结构力学第5讲力法

1、 静力特征静力特征:仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力.超静定问题的求解要同时考虑结构的超静定问题的求解要同时考虑结构的“变形、本构、变形、本构、平衡平衡”.几何特征几何特征:有多余约束的几何不变体系。有多余约束的几何不变体系。 超静定结构是相对于静定结构而言的。静定结构超静定结构是相对于静定结构而言的。静定结构是几何不变而又没有多余约束的体系，其反力和内力是几何不变而又没有多余约束的体系，其反力和内力只需静力平衡方程即可求得。只需静力平衡方程即可求得。所谓几何不变体系是指所谓几何不变体系是指如果不考虑材料应变所产生的变形，体系在受到任何如果不考虑材料

2、应变所产生的变形，体系在受到任何载荷作用后能够保持其固有的几何形状和位置的体系载荷作用后能够保持其固有的几何形状和位置的体系。超静定结构有以下几个特征：超静定结构有以下几个特征：概述概述 拱拱 组合结构组合结构 1）超静定结构的类型 桁架桁架 超静定梁超静定梁 刚架刚架 桁架桁架 （1）超静定次数结构多余约束或多余未知力的数结构多余约束或多余未知力的数 目，即为超静定次数目，即为超静定次数。（2）确定超静定次数的方法通过去掉多余约束来通过去掉多余约束来 确定。（去掉确定。（去掉n个多余约束，即为个多余约束，即为n次超静定）。次超静定）。（3）去掉（解除）多余约束的方式2）超静定次数确定 a、撤

3、去一个活动铰支座、去掉或切断一根链杆去去掉掉1 1个约束（联系）；个约束（联系）；X1 b、去掉一个单铰或一个固定铰支座 去掉去掉2 2个约束；个约束； c、切断刚性联系（梁式杆）或去掉一个固定端 去掉去掉3 3个约束；个约束；X1X2X1X2X3X1X2X3 d、将刚性连接改为单铰 去掉去掉1 1个约束。个约束。注意事项注意事项（1 1）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余 约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的 总个数应相同。总个数应相同。（2 2）去掉多余约束后的体系，必须是几

4、何不变的体系，）去掉多余约束后的体系，必须是几何不变的体系，因此，某些约束是不能去掉的。因此，某些约束是不能去掉的。X1 1X2X3X1X2X3X1X2X3X2X3X1X2X3X1X几何可变体系不能几何可变体系不能作为基本体系作为基本体系 举例：举例：X1X2X1X2X1X3X2 X4X3X1X2X1X2举例：举例： X X1 1X X1 1X X2 2X X2 2X X3 3X X3 3X X1 1X X2 2X X3 3平衡方程个数：2816 未知数个数：16+3=19多余约束力：19-163计算桁架超静定次数的简单公式(m+r)-2j=16+3-28=3 m（杆个数）； r（支反力数目）

5、； j（节点数） X1X2X3X1X2X3每个无每个无铰封闭铰封闭框超三框超三次静定次静定超静定次数超静定次数3 3封闭框数封闭框数=3=35=155=15超静定次数超静定次数3 3封闭框数单铰数目封闭框数单铰数目=3=35 53=12 3=12 举例：举例： 一个无铰封闭框有一个无铰封闭框有三个多余约束三个多余约束. .1X2X3X4X5X6X1X2X3X3 3封闭框数单铰数目封闭框数单铰数目=3=33 34=5 4=5 3 3封闭框数单铰数目封闭框数单铰数目=3=33 33=6 3=6 此两链杆任一根都不能去掉此两链杆任一根都不能去掉此链杆不能去掉此链杆不能去掉 力法的基本思想力法的基本思

6、想: 1.找出未知问题不能求解的原因找出未知问题不能求解的原因, 2.将其化成能求解的问题将其化成能求解的问题, 3.找出改造后的问题与原问题的差别找出改造后的问题与原问题的差别, 4.消除差别后消除差别后,改造后的问题的解即为原问题的改造后的问题的解即为原问题的 解解 看下面简单的例子：看下面简单的例子：llq123 如如图图3-6所示的双所示的双跨梁，它是二次超静跨梁，它是二次超静定结构。在用力法计定结构。在用力法计算时，可将其两个多算时，可将其两个多余联系去掉。余联系去掉。llR1R2qllM1M2M2(2)122图3-6a图3-6c图3-6b 为了求出基本结构中多余的约束力，必须考虑原

7、为了求出基本结构中多余的约束力，必须考虑原结构在多余联系处的已知变形条件。下面以求结构在多余联系处的已知变形条件。下面以求M1和和M2（图（图3-6b）为例来说明。原结构（图）为例来说明。原结构（图3-6a）在均布载）在均布载荷荷q作用下在固定端处的转角为零，在中间支座处转角作用下在固定端处的转角为零，在中间支座处转角连续。为使基本结构的受力和变形与原结构完全一致，连续。为使基本结构的受力和变形与原结构完全一致，就应使基本结构在多余约束力就应使基本结构在多余约束力M1 、 M2 载荷载荷q作用下作用下在支座在支座1处的转角为零，在支座处的转角为零，在支座2处的转角连续，即：处的转角连续，即：0

8、12321支座1处的转角支座2处的转角 上式即为变形协调条件。利用两端自由支持单跨上式即为变形协调条件。利用两端自由支持单跨梁的弯曲要素表，可以得到转角与弯矩和外载荷之间梁的弯曲要素表，可以得到转角与弯矩和外载荷之间的关系式，并将他们代入到上式，得到：的关系式，并将他们代入到上式，得到：1MEIlm3/22 2MEIlmEIlmEIlmEIlm3663212211qEIql244IV2q2MEIqlEIql24244241 2221107. 0071. 0qlMqlM23IV2222211110 根据变形条件根据变形条件求解：求解： 求出基本未知量求出基本未知量M1和和M2后，就可分别对两个静

9、定后，就可分别对两个静定单跨梁进行计算，并用叠加法画出梁单跨梁进行计算，并用叠加法画出梁1-2和和2-3的弯矩的弯矩图和剪力图，此即原双跨梁的弯矩图和剪力图。图和剪力图，此即原双跨梁的弯矩图和剪力图。0.071ql20.107ql2-0.125ql2-0.125ql20.5ql-0.5ql0.036ql0.036ql-0.5ql0.5ql-0.107ql-0.107ql0.393ql0.464ql0.607ql0.536ql0.713ql20.107ql2 )(3929. 0)(1429. 121qlRqlR第二种等效方法第二种等效方法0713. 04642. 0MqlR固定端支反力固定端支反

10、力在均布载荷在均布载荷q作用下作用下:01v1R02v2R变形变形条件条件求解：求解：0.464ql0.536ql0.607ql0.393ql0.713ql20.107ql2 2417224622422322223qlllllllEIllqvql在集中载荷在集中载荷R1作用下作用下: 4222232,2222246222422qlllllllEIllqvlq在集中载荷在集中载荷R2作用下作用下:EIlRvEIlRvlRlR65,33123111EIlRvEIlRvlRlR38,65322,3222 上述基本原理可以用于分析任何类型的超静上述基本原理可以用于分析任何类型的超静定结构，例如连续梁，

11、刚架和桁架等。定结构，例如连续梁，刚架和桁架等。 如果把图如果把图3-6b中的中的M1称为第一个多余约束力，记称为第一个多余约束力，记做做X1； M2称为第二个多余约束力，记做称为第二个多余约束力，记做X2。并且把。并且把力法方程组改写成力法方程组改写成：0022221211212111PPXXXX 式中式中：EIl3311/EIqlP24/31EIqlP12/32EIl 6/21EIl 6/12EIl 3/222(a) 与图与图3-6b对照，可以看出：力法方程组对照，可以看出：力法方程组(c)中的系中的系数数 11就是当就是当X1=1单独作用于基本结构时，在单独作用于基本结构时，在X1作用点

12、作用点沿沿X1方向的转角（广义位移），而方向的转角（广义位移），而 21就是在就是在X2作用点作用点沿沿X2方向的转角；方向的转角； 22就是当就是当X2=1单独作用于基本结单独作用于基本结构时，在构时，在X2作用点沿作用点沿X2方向的转角（注意基本结构有方向的转角（注意基本结构有一对一对X2），而），而 12在在X1作用点沿作用点沿X1方向的转角；方向的转角； 1p就就是当外载荷单独作用于基本结构时在是当外载荷单独作用于基本结构时在X1作用点沿作用点沿X1方方向的转角；而向的转角；而 2p就是当外载荷单独作用于基本结构时就是当外载荷单独作用于基本结构时在在X2作用点沿作用点沿X2方向的转角方

13、向的转角 1111221112112222221122112200 0 0iinnpiinnpiiiiiinnipnnniinnnnpXXXXXXXXXXXXXXXX 对于对于n次超静定结构，其力法方程组可写为。次超静定结构，其力法方程组可写为。（3-1） 注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等于已知位移（沉降量），而不等于零。于已知位移（沉降量），而不等于零。 （1 1）系数（柔度系数）、自由项）系数（柔度系数）、自由项 主系数主系数iiii(i (i 1,2, 1,2, n)n)单位多余未知单位多余未知力力 单独作用于基本结构时，所引起的沿其单

14、独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上的位移，恒为正；本身方向上的位移，恒为正；Xi1 副系数副系数 i i j j( ( i j)i j)单位多余未知力单位多余未知力 单独作用于基本结构时，所引起的沿单独作用于基本结构时，所引起的沿X Xi i方向的位移，方向的位移，可为正、负或零，且由位移互等定理：可为正、负或零，且由位移互等定理：i i j j = =j j i iX j1 自由项自由项iPiP 荷载荷载FPFP单独作用于基本体系时，单独作用于基本体系时，所引起所引起Xi方向的位移，可正、可负或为零。方向的位移，可正、可负或为零。 ii和和iP的计算，一般可用的计算，一般可用材料力学

15、中的位移计算方材料力学中的位移计算方法，如单位力法法，如单位力法 111111 0pnnnnnnp X X（3 3）最后弯矩）最后弯矩1212nnMX MX MX M（2 2）典型方程的矩阵表示）典型方程的矩阵表示 1）刚性支座上连续梁与三弯距方程 1i-12I1l1n-1ii+1nIi-1IiIn-1li-1liln-1qi-1qiM1l1M2I1Mi-1li-1MiIi-1qi-1Mi+1MiliIiqiMn-1ln-1MnIn-1图3-1(a)图3-1(b) 图图(3.1a)所示的为所示的为n-1跨的刚性支座上的连续梁，跨的刚性支座上的连续梁，其两端刚性固定。首先判断它是一个其两端刚性固

16、定。首先判断它是一个n次超静定梁次超静定梁（无轴向载荷，故无轴向约束反力），将连续梁两（无轴向载荷，故无轴向约束反力），将连续梁两端的刚性固定端改为固定铰支座，并以相应的多余端的刚性固定端改为固定铰支座，并以相应的多余约束力（端面弯距）代替，在每个中间支座处将梁约束力（端面弯距）代替，在每个中间支座处将梁切断，并以相应的约束反力（梁截面上的弯距）代切断，并以相应的约束反力（梁截面上的弯距）代替。得到如图（替。得到如图（3.1b）所示的基本结构）所示的基本结构单跨梁。单跨梁。它会使得力法方程简化它会使得力法方程简化。 根据原结构在刚性固定端转角为零和在支座处根据原结构在刚性固定端转角为零和在支座

17、处转角连续性条件，列出方程转角连续性条件，列出方程： 03663360631111111111111121111nnnnnnniiiiiiiiiiiiiiiiqMEIlMEIlqMEIlMEIlqMEIlMEIlqMEIlMEIl（3-2a）i=2,3,n-1 将上式整理后得到将上式整理后得到： 0360633606311111111111111121111nnnnnnnniiiiiiiiiiiiiiiqMEIlMEIlqqMEIlMEIlEIlMEIlqMEIlMEIl（3-2b） 式中，式中，i2,3,n-1； i(qi-1)第第i-1跨梁上所跨梁上所有外荷引起得在支座有外荷引起得在支座i

18、处的梁右端的转角；处的梁右端的转角； i(qi)表示表示第第i跨梁上所有外荷引起的在支座跨梁上所有外荷引起的在支座i处梁左端的转角；处梁左端的转角； 1(q1)、 n(qn-1)同理，并规定沿顺时针方向的转角为同理，并规定沿顺时针方向的转角为正，反之为负。由式（正，反之为负。由式（3-2）可见，每个方程中最多）可见，每个方程中最多含三个未知弯距，故式（含三个未知弯距，故式（3-2）称为三弯距方程，改）称为三弯距方程，改写为矩阵形式为：写为矩阵形式为：（3-3）nppnpppnnnnnnnnnnnnMMMMM13211321) 1() 1() 1)(1() 2)(1(34333223222112

19、110011,111,1,11,111,11113,66,33,63nnnnnnnniiiiiiiiiiiiiiEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIl式中系数矩阵是对称矩阵，式中系数矩阵是对称矩阵， ij= ji,且且（3-4） 1,1,111nnpniiiipipqqqq 式中，式中，i2,3,n-1。（3-5） 式中，式中，i2,3,n-1。 式（式（3-3）在数学上称为三对角方程。当连续梁）在数学上称为三对角方程。当连续梁上支座数目较多时，可以采用追赶法在计算机上求上支座数目较多时，可以采用追赶法在计算机上求解。解。 例题例题 1：计算图：计算图3.2所示的等截面三跨连续梁。已所示的

20、等截面三跨连续梁。已知知l8m，P=ql/2=40kN,q=10kN/m 解：取其基本结构如图解：取其基本结构如图(b)所示。根据基本结构在所示。根据基本结构在支座支座1处的转角为零，在中间支座处转角连续的条件，处的转角为零，在中间支座处转角连续的条件，列出三个力法方程。列出三个力法方程。M3M1M2M2M3q(b)l/2l/2llPq1234图3-2(a)EIqlMEIlMEIlMEIlMEIlMEIlEIlqlMEIlMEIlEIlqlMEIlMEIl2433636162360162633332232212212322321221250. 041875. 041875. 02qlMMqlM

21、MMqlMM 将以上三个方程两边同乘以将以上三个方程两边同乘以6EI/l，整理得，整理得：mkN46.380601. 0mkN14. 60096. 0mkN90.560889. 0232221qlMqlMqlM 解得解得： 得到固定端和各截面的弯距后，就可以采用叠加得到固定端和各截面的弯距后，就可以采用叠加法绘制剪力图和弯距图。法绘制剪力图和弯距图。 对于仅受到均布载荷的等截面、等跨度的连续梁，对于仅受到均布载荷的等截面、等跨度的连续梁，则连续梁每一跨度的变形均相同，中间支座处的转角则连续梁每一跨度的变形均相同，中间支座处的转角为零。这种连续梁可作简化计算，只需取出一跨，将为零。这种连续梁可作

22、简化计算，只需取出一跨，将其作为两端刚性固定的单跨梁计算，无需对整个连续其作为两端刚性固定的单跨梁计算，无需对整个连续梁进行计算。目前，船体结构中的甲板纵骨及船体纵梁进行计算。目前，船体结构中的甲板纵骨及船体纵骨大都满足以上条件，所以都可以作为两端刚性固定骨大都满足以上条件，所以都可以作为两端刚性固定的单跨梁处理。的单跨梁处理。 回顾：回顾：超静定结构超静定结构静定结构静定结构多余联系多余联系多余约束力多余约束力力法方程力法方程连续性条件连续性条件力法力法 船体结构中的甲板纵骨、舷侧纵船体结构中的甲板纵骨、舷侧纵骨和船底纵骨这些纵向构件（超静定骨和船底纵骨这些纵向构件（超静定结构）可以采用三弯

23、矩方程得以解决。结构）可以采用三弯矩方程得以解决。对于由横梁、肋骨和肋板组成的横向对于由横梁、肋骨和肋板组成的横向框架结构？框架结构？2） 不可动节点简单刚架计算 船体结构中的刚架大都是由横梁、肋骨和肋板组船体结构中的刚架大都是由横梁、肋骨和肋板组成的横向框架结构。刚架中杆件的相交点叫作刚架的成的横向框架结构。刚架中杆件的相交点叫作刚架的节点。节点。多个杆件（多余两根）汇交于一个节点复杂刚架两根杆件汇交于一个节点简单刚架图3.3 实际结构中，大多数刚架受力变形后节点位移可实际结构中，大多数刚架受力变形后节点位移可以不计，于是计算强度时在节点处加上固定铰支座，以不计，于是计算强度时在节点处加上固

24、定铰支座，称为不可动节点刚架。少数情况，对于大开口船舶，称为不可动节点刚架。少数情况，对于大开口船舶，舱口端横梁在载荷作用下会有较大线位移，因此在计舱口端横梁在载荷作用下会有较大线位移，因此在计算强度时只能加弹性支座或给定一个已知线位移，这算强度时只能加弹性支座或给定一个已知线位移，这种刚架称为可动节点刚架。种刚架称为可动节点刚架。可动节点刚架 例题例题 2：计算图：计算图3.3所示的单甲板船在舱口部位的所示的单甲板船在舱口部位的肋骨刚架肋骨刚架l1l2l3q1q1q2q2q3I1I1I2I2I3q1q1q2q2q3M2M2M3M3M4M2M4M5M5图3.4a图3.4b 解：对图解：对图3.

25、4a所示的刚架，可将其作为刚性支座所示的刚架，可将其作为刚性支座上连续梁上连续梁“折合折合”的结果的结果,可以按照连续梁的方法求解。可以按照连续梁的方法求解。取其基本结构形式如图取其基本结构形式如图3.4b所示，另由于此刚架结构所示，另由于此刚架结构为左右载荷对称、结构形式对称结构，所以为左右载荷对称、结构形式对称结构，所以M2=M5、M3=M4,这样就可以根据原结构在刚性支座处转角的连这样就可以根据原结构在刚性支座处转角的连续性条件，列出两个力法方程：续性条件，列出两个力法方程：333333333323222223222322222322131121124364563360736243EIlqMEIlMEIlEIlqMEIlMEIlEIlqMEIlMEIlEIlqMEIl12312121203154411231241101207214321233122221211132123322222212121lqlqlqMlqlqlqM233222