的条件系统稳定的条件( )nSh n 6-6 z变换变换 求解差分

20、方程的工具，类似于拉普拉斯变换；求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； z变换的历史可是追溯到变换的历史可是追溯到18世纪；世纪； 20世纪世纪5060年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了和实践，推动了z变换的发展；变换的发展； 70年代引入大学课程；年代引入大学课程； 今后主要应用于今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问分析与设计，如语音信号处理等问题。题。42 z变换引出变换引出抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换离散信号的离散信号的z变换变换43( )( )( )sTx tx tt( )()() ()nnx ttnTx

21、nTtnT令T=144对 取拉氏变换( )sx t( )( )() ()ssnXsx tx nTtnT LLLL ()()snXsx nTtnT L L sj其中其中引入复变量引入复变量 为连续变量为连续变量esTz Tx nTx n令 =1，将表示为e( )|( )( )sTnsznXsx n zX z( ) 对对任任一一信信号号的的（双双边边） 变变换换式式为为x nz( )( )nnX zx n z()esnTnx nT 6-6 z变换定义变换定义45z变换的定义变换的定义 ( )( )( )nnx nXx nzzZRe( )Im( )是是一一个个连连续续的的复复变变量量。jzzz0(

22、)( )nnX zx n z( )z( )x nX如如果果序序列列是是因因果果序序列列，则则 变变换换定定义义为为zz单单边边 变变换换2、z变换的收敛域变换的收敛域4621012( )( )( 2)( 1)(0)(1)(2)( )nnnXx nxxxxxx nzzzzzzzzz变换展开变换展开1可可以以看看出出，序序列列的的 变变换换是是复复变变量量的的幂幂级级数数。zz因此，对于给定的序列，使因此，对于给定的序列，使 变换收敛的所有变换收敛的所有 集合集合称为称为收敛域（收敛域（ROC ）。zz即满足即满足( )nnx n z( )x n序序列列的的 变变换换才才有有意意义义。z( )x

23、n相相同同的的 变变换换，由由于于收收敛敛域域不不同同，可可能能对对应应于于不不同同的的z47【例题例题6-17】求因果序列求因果序列解：解：( )Xa其其收收敛敛域域为为半半径径为为 的的圆圆外外区区域域。z1只只有有当当，即即时时，级级数数收收敛敛。aazz( )( )( )的的以以及及它它的的收收敛敛域域。nx nanXz0( )( )nnnnnnXanazzz10()nnaz11( )1zXzazzRe zIm jzo 0( )nnaz( )nzanza 即：即：()az典型信号的典型信号的z变换变换3、典型序列的、典型序列的z变换变换48( )1n( )1znz Re zIm jzo

24、 ( )nzanza ()azRe zIm jzo1 (1)z49【例题例题6-18】求非因果序列求非因果序列解：解：以及它的收敛域。以及它的收敛域。1( )nnnX zz1aa只只有有当当，即即时时，级级数数收收敛敛。zz1( )11Xazz Re zIm jzo ()az( )( )1)nnx nX 的的以以及及z1mmm z000mmmzz01mmma z11lim 11mmaa zz1aaazzz Z 变换的性质变换的性质右移位性质右移位性质50( )( ) ( ) ( )( )设设是是双双边边序序列列，其其单单边边 变变换换为为，也也就就是是x nnx nXXzzzZ其右移位性质其右移位性质1 () ( )( )( )mkkmx nmnXx kzzzZ 111 x nXxzzZ 21212 x nXxxzzzZ12当当m m和和m m时