定积分的几何应用举例课件

1、上页下页铃结束返回首页1主要内容：主要内容： 第第六六章章 定积分定积分的的应用应用一、定积分的元素法；二、平面图形的面积 ；三、体积；上页下页铃结束返回首页2回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(ab xyo)(xfy 上页下页铃结束返回首页3一、 定积分的元素法 微分dA(x)f(x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值DAf(x)dx, f(x)dx称为曲边梯形的面积元素. xadttfxA)()(表示以a, x为底的曲边梯形的面积. 设yf(x)0(xa, b). 在几何上, 积分上限函数 以a, b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x

2、)dx为被积表达式, 以a, b为积分区间的定积分. 上页下页铃结束返回首页4 相应于x, x+dx的部分面积 - 面积元素: dA=f(x)dx 关于 xa, b累加得整体面积:( )dbaAf xx元素法(也称微元法):1. 相应于x, x+dx的部分量(元素): dU=f(x)dx2. 关于 xa, b累加得整体量:( )dbaUf xx应用方向应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等力；引力和平均值等上页下页铃结束返回首页5 dA=f上(x)- f下(x)dx, 设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf

3、下(x)及左右两条直线xa与xb所围成. 平面图形的面积为 面积元素为 1.直角坐标情形 二、平面图形的面积 dxxfxfAba-)()(下上. 上页下页铃结束返回首页6 由左右两条曲线 xj左(y)与xj右(y) 及上下两条直线 yd与yc 所围成的平面图形的面积: 面积为 面积元素为-dcdyyyA)()(左右jj. dA=j右(y)-j左(y)dy,( )( )baAfxfx dx-上下( )( )baAxx dxjj-左右上页下页铃结束返回首页7 (3)确定上下曲线: 例1 计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积. 解 (2)确定在x轴上的投影区间: (4)计算积分 0, 1; (

4、1)画图; (3)确定上下曲线: 2)( ,)(xxfxxf下上. 31313210323-xx. ( )( )baAfxfx dx-上下( )( )baAxx dxjj-左右120()Axxdx-上页下页铃结束返回首页8 例2 计算抛物线y22x与直线yx-4所围成的图形的面积. (2)确定在y轴上的投影区间: (4)计算积分 (3)确定左右曲线:-2, 4. 解 (1)画图; 4)( ,21)(2+yyyy右左jj.+-yyy. ( )( )baAfxfx dx-上下( )( )baAxx dxjj-左右242(4)2yAydy-+-上页下页铃结束返回首页9例 3

5、 求椭圆12222+byax所围成的图形的面积. 例3 因为椭圆的参数方程为 xacost, ybsint, 所以 解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍. ydx, 椭圆在第一象限部分的面积元素为 -022sin4tdtab-20)2cos1 (2dttababab22. aydxS0402)cos(sin4tatdb -022sin4tdtab-20)2cos1 (2dttab aydxA04. aydxA04 上页下页铃结束返回首页10曲边扇形曲边扇形的面积元素 曲边扇形是由曲线j()及射线, 所围成的图形.曲边扇形的面积 2.极坐标情形 21 ( )2dAdj 21 ( )2Adj

6、上页下页铃结束返回首页11 例4 计算心形线a(1+cos)(a0)所围成的图形的面积. 解 曲边扇形的面积： 21 ( )2Adj ( ),)j 2012 (1 cos )2Aad+220(12coscos)ad+2220(2cos)ad +21(2)2 2a+ 23.2a上页下页铃结束返回首页12 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 1.旋转体的体积 三、体积上页下页铃结束返回首页13 考虑由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积. 三、体积1.旋转体的体积 旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处

7、垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积f(x)2dx作为切片体积的近似值, 旋转体的体积 于是体积元素为 dVf(x)2dx. dxxfVba2)(. 上页下页铃结束返回首页14-aaaadxxaabdxyV)(22222 解 解 旋转椭球体可以看作是由半个椭圆22xaaby-及 x 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体. 旋转椭球体的体积为 旋转体的体积： dxxfVba2)(. 例5 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 12222+byaxaaxxaab-313222234ab-aaaadxxaabdxyV)(22222 aaxxaab-31322223

8、4ab. 上页下页铃结束返回首页15 例6 计算由摆线xa(t-sint), ya(1-cost)的一拱, 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 axdxyV202-2022)cos1 ()cos1 (dttata32203235)coscos3cos31 (adtttta-+-axdxyV202-2022)cos1 ()cos1 (dttata 32203235)coscos3cos31 (adtttta-+-. 上页下页铃结束返回首页16 例6 计算由摆线xa(t-sint), ya(1-cost)的一拱, 直线y0所围成

9、的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 设曲线左半边为xx1(y), 右半边为xx2(y). 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为-aaydyyxdyyxV20212022)()(-022222sin)sin(sin)sin(tdtattatdtatta -2023sin)sin(tdttta 6 3a3 . -aaydyyxdyyxV20212022)()( 上页下页铃结束返回首页17 设立体在x轴上的投影区间为a, b, 立体内垂直于x轴的截面面积为A(x). 立体的体积元素为 立体的体积为2.平行截面面积为已知的立体的体积dxxAVba)(. A(x)dx. A(x)上页下

10、页铃结束返回首页18平行截面面积为A(x)的立体体积： 例7 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角. 计算这平面截圆柱所得立体的体积. 建立坐标系如图, 则底圆的方程为x2+y2R2. 所求立体的体积为dxxAVba)(. 解 tan)(21)(22xRxA-. dxxRVRRtan)(2122- RRxxR-31tan2132tan323RRRxxR-31tan2132tan323R. 立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形, 其面积为 上页下页铃结束返回首页19平行截面面积为A(x)的立体体积： 例8 设平面图形 D 由曲线 y=2x-x2 与 x 轴所围, 求 D

11、分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 如图示: dxxAVba)(. 解 Oyx22yxx-2x22( )(2) ,A xxx-2220(2)xVxxdx-22340(44)xxxdx-+345 204135xxx-+16.15上页下页铃结束返回首页20平行截面面积为A(x)的立体体积： 例8 设平面图形 D 由曲线 y=2x-x2 与 x 轴所围, 求 D 分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 如图示: 解 yOyx22yxx-222( )(11)(11)A yyy+-1041yVy dy-31208(1) 3y -8.321 (1)yx -11xy -41,y-dx

12、xAVba)(. 上页下页铃结束返回首页21平行截面面积为A(x)的立体体积： 例8 设平面图形 D 由曲线 y=2x-x2 与 x 轴所围, 求 D 分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 求如图示平面图形D 绕y轴旋转而成的旋转体的体积.dxxAVba)(. x环面面积: D( )2( )A xxf x旋转体体积: 2( )byaVxf x dxOyx( )yf xab上页下页铃结束返回首页22 例8 设平面图形 D 由曲线 y=2x-x2 与 x 轴所围, 求 D 分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 如图示: 解 Oyx22yxx-22202(2)yVxxxdx-34 204132xx-8.32( )byaVxf x dx环面法: (0)a 上页下页铃结束返回首页23 例9 平面图形 D 如图示, 求 D 分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 140(1)xVxdx-2( )byaVxf x dx环面法: (0)a 241(1)xdx+