二次函数教（学）案37015

1、 WORD 二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。注意和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项例:是关于的二次函数,则m=( )A.-1 B.2 C.-1或2 D.m不存在二、二次函数的基本形式的符号开口方向顶点坐标对称轴性 质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值1. 二次函数基本形式：的性质：由此可知:

2、a 的绝对值越大，抛物线的开口越小2. 的性质：上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性 质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择

3、题中，例:已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）例:将一抛物线向下向右各平移2个单位得到抛物线的解析式为,则原抛物线的解析式是( )A. B.C. D.四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其

4、中五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴与顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以与关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.例:已知二次函数的图像如图,则下列说法: c=0; 该抛物线的对称轴是直线x=-1; 当x=1时,y=2a.其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4练习:（1）二次函数的图像如图1，则点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（2）已知

5、二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0； 当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 (1) (2) 六.二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值例:如果二次函数的图像与x轴有两个公共点,那么一元二次方程有两个不相等的实数根,请根据你对这句话的理解,解决下面的问题:若m, n(m &l

6、t; n)是关于x的方程,则a,b,m,n的大小关系是 ( )A. B.C. D.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：例:已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。八、二次函数的

7、图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来,在确定的前提下

8、,b决定了抛物线对称轴的位置.的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负所以，决定了抛物线与轴交点的位置从而我们就知道，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的例:如图，如果函数的图像在第一、二、三象限，那么函数的图像大致是（ ）练习:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交点在点(

9、O，2)的下方下列结论：a<b<0；2a+c>O；4a+c<O；2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D4个答案：D二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称

10、二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称关于点对称后，得到的解析式是例:已知抛物线y=x2+x-（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长所以根据对称

11、的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标与开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标与开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离.当时，图象与轴只有一个交点；当时，图象与轴没有交点.当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，

12、都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；3. 二次函数常用解题方法总结：2 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；(3) 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合；(4) 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.(5) 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三

13、项式和一元二次方程之间的在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.会用待定系数法求二次函数解析式例.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A.(2，-3) B.(2，1) C.(2，3) D(3，2)答案：C例:已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于，两点，交y轴负半轴于C点

14、，且满足3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角MCO>ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，则x1·x2=3<0，又x1<x2，x2>O，x1<O，30A=OB，x2=-3x1x1·x2=-3x12=-3x12=1. x1<0，x1=-1x2=3点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3二次函数的解析式为y-2x2-4x-6(2)存在点M使MC0<ACO(2)解：点A关于y轴的对

15、称点A(1，O)，直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的x的围为-1<x<0或O<x<5当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，MCO>ACO十一、函数的应用:多数是关于最值问题求解例:已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日销售量y是销售价x