数学物理方法复变函数解析学习教案

1、会计学1数学物理方法数学物理方法(fngf)复变函数解析复变函数解析第一页，共51页。A 一般一般, , 任意两个复数任意两个复数(fsh)(fsh)不能比较大小。不能比较大小。1. 复数复数(fsh)的的概念概念 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y ,称称 z=x+iy或或z=x+yi为复数。为复数。称为虚单位。称为虚单位。其中其中ii,1 2 复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0|22 yxz 复数的模复数的模0)Im()Re(0,222111212121 zzziyxziyxz

2、yyxxzz其中其中 判断复数判断复数(fsh)相相等等第2页/共51页第二页，共51页。定义定义(dngy) z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代数代数(dish)运运算算第3页/共51页第三页，共51页。z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z

3、3)=z1z2+z1z3 .运算运算(yn sun)规律规律复数的运算满足复数的运算满足(mnz)交换律、结合律、分交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，配律。（与实数相同）即，第4页/共51页第四页，共51页。2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3.共轭复数共轭复数(n f sh)定义定义(dngy) 若若z=x+iy , 称称z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)第5页/共51页第五页，共51页。.,)( ,4

4、3,55:1212121虚部虚部及它们的实部及它们的实部求求设设例例zzzziziz 55(55 )( 34 )1:34( 34 )( 34 )23557255ziiiziiiii 解解411:2 ii求求例例1(1)(1)1(1)(1)iiiiiii第6页/共51页第六页，共51页。& 1. 点的表示点的表示(biosh)& 2. 向量表示向量表示(biosh)法法& 3. 三角表示三角表示(biosh)法法& 4. 指数表示指数表示(biosh)法法第7页/共51页第七页，共51页。1. 点的表示点的表示(biosh),(yxiyxz一一对对有有序序实实数数

5、易易见见， ),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的点点一一对对有有序序实实数数任任意意点点系系，则则在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐标标 此此时时，表表示示的的点点，可可用用平平面面上上坐坐标标为为复复数数.)(Pyxiyxz 平平面面复复平平面面或或平平面面虚虚轴轴轴轴实实轴轴轴轴zyx)(yxPiyxz，复复平平面面上上的的点点 点的表示：点的表示：A 数数z与点与点z同义同义(tn y).第8页/共51页第八页，共51页。.,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz 表示表示可用向量可用向量，点点2. 向量向量(xingling)表示法表示法A 00 OPzzyxr

6、OPzArg:,|22记记作作辐辐角角模模： oxy(z)P(x,y)rz xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴 为始边为始边, 以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)OP向量向量第9页/共51页第九页，共51页。辐角无穷辐角无穷(wqing)多：多：Arg z=0+2k， kZ，xyzz/)Argtan(0 时，时， 0把其中满足把其中满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz。A z=0时，辐角不确定时，辐角不确定(qudng)。 0, 00

7、, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 计算计算argz(z0) 的公式的公式第10页/共51页第十页，共51页。A 当当z落于一落于一,四象限四象限(xingxin)时，不变。时，不变。 A 当当z落于第二落于第二(d r)象限时，加象限时，加 。 A 当当z落于第三落于第三(d sn)象限时，减象限时，减 。 2arctan2 xy 第11页/共51页第十一页，共51页。oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量由向量(xingling)表示法知表示法知之间的距离之间

8、的距离与与点点2112zzzz 3. 三角三角(snjio)表表示法示法)sin(cos irz 得得由由 sincosryrx4. 指数指数(zhsh)表示表示法法得得公式公式再由再由 sincos:ieEuleri irez 第12页/共51页第十二页，共51页。引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之（或不等式）表示；反之(fnzh)，也可由给定的复数方，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例例1 用复数用复数(fsh)方方程表示程表示:（1）过两点）过两点 z

9、j=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0, -1), 半径为半径为2的圆。的圆。oxy(z)Lz1z2z解解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0为半径为半径的圆的圆 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 对任意对任意 z D, 均有均有zG=z | |z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界。；否则无界。闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,.D记记为为.,00为为半半径径的的圆圆内内所所有有的的点点以以为为圆圆点点表表示示以以rzrzz 第29页/共51页第二十九页，共51页。.xyI

10、m,Re轴轴的的直直线线轴轴和和表表示示分分别别平平行行于于 zz.,.,1020201几个点几个点只是边界增加了一个或只是边界增加了一个或它仍然是区域它仍然是区域几个点几个点如果在其中去掉一个或如果在其中去掉一个或组成组成它的边界由两个圆周它的边界由两个圆周而且是有界的而且是有界的表示一个圆环表示一个圆环rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半复复平平面面表表示示右右半半复复平平面面 zz第30页/共51页第三十页，共51页。2. 简单简单(jindn)曲线（或曲线（或Jardan曲线曲线),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、实实变变函函数数表表示示为为

11、：平平面面上上一一条条连连续续曲曲线线可可令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线则曲线(qxin)方程可记为：方程可记为：z=z(t)， atb.0)( )( ,)( )( 22则则称称该该曲曲线线为为光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。第31页/共51页第三十一页，共51页。重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。 定义定义 称称没有重点

12、没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则时，则称此曲线称此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线 。 z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线第32页/共51页第三十二页，共51页。3. 单连通单连通(lintng)域与多连通域与多连通(lintng)域域简单简单(jindn)闭曲线的性质闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个

13、互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B ，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内内，就称，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域。域；非单连通域称为多连通域。第33页/共51页第三十三页，共51页。例如例如(lr) |z|0）是单连通的；）是单连通的； 0r|z|R是多连通的。是多连通的。单连通域单连通域

14、多连通域多连通域多连通多连通(lintng)域域单连通单连通(lintng)域域第34页/共51页第三十四页，共51页。& 1. 复变函数的定义复变函数的定义& 2. 映射映射(yngsh)的概的概念念& 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射(yngsh)第35页/共51页第三十五页，共51页。1. 复变函数复变函数(hnsh)的定义的定义与实变函数与实变函数(hnsh)定义相类似定义相类似定义定义).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 记记作作）的的函函数数（简简称称复复变变函函数数是是复复变变数数则则称称复复变变数数与与之之对对应应就就有有一一个个或或几几个个使

15、使得得存存在在法法则则的的非非空空集集合合是是一一个个复复数数设设A 是多值函数.是多值函数.值，称值，称多个多个是单值函数;是单值函数;值，称值，称一个一个若若)( )(zfwzzfwz。论的函数均为单值函数论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨第36页/共51页第三十六页，共51页。面面区区域域（定定义义域域）的的定定义义集集合合，常常常常是是平平)(zfG函函数数值值集集合合, )(*GzzfwwG ),(),( )()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw

16、 第37页/共51页第三十七页，共51页。xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 则则令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的的函函数数表表示示成成将将zzfzzzf1)( )(21),(21,zziyzzxiyxz 则则设设第38页/共51页第三十八页，共51页。oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上， w=f(z)可以可以(ky)看作：看作：).() (*)(变换变换平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGzzfw 的的原原象象。称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw

17、)( 定义域定义域函数函数(hnsh)值值集合集合 2. 映射映射(yngsh)的概念的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)w第39页/共51页第三十九页，共51页。A 以下不再以下不再(b zi)(b zi)区分函数与映射（变换）。区分函数与映射（变换）。A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的A 对应关系来表达对应关系来表达(biod)两对变量两对变量 u，v 与与 x，y A 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变A 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何复变函数的几何(j h)意义是一个映射（变换）意义是一个映射（变换）第40页/共51页第四十页，共51页。 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwk为多值函数为多值函数,2支支.定义定义(dngy) 设设 w =f (z) 的定义的定义(dngy)集合为集合为G,函数值集合为函数值集合为G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或几几个个一一个个则称则称z= (w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.GzzfzGwwfw )()(* 当当反反函函数数单单值