圆的极坐标方程PPT学习教案

1、会计学1圆的极坐标方程圆的极坐标方程第1页/共65页xC(a,0)O MA =2acos 第2页/共65页) 1 ()0 ,2(),2, 0() 1.(.cos2cos),(,2的坐标满足等式可以验证，点即中。在以外的任意一点，那么，为圆上除点设，那么是交点。设圆与极轴的另一个解：圆经过极点aAOaMOAOAOMAMORtAMOMAOMaOAAO的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式) 1 (),() 1 (第3页/共65页的极坐标方程。叫做曲线那么方程上，的点都在曲线并且坐标适合方程一个满足方程一点的极坐标中至少有上任意，如果平面曲线

2、一般地，在极坐标系中CfCffC0),(0),(0),(的圆的极坐标方程。为半径就是圆心在所以，aaaCa),0)(0 ,(cos2极坐标方程：极坐标方程：第4页/共65页C(r,0)xOM =r第5页/共65页简单。上比式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重即为圆上任意一点，则设都等于半径何特征就是它们的极径几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如出发的一条射线为极点，从解：如果以圆心) 1 (,),(.rrOMMrOO第6页/共65页5 3cos5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐思考：标和半径。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225

3、 35(,),522xyxyxy解： 两边同乘以 得即化为直角坐标为即所以圆心为半径是你可以用极坐标方程直接来求吗？你可以用极坐标方程直接来求吗？第7页/共65页3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为所以圆心为半径为Oaaaa此圆过极点圆的极坐标方程为半径为圆心为)cos(2)0)(,(第8页/共65页以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为为半径的圆的方程是半径的圆的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC第9页/共65页方程是什么？化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin414)2(22 yx圆的圆心距是多少？的

4、两个和、极坐标方程分别是sincos21cos( ,0)2sincos()cos()2212sin( ,),2 22解：圆 圆心的坐标是圆圆 的圆心坐标是所以圆心距是题组练习题组练习2 2第10页/共65页3cos()4、极坐标方程所表示的曲线是（ ）A、双曲线、双曲线 B、椭圆、椭圆 C、抛物线、抛物线 D、圆、圆D为半径的圆。为圆心，以解：该方程可以化为21)4,21()4cos(第11页/共65页41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：第12页/共65页410cos()3、圆 的圆心坐标是)0 , 5( 、A)3, 5(、

5、B)3, 5(、C)32, 5(、D（ ）C5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解： 化为直角坐标系为即第13页/共65页2126:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圆圆试判断两圆的位置关系。所以两圆相外切。半径为，圆心半径为圆心坐标方程为解：将两圆都化为直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC第14页/共65页78cosOCONON、从极点 作圆 ： 的弦，求的中点的轨迹方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4

6、cosCrOCCMMONCMONM解：如图，圆 的圆心半径连结，是弦的中点所以，动点的轨迹方程是 第15页/共65页化为直角坐标方程。把极坐标方程练习cos241648316844)4(4424cos22222222yxxxxyxxx两边平方得：即解：方程可化为第16页/共65页 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2第17页/共65页直线的极坐标方程直线的极坐标方程第18页/共65页答：与直角坐标系里的情况一样，求答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标点的坐标 与与 之间的关系，然后列之间

7、的关系，然后列出方程出方程 ( , )=0 ，再化简并讨论。，再化简并讨论。怎样求曲线的极坐标方程？怎样求曲线的极坐标方程？第19页/共65页例题例题1：求过极点，倾角为：求过极点，倾角为 的射线的射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 oMx4 分析：分析：如图，所求的射线如图，所求的射线上任一点的极角都上任一点的极角都是是 ，其，其/ 4 极径可以取任意的非负数。故所求极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为(0)4 新课讲授新课讲授第20页/共65页1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的射线的极的射线的极坐标方程。坐标方程。54 易得易得5(0)4 思考思考：2

8、、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的直线的极的直线的极坐标方程。坐标方程。4 544 或或第21页/共65页 和前面的直角坐标系里直线方程和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？线组合而成。原因在哪？0 为了弥补这个不足，可以考虑允许为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为线的极坐标方程可以表示为()4R 或或5()4R 第22页/共65页四、负极径四、负极径说明：说明：一般情况下

9、，极径都是正值；在某些必要情况下，一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。极径也可以取负值。对于点对于点M（ ， ）负极径时的规定负极径时的规定：1.作射线作射线OP，使，使 XOP= ;2.在在OP的反向延长线上取的反向延长线上取一点一点M，使，使 OM = OXP M1. 1. 负极径的定义负极径的定义第23页/共65页OXP = /4M2.2.负极径的实例负极径的实例在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点 M（-3， /4）的位置的位置.解：解：1.作射线作射线OP，使，使 XOP= /4; 2.在在OP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M，使，使 OM = 3

10、.四、负极径四、负极径第24页/共65页3.3.关于负极径的思考关于负极径的思考 根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的说的“负极径负极径”中的中的“负负”到底是什么意思？到底是什么意思？ 把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？四、负极径四、负极径“负极径负极径”真是真是“负负”的？的？第25页/共65页4.4.正、负极径时，点的确定过程比较正、负极径时，点的确定过程比较OXPMOXP1.1.作射线作射线OPOP，使

11、，使 XOP= XOP= /4; /4; 2.2.在在OPOP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M M，使，使 OMOM = 3.= 3.1.1.作射线作射线OPOP，使，使 XOP= XOP= /4; /4; 2.2.在在OPOP的上取一点的上取一点M M，使，使 OMOM = 3.= 3.M画出点（3，/4）和（-3，/4）.四、负极径四、负极径点（3，/4）点（-3，/4）第26页/共65页5.5.负极径的实质负极径的实质 从比较来看，负极径比正极径多了一个从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线操作，将射线OP“反向延长反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以说成旋转而

12、反向延长也可以说成旋转 ，因因此，所谓此，所谓“负极径负极径”实质是管方向实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，的。这与数学中通常的习惯一致，用用“负负”表示表示“反向反向 ”。四、负极径四、负极径第27页/共65页负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 . 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”.特别强调：特别强调：以后不特别声明，以后不特别声明， 0 。 因为，负极径只在极少数情况用。因为，负极径只在极少数情况用。练习：练习：写出下列各点的负极径的极坐标写出下列各点的负极径的极坐标。答：答：（-3， + /4）（-3， - /4）（3， /4） （3，- /4）第28页/共

13、65页O OX XPM M1.1.极径是正的时候：极径是正的时候：423k，2.2.极径用极径用“-3”-3”：)423k，（五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况探索点探索点M M（3 3， ）的所有极坐标）的所有极坐标4第29页/共65页五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况OXPMOXMP1.首先，给定极坐标M（，）在平面 上可以确定唯一的一点。2.反过来，给定平面上一点，却有 无数个极坐标。原因：极径有正有负；极角有无数原因：极径有正有负；极角有无数个。但是，有统一表达式两个。个。但是，有统一表达式两个。如果如

14、果限定限定0,02那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以平面内的点和极坐标就可以一一对应一一对应了了.第30页/共65页例题例题2、求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂，且垂直于极轴的直线直于极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点( , )M 为直线为直线L上除点上除点A外的任外的任意一点，连接意一点，连接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。第31页/共65页求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图；2

15、、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；( , )M 3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方 程，并化简；程，并化简；, 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。第32页/共65页练习：练习：设点设点P的极坐标为的极坐标为A ，直，直线线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直求直线线 的极坐标方程。的极坐标方程。 ( ,0)a ll解：如图，设点解：如图，设点( , )M 为直线为直线 上异于的点上异于的点l连接连接OM， oMx p在在 中有中有 MOA sin()sin()a 即即sin()sina

16、 显然显然A点也满点也满足上方程。足上方程。第33页/共65页例题例题3设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。 11(,) lloxMP 1 1 第34页/共65页解：如图，设点解：如图，设点( , )M 点点P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM为直线上除为直线上除则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知 ,OMxOM1OP 1xOP 设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。则。则在在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理由正弦定理得得11sin()sin() 11sin()sin() 显

17、然点显然点P的坐标的坐标也是它的解。也是它的解。第35页/共65页平行于极轴的直线。、求过点练习)4, 2(1AOHMA)4, 2( , )(2,)42 sin24sin ,sin2(2,)4sin2lMAMHRt OMHMHOMA 解：在直线 上任意取点在中，即所以，过点平行于极轴的直线方程为第36页/共65页的直线的极坐标方程。且斜率为、求过2)3 , 2(2A程这就是所求的极坐标方得代入直线方程将为直线上的任意一点，设角坐标系内直线方程为解：由题意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx第37页/共65页表示的曲线是、极坐标方程)(31sin3RA、两条

18、相交的直线、两条相交的直线B、两条射线、两条射线C、一条直线、一条直线D、一条射线、一条射线所以是两条相交直线两条直线即所以得可得解：由已知042:, 042:4242tan322cos31sin21yxlyxlxy第38页/共65页4cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD 、直线关于直线 对称的直线方程为、 ( )B2sin22化为极坐标方程为即的对称直线的问题关于线解：此题可以变成求直yxyx第39页/共65页3cos3cos33sin33sin)6sin(125、直线的极坐标方程是的，则过圆心与极轴垂直一个圆的方程为、在极坐标系中，已知DCBA( )C第40页/共65页4

19、cos, 4cos2cos, 2sinsin46、直线的方程是相切的一条、在极坐标系中，与圆DCBA( )B2cos24)2(04sin42222化为极坐标方程为圆的方程为那么一条与此圆相切的即的化为直角坐标方程是解：圆xyxyyx第41页/共65页._4)0(307面积所围成的和，、曲线OXAB384612SAOB即的面积积就是扇形解：由图可知围成的面第42页/共65页第43页/共65页第44页/共65页第45页/共65页第46页/共65页第47页/共65页2.直线的几种极坐标方程直线的几种极坐标方程1) 1) 过极点过极点2) 2) 过某个定点，且垂直于极轴过某个定点，且垂直于极轴3) 3

20、) 过某个定点，且与极轴成一定过某个定点，且与极轴成一定 的角度的角度第48页/共65页夯基自测夯基自测答案答案: :x-y+1=0 x-y+1=0第49页/共65页答案答案: :1 1第50页/共65页答案答案: :6 6第51页/共65页4.(20144.(2014高考广东卷高考广东卷) )在极坐标系中在极坐标系中, ,曲线曲线C C1 1和和C C2 2的方程分别为的方程分别为sinsin2 2=cos =cos 和和sin =1,sin =1,以极点为平面直角坐标系的原点以极点为平面直角坐标系的原点, ,极轴为极轴为x x轴的正半轴轴的正半轴, ,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系, ,则曲线则曲线C C1 1和和C C2 2交点的直角坐标为交点的直角坐标为. .答案答案: :(1,1)(1,1)第52页/共65页第53页/共65页答案答案: :第54页/共65页第55页/共65页(2)(2)设设MNMN的中点为的中点为P,P,求直线求直线OPOP的极坐标方程的极坐标方程. .第56页/共65页1、 将下列极坐标方程化为直角坐标方程：将下列极坐标方程化为直角坐标方程：211814