数学傅立叶级数学习教案VIP

1、会计学1数学数学(shxu)傅立叶级数傅立叶级数第一页，共36页。简单(jindn)的周期运动 :)sin(tAy(谐波(xi b)函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率, 为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.2/36第1页/共36页第二页，共36页。3/36第2页/共36页第三页，共36页。xxnkxnkd)cos()cos(21,1,cos x,sinx,2cos x,2sin x,c

2、os,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsin0)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证 :),2, 1(n上在,正交 ,上的积分(jfn)等于 0 .即其中(qzhng)任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk 4/36且任意一个函数的平方在上的积分不等于 0,第3页/共36页第四页，共36页。上的积分(jfn)不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn即 但是在三角函数系中任意(rny)一个函数的平方在 5/36如果(rgu)其中,ba

3、任意两个不同函数在 正交.，上的一个可积函数列是区间注：设,)(baxfn), 2 , 1(0(2ndxxfban）且上的正交函数系。是区间则称,)(baxfn第4页/共36页第五页，共36页。定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期是周期(zhuq)为为 2 的周期的周期(zhuq)函数函数 , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数(j sh)可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证: 由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,对在逐项积分, 得6/36xx

4、fad)(10第5页/共36页第六页，共36页。xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用(lyng)正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbk类似地, 用 sin k x 乘 式两边(lingbin), 再逐项积分可得7/36用 cos k x 乘 式两边(lingbin), 再逐项积分可得第6页/共36页第七页，共36页。系数为系数的三角(snjio)级数 称为的Fourier系数(xsh) ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,

5、0(dcos)(1nxnxxfan由公式(gngsh) 确定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的Fourier的Fourier级数级数 .称为函数)(xf 8/36第7页/共36页第八页，共36页。,2)0-()0- (ff设 f (x) 在上分段(fn dun)单调,而且除有限个第一类间断(jindun)点外都连续，那么 f (x) 的Fourier级数在10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)0-()0(xfxf x 为间断点其中nnba ,( 证明超纲证明超纲 )为 f (x) 的Fourier系数 . x 为连续点注意注意: 函

6、数展成Fourier级数的条件比展成幂级数的条件低得多.9/36上收敛，且其和函数为：x,第8页/共36页第九页，共36页。设 f (x) 是周期(zhuq)为 2 的周期(zhuq)函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求先求Fourier系数系数(xsh)xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成(zhn chn)Fourier级数. oyx1110/36第9页/共36页第十页，共36页。xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nn

7、xnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx11/36第10页/共36页第十一页，共36页。),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛(shulin)定理可知,时,级数(j sh)收敛于02112) Fourier级数的部分(b fen)和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图.12/36第11页/共36页第十二页，共36页。xoy上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f (x) 展成(zh

8、n chn)Fourier级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f (x) 是周期(zhuq)为 2 的周期(zhuq)函数 , 它在 13/36第12页/共36页第十三页，共36页。), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx23231x4sin41 5sin 5cos xx252512cos1nnan,2) 12(2k),2

9、,1,0,) 12(,(kkxx说明说明(shumng): 当当) 12(kx时, 级数(j sh)收敛于22)(014/36第13页/共36页第十四页，共36页。, )(xxf周期(zhuq)延拓)(xF傅里叶展开(zhn ki),)(在xf上的Fourier级数(j sh), , )(xxf, )2(kxf其它15/36第14页/共36页第十五页，共36页。xxxxxf0, 0,)(级数(j sh) .oyx则xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将 f (x)延

10、拓成以 展成(zhn chn)Fourier2为周期的函数 F(x) , 16/36第15页/共36页第十六页，共36页。x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用(lyng)此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n17/36第16页/共36页第十七页，共36页。42,421312242设,413121122222217151311,6141212222已知82122234

11、131211又2121362482221224822218/36第17页/共36页第十八页，共36页。1. 周期(zhuq)为2 的奇、偶函数的Fourier级数定理定理4 . 对周期为对周期为 2 的奇函数的奇函数 f (x) , 其其Fourier级数级数(j sh)称为称为周期为2的偶函数 f (x) , 其Fourier级数为称余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的Fourier系数为正弦级数,它的Fourier系数为19/36其中：例1是正弦级数，例3是余弦

12、级数第18页/共36页第十九页，共36页。的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数.是周期(zhuq)为2 的周期(zhuq)函数,它在上),)(xf解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期(zhuq)为 2 的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn20/36第19页/共36页第二十页，共36页。n1根据(gnj)收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2x

13、xx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo级数(j sh)的部分和 n2n3n4上在),逼近(bjn) f (x) 的情况见右图.n521/36第20页/共36页第二十一页，共36页。tEtusin)(展成(zhn chn)傅里叶级数, 其中E 为正常(zhngchng)数 .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为2 的周期偶函数 , 因此0d)(2ttu22/36第21页/共36页第二十二页，共36页。t 2cos310

14、d) 1sin() 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos14141223/36第22页/共36页第二十三页，共36页。,0(),(xxf)0,(),(xxf,0),(xxf)(xF周期(zhuq)延拓 F (x) f (x) 在 0 , 上展成周期(zhuq)延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf24/36)(xF第23页/共36页第二十四页，共

15、36页。1xyokn2)0(1)(xxxf分别展成(zhn chn)正弦级数与余弦(yxin)级数 . 解解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 kn),2, 1(k,1222k25/36,1k第24页/共36页第二十五页，共36页。nb12,1222knk),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意(zh y):在端点(dun din) x = 0, , 级数的和为0 ,与给定(i dn)函数

16、1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 26/36,1kkn2第25页/共36页第二十六页，共36页。x1y将)(xf则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knk),2, 1(k作偶周期(zhuq)延拓 ,27/36第26页/共36页第二十七页，共36页。121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明(shumng): 令令 x = 0 可可得得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(1yo

17、x28/36第27页/共36页第二十八页，共36页。1. 周期(zhuq)为 2 的函数的Fourier级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中(qzhng)xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x为间断点,则级数收敛于2)0()0(00 xfxf小结29/36第28页/共36页第二十九页，共36页。2. 周期(zhuq)为 2 的奇、偶函数的Fourier级数 奇函数正弦(zhngxin)级数 偶函数余弦(yxin)级数3. 在 0 , 上函数的Fourier展开 作奇周期延

18、拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .0dcos)(2xxnxfan30/360;nb第29页/共36页第三十页，共36页。处收敛(shulin)于)(xf0 x,1 x0,12x则它的傅里叶级数(j sh)在x在4x处收敛(shulin)于 .提示提示:2)0()0(ff2222)04()04(ff2)00()00(ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为 ,xyo1131/362)0()0(ff第30页/共36页第三十一页，共36页。0 x,0,)(2xxxxf又设)(xS求当)()2,(xSx时的表达式 .解解: 由题设可知由题设可知(k zh)应对应对)(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx,),(上在; )()(xFxS由周期性:,)2,(上在)2()(xSxS)0,(2x2)2()2(xx2223xx2在是)(xf2),0(内以为周期(zhuq)的正弦级数展开式的和函数, 定义域32/36第31页/共36页第三十二页，共36页。)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏级数(j sh)的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0