数学概率基础学习教案

1、数学数学(shxu)概率基础概率基础第一页，共98页。第1页/共98页第二页，共98页。第2页/共98页第三页，共98页。n随机现象随机现象(xinxing)n在给定的条件下不能确切预言其结果的现象在给定的条件下不能确切预言其结果的现象(xinxing) 。第3页/共98页第四页，共98页。第4页/共98页第五页，共98页。第5页/共98页第六页，共98页。BA 第6页/共98页第七页，共98页。），21( iiAiiAiiA第7页/共98页第八页，共98页。），21( iiA AA），21( iiAiAAAA第8页/共98页第九页，共98页。第9页/共98页第十页，共98页。第10页/共98

2、页第十一页，共98页。第11页/共98页第十二页，共98页。第12页/共98页第十三页，共98页。第13页/共98页第十四页，共98页。nnAPAn)(第14页/共98页第十五页，共98页。1)(1)(iAPiAPii第15页/共98页第十六页，共98页。基本事件总数所含基本事件的个数AAP)(第16页/共98页第十七页，共98页。2.05010)(AP第17页/共98页第十八页，共98页。第18页/共98页第十九页，共98页。第19页/共98页第二十页，共98页。的几何度量的几何度量gAP)(第20页/共98页第二十一页，共98页。第21页/共98页第二十二页，共98页。016. 05008

3、)(AP第22页/共98页第二十三页，共98页。第23页/共98页第二十四页，共98页。第24页/共98页第二十五页，共98页。)()()()(ABPBPAPBAP第25页/共98页第二十六页，共98页。)()()(BPAPBAP第26页/共98页第二十七页，共98页。)|(BAP第27页/共98页第二十八页，共98页。)()()|(BPABPBAP)|()(BAPBPABP)|()()(ABPAPABP第28页/共98页第二十九页，共98页。第29页/共98页第三十页，共98页。第30页/共98页第三十一页，共98页。第31页/共98页第三十二页，共98页。1)|()()(NMNMNABPA

4、PABP第32页/共98页第三十三页，共98页。0)(iBPnBBB,21niiB1),2,1(niniiiBAPBPAP1)()()(第33页/共98页第三十四页，共98页。【例例 4-5】 有 3 个工人被指定制作一批产品。第一个人制作这批产品的 40%，第二个人制作 35%，第三个人制作 25%。第一个人的废品率为 0.04，第二个人的废品率为0.06，第三个人的废品率为 0.03。现随机抽取一件产品，问这件产品为废品的概率是多少？ 第34页/共98页第三十五页，共98页。解：记A=抽出的一件产品为废品，iB=抽出的产品是由第i个工人制作的（i=1，2，3） 。显然，321BBB，且32

5、1BBB、两两互不相容。所以可用全概率公式算出所抽一件是废品的概率。 )|()()|()()|()()(332211BAPBPBAPBPBAPBPAP =0.40.04+0.350.06+0.250.03 =0.0445 故随机抽出的这件产品为废品的概率为 0.0445。 第35页/共98页第三十六页，共98页。第36页/共98页第三十七页，共98页。设nBBB,21为n个 互 不相 容 事件 ，niiB1，0)(iBP), 2 , 1(ni。A是任一事件，且。0)(AP则对任一)21(niBi，,有 1() (|)() ( |)(|)12,( )() (|)iiiiiniiiP B P A

6、BP B P ABP BAinP AP B P A B （， ，） （4.11） 这就是贝叶斯公式。 第37页/共98页第三十八页，共98页。【例例 4-6】在例 4-5 中，若随机抽出的一件产品为废品，试猜测这件产品由第一个、第二个、第三个工人所制作的概率各是多少？ 解：36. 00445. 0016. 00445. 004. 040. 0)|()()|()()()|()()|(3111111iiiBAPBPBAPBPAPBAPBPABP 47. 00445. 0021. 00445. 006. 035. 0)|()()|()()()|()()|(3122222iiiBApBPBAPBPAP

7、BAPBPABP 17. 00445. 0075. 00445. 003. 025. 0)|()()3|()()()|()()|(313333iiiBApBPBAPBPAPBAPBPABP 第38页/共98页第三十九页，共98页。第39页/共98页第四十页，共98页。)()()|()()(BPAPBAPBPABP)()|(APBAP)()|(APBAP第40页/共98页第四十一页，共98页。 通常把这个关系式作为事件独立(dl)性的定义。即设A与B是任意两个事件，如果满足 则称事件A与B独立(dl)，否则称A与B相依。 在实际应用中，如果两个事件相互间没有影响，则可以认为这两个事件相互独立(d

8、l)。 )()()(BPAPABP第41页/共98页第四十二页，共98页。【例例 4-7】 在某城市中，有 60%的家庭订阅某种日报，有 85%的家庭有电视机。假定这两件事情是独立的。今随机抽出一个家庭，所抽家庭既订阅该种日报又有电视机的概率是多少？ 解： 记A=该家庭订阅该种日报，B=该家庭有电视机。于是有 )(AP=0.60 )(BP=0.85 因为事件A与事件B独立，所以 )(ABP=)()(BPAP=0.600.85=0.51 即所抽家庭既订阅该种报纸又有电视机的概率是 0.51。 第42页/共98页第四十三页，共98页。第43页/共98页第四十四页，共98页。两个事件相互独立的概念可

9、以推广到n个事件的情形。在n个事件中，如果其中任意一个事件发生的概率不受其余1n个事件发生与否的影响，那么就称这n个事件相互独立。就三个事件来说，事件CBA,独立，必须有 )(ABP=)()(BPAP， )(BCP=)()(CPBP， )(ACP=)()(CPAP， 以及 )(ABCP=)()()(CPBPAP 第44页/共98页第四十五页，共98页。321AAA命中三次射击中恰好第一次， 321AAA命中三次射击中恰好第二次， 321AAA命中三次射击中恰好第三次 中三次射击中恰有一次命A次射击命中第iAi第45页/共98页第四十六页，共98页。中三次射击中恰有一次命A 321321321A

10、AAPAAAPAAAPAP显然(xinrn)，这三个事件是两两不相容的。而 是这三个事件的和。根据不相容事件的加法法则，有由于三次射击是彼此独立的，即相互独立，故有 第46页/共98页第四十七页，共98页。 )()()()()()()()()(321321321APAPAPAPAPAPAPAPAPAP)(1)(1)(321APAPAP)(1)()(1 321APAPAP )()(1)(1 321APAPAP 6 . 06 . 07 . 04 . 04 . 07 . 04 . 06 . 03 . 0 436. 0 第47页/共98页第四十八页，共98页。第48页/共98页第四十九页，共98页。（

11、一）什么是随机变量（一）什么是随机变量 随机变量就是其取值带有随机性的变随机变量就是其取值带有随机性的变量。在给定的条件下，这种变量取何值事量。在给定的条件下，这种变量取何值事先不能确定，只能先不能确定，只能(zh nn)(zh nn)由随机试验由随机试验的结果来定，并且随试验的结果而变。的结果来定，并且随试验的结果而变。第49页/共98页第五十页，共98页。第50页/共98页第五十一页，共98页。第51页/共98页第五十二页，共98页。如果反面朝上如果正面朝上, 0, 1X表表4-1 投掷硬币试验结果的频率投掷硬币试验结果的频率(pnl)分布分布试验结果X试验者：蒲 丰试验者：皮尔逊试验者：

12、皮尔逊频数频率频数频率频数频率1（正面）0（反面）204819920.50690.4931601959810.50160.498412012119980.50050.4995合 计40401.0000120001.0000240001.0000第52页/共98页第五十三页，共98页。11)(iixp第53页/共98页第五十四页，共98页。X = xi0123456789P(xi)0.10 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18第54页/共98页第五十五页，共98页。第55页/共98页第五十六页，共98页。偏差尺寸分组（毫米）X = x频数（件）

13、频率频率密度453535252515155 55 515 1525 2535 3545 218355450442712 40.00810.07320.14230.21950.20320.17890.10970.04880.01630.000810.007320.014230.021950.020320.017890.010970.004880.00163合 计2461.0000第56页/共98页第五十七页，共98页。偏差尺寸（毫米）图4-1 活塞(husi)削孔对中心线的偏差的频率分布第57页/共98页第五十八页，共98页。)(xp第58页/共98页第五十九页，共98页。)(xpbadxxpb

14、XaP)()(第59页/共98页第六十页，共98页。0)(xp1)(dxxp第60页/共98页第六十一页，共98页。第61页/共98页第六十二页，共98页。vixXPxvipxiiii11式中的定积分应绝对式中的定积分应绝对(judu)收敛。收敛。第62页/共98页第六十三页，共98页。第63页/共98页第六十四页，共98页。niiniiXEXE11第64页/共98页第六十五页，共98页。)(XV第65页/共98页第六十六页，共98页。vipXExii1)(2dxxpEXxXV)()(2)(第66页/共98页第六十七页，共98页。)()()(YVXVYXVniiniiXVXV11)()()()

15、()(YVXVYXV第67页/共98页第六十八页，共98页。)()(XEXV第68页/共98页第六十九页，共98页。2第69页/共98页第七十页，共98页。第70页/共98页第七十一页，共98页。X = x10P(X = x)0.250.75第71页/共98页第七十二页，共98页。第72页/共98页第七十三页，共98页。knkknppCkXP1第73页/共98页第七十四页，共98页。X = k01234P(X = k)0.31640.42190.21090.04690.039第74页/共98页第七十五页，共98页。nNknMNkMCCCkXP)(第75页/共98页第七十六页，共98页。1NnN

16、)(XV第76页/共98页第七十七页，共98页。X = x01234P(X = x)0.28170.46960.21670.03100.0010第77页/共98页第七十八页，共98页。第78页/共98页第七十九页，共98页。 xxpx222e21第79页/共98页第八十页，共98页。图图4-3 正态分布概率密度曲线正态分布概率密度曲线(qxin)中中 的参数作用的参数作用第80页/共98页第八十一页，共98页。图图4-2 正态分布概率密度曲线正态分布概率密度曲线(qxin)第81页/共98页第八十二页，共98页。 把随机变量与它的数学期望相减之差除以把随机变量与它的数学期望相减之差除以该随机变

17、量的标准差（方差的平方根），称作该随机变量的标准差（方差的平方根），称作(chn zu)随机变量的标准化。标准化能简化随机变量的标准化。标准化能简化正态分布概率的计算正态分布概率的计算. 第82页/共98页第八十三页，共98页。【例例 4-15】 设 （5，9）求 P 2 X10 的概率。 解：因为 XN(5,9),所以 Z=35X(0,1) P2X10=P35253X 3510 =(1.67)-(-1) =0.9525-(1-(1) =0.7938 第83页/共98页第八十四页，共98页。FALSE或0）=p(x)第84页/共98页第八十五页，共98页。第85页/共98页第八十六页，共98页

18、。2这是 v 个相互独立的标准正态变量的平方和构成的随机变量所遵循的分布规律。这个分布的概率密度函数的表达式这里略去不作介绍，概率密度函数的图形如图 4-4。图中表示了一族曲线，其形态随 v 值的不同而改变。v 是构成2变量的标准正态变量个数，称作2变量的自由度。今后，对2变量的分布规律，总要说明它的自由度，记作2(v)。 第86页/共98页第八十七页，共98页。;2p2410200图图4-4 分布分布(fnb)概率密度曲线概率密度曲线第87页/共98页第八十八页，共98页。第88页/共98页第八十九页，共98页。第89页/共98页第九十页，共98页。21/fYfXF 第90页/共98页第九十

19、一页，共98页。21,ffxp50,1021ff10,1021ff4,1021ffx0图图4-5 F分布分布(fnb)的概率密度曲线的概率密度曲线 第91页/共98页第九十二页，共98页。),(1),(12211ffFffF应用应用Excel工具中的下列函数可以进行工具中的下列函数可以进行F分布下的分布下的变量值与概率的相互变量值与概率的相互(xingh)计算：计算：（1）由变量值求概率）由变量值求概率 FDIST（x，分子自由度和分母自由度），分子自由度和分母自由度） =P(x X )（右尾概率）。（右尾概率）。（2）由概率求变量值）由概率求变量值 F INV（右尾概率（右尾概率P(x X

20、)，分子自由，分子自由 度和分母自由度）度和分母自由度）= x（右侧临界值）。（右侧临界值）。 第92页/共98页第九十三页，共98页。设设X是标准正态变量，是标准正态变量，Y是自由度为是自由度为v的变量，且的变量，且X和和Y相相互独立，则称随机变量互独立，则称随机变量所遵循的分布规律为所遵循的分布规律为t-分布。分布。v称为它的自由度，记作称为它的自由度，记作t (v)。这个。这个(zh ge)分布的概率密度函数的图形如图分布的概率密度函数的图形如图4-6。图中表示一族曲线，其形态随图中表示一族曲线，其形态随v的改变而不同。的改变而不同。 vYXt/第93页/共98页第九十四页，共98页。图图4-6 t分布分布(fnb)的概率密度曲线