【推荐】(期末复习)九年级上《第二章对称图形—圆》综合培优训练有答案.doc

1、【期末专项复习】第二章：对称图形一圆解答题培优训练1 如图， AB 是。O 的直径， P0 丄 AB.PE 是。O 的切线，交 AB 的延长线于点 C, 切点为 E,AE 交 P0 于点 F. (1) 求证： PEF 是等腰三角形； ( 2) 在图中，作 EH 丄 AB,垂足为 H，作弦 BD /PC ，交 EH 于点 G. 若 EG= 5，sinC =：，求直径 AB 的长.52. 如图，在 0 中，半径 0A 与弦 BD 垂直，点 C 在 G>0 上， /AOB = 80(1) 若点 C 在优弧 BD 上，求/ACD 的大小；(2) 若点 C 在劣弧 BD 上，直接写出 /ACD 的

2、大小.3. 已知直线 I 与。0 相交于点 E、F，AB 是。0 的直径， AD 丄 l 于点 D . 若/DAE = 18图 14. 如图， AB 为。0 的直径， AB= AC，BC 交。0 于点 D，AC 交。0 于点 巳(1) 求证： BD = CD;14(2) 若 AB = 8,Z BAC = 45°，求阴影部分的面积 .5?如图，以ABC 的边 AB 为直径画。 0, 交 AC 于点 D，半径 0E /BD，连接 BE,DE , BD ，设 BE 交 AC 于点 F，若/DEB 二/DBC .( 1) 求证： BC 是 O 0 的切线；(2) 若 BF 二 BC = 2,

3、 求图中阴影部分的面积 .C6?如图，已知矩形ABCD 的 边 AB= 3cm ,BC = 4cm, 以点 A 为圆心， 4cm 为半径作 O A， D 与 OA 怎样的位置关系 .7?如图，已知点 E 在直角 ABC 的斜边 AB 上，以 AE 为直径的 OO 与直角边 BC 相交于 点D,AD 平分/BAC .( 1) 求证， BC 是 O 0 的切线.(2) 若 BE= 2,BD= 4, 求 OO 的半径.8. 如图，在 Rt ABC 中， / C= 90° , AD 平分/ BAC , 交 BC 于点 D，点 0 在 AB 上, O0 经过 A、D 两点，交 AC 于点 E,

4、 交 AB 于点 F.(1) 求证： BC 是 O 0 的切线；(2) 若 O 0 的半径是 2cm ,E 是- 的中点，求阴影部分的面积 ( 结果保留 n 和根号)9. 如图， AB 为半圆 0 的直径，点 C 为半圆上任一点 .(1) 若/ BAC = 30°, 过点C 作半圆 0 的切线交直线 AB 于点 P. 求证： PBCA0C ；(2) 若 AB= 6, 过点 C 作 AB 的平行线交半圆 0 于点 D . 当以点 A, 0, C, D 为顶点的 四边形为菱形时，求、的长 .10. 如图， AB= 16, 0 为 AB 中点，点 C 在线段 0B 上( 不与点 0, B

5、重合) ，将 0C 绕点 0 逆时针旋转 270 °后得到扇形C0D , AP, BQ 分别切优弧：于点 P, Q, 且点 P, Q 在 AB 异侧，连接 0P.(1) 求证： AP= BQ；(2) 当 BQ= 4 时，求扇形 COQ 的面积及一的长 ( 结果保留 n);(3) 若厶 APO 的外心在扇形 COD 的内部，请直接写出 0C 的取值范围 .o3D11?如图， AB 为 OO的直径， C,E 为 O 上的两点，若 AC 平分/EAB ,CD 丄 AE 于点 D .(1) 求证： DC 是 O O 切线；(2) 若 AO = 6,DC = 3 二，求 DE 的长；(3) 过

6、点 C 作 CF 丄 AB 于 F，如图 2, 若 AD -OA= 1.5 ,AC = 3，求图中阴影部分面12?如图，半圆 O 的直径为 AB, D 是半圆上的一个动点 ( 不与点 A, B 重合) ，连接 BD 并延长至点 C,使 CD 二 BD ，连接 AC, 过点 D 作 DE 丄 AC 于点 E.(1) 请猜想 DE 与 OO 的位置关系，并说明理由；(2) 当 AB = 4,Z BAC = 45。时，求 DE 的长.13?如图，已知 OA、OB、OC 是。O 的三条半径，点 C 是弧 AB 的中点， M、N 分别是OA、OB 的中点 ?求证： MC = NC .14?如图，已知AB

7、C 中， AB 为半圆 O 的直径， AC 、BC 分别交半圆 O 于点 E、D，且BD = DE .(1) 求证：点 D 是 BC 的中点.(2) 若点 E 是 AC 的中点，判断 ABC 的形状，并说明理由 .15. 如图，已知圆 O, 弦 AB、CD 相交于点 M .(1) 求证： AM?MB = CM?MD ；(2) 若 M 为 CD 中点，且圆 O 的半径为 3，OM = 2, 求 AM?MB 的值.16 ?如图，ABC 中， AB>AC ,/ BAC 的平分线交外接圆于 D,DE 丄 AB 于 E,DM 丄 AC 于M.(1) 求证： BE= CM .(2) 求证： AB -

8、AC= 2BE .17 . 如图，已知 AB 是 OO 的直径，点 C在。O 上,AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D,参考答案1. (1) 证明 PE 为。O 的切线,?OE 丄 PC,? Z AEP =Z PFE ,? PE= PF ；? PEF 是等腰三角形；(2)解：?/C+Z COE = 90°,Z COE+ Z OEH = 90? Z C=Z OEH ,? sinZ C= _ =sin Z OEH = 一，设 OH = 3x,OE= 5x , 贝 U EH = 4x ,OA= OB = 5x ,? BH = OB - OH = 2x, GH = 4x -5,? BG/

9、 PC ,? Z GBH = Z C,? si n Z C = 153? tan Z C = tan Z GBH ,4，4x-5 3x = 2,2?AB= 10x = 20,答：直径 AB 的长.【点评】本题考查了切线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角函数的定义、平行线的性质等知识， 解题的关键是运用方程的思想设未知数解决问题，属于中考常考 题型.2 ? 解 ： ( 1)v AO 丄 BD ,f,?/AOB = 2/ ACD ,vZ AOB = 80°,?/ACD = 40°；( 2) 当点 Ci 在" 上时， Z AC iD = Z ACD = 40&#

10、176;当点 C 2 在上时 , vZ AC 2D+ ZACD = 180 °,?ZAC 2D = 140°综上所述， Z ACD = 140 °或40°.【点评】此题考查了圆周角定理， 垂径定理等知识， 解本题的关键是学会用分类讨论的思想思考问，题 .3?解：连接 BE,DE Fv AB 是。O 的直径,? Z AEB = 90°,? Z AED + Z BEF = 90 °vZ AED + Z DAE = 90 °? Z BEF =Z DAE = 18?i 亠.,?/BAF = /BEF = 18°.【点评】本

11、题主要考查圆周角定理， 解题的关键是掌握在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.4. (1) 证明：连结 AD,? AB 为 O O 直径，? AD 丄 BC， 又?AB = AC，?. BD = CD ；( 2) 连结 OE,?/ AB = 8，Z BAC = 45°，? / BOE = 90°, BO= EO = 4，Z AOE = 90-S 阴=SBOE + S 扇形 OAE = 8+4 n.【点评】此题主要考查了扇形面积以及等腰三角形的性质和圆周角定理, 定理是解题关键 .5 . 证明： ( 1)v AB 是 O O 的直径，?

12、 /ADB = 90°，? / A+Z ABD = 90 °，? / A=Z DEB ，Z DEB = Z DBC ，? Z A=Z DBC ，? Z DBC + Z ABD = 90°，? BC 是 O O 的切线；熟练应用圆周角?/CBD = /FBD ,? OE/BD,?/FBD = /OEB ,? OE= OB,OEB =/OBE ,?/CBD = Z OEB =Z OBE = / ADB =90°= 30°,33:丄 C = 60 °,. AB =齢 BC = 2 冷-,. OO 的半径为二?阴影部分的面积=扇形 DOB 的

13、面积- 三角形 DOB 的面积 =.6424【点评】本题考查了切线的判定，扇形面积，直角三角形的性质和判定的应用，关键是求出/ ABD+ Z DBC = 90°和分别求出扇形 DOB 和三角形 DOB 的面积. AC= 5cm,?点B在 O A 内，点 D 在 O A 上，点 C 在 O A 外.【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系 .7. ( 1) 证明：连接 OD ,? AD平分/BAC ,?/1 = Z 2, ?0A= OD ,?/1 = Z 3,?2/=Z 3,?OD/AC,? AC 丄 BC,? OD 丄

14、 BC ,? BC 是。O 的切线.( 2) 解： BC 与圆相切于点 D .2? BD 2= BE ?BA ,? BE= 2,BD = 4,? BA= 8,? AE = AB -BE = 6,? OO 的半径为 3.D C【点评】本题考查了圆的切线性质和切割线定理，遇到圆的切线的问题，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.8. 解：（ 1）连接 OD .?OA= OD,? /OAD = /ODA ,vZ OAD = / DAC ,?/ODA =/DAC , OD /AC ,:丄 ODB = /C= 90°,. OD 丄 BC,. BC 是 O O 的切线

15、.( 2) 连接 OE,OE 交 AD 于 K.?r =I :,. OE 丄 AD ,? Z OAK =/ EAK, AK = AK， / AKO = / AKE = 90 °,. AKOAKE ,.?AO= AE= OE ,. AOE 是等边三角形，.Z AOE = 60°,. S SS605*/ V3 v 2 2 戈 兀 n-S 阴=S 扇形 OAE_ SAOE = - X 2 = - .36043【点评】本题考查切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和 性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运 用所学知识解决问题

16、，属于中考常考题型 .9. 解： ( 1)v AB 为半圆 O 的直径，.Z ACB = 90°,? Z BAC = 30°,.Z ABC = 60°,? OB= OC,?OBC 是等边三角形，.OC = BC ,Z OBC =Z BOC = 60°,?ZAOC =Z PBC = 120°,? CP 是 O O 的切线，? OCX PC,? Z OCP = 90°,?/ACO =/PCB ,fZACO=ZPCB在厶 PBC 与厶 AOC中， i OCOBZ/ )C=ZPBC? PBC A AOC (ASA )；( 2) 如图 1, 连

17、接 OD,BD ,CD,?四边形AOCD 是菱形，?.OA=AD = CD = OC ,贝 U, OA= OD = OC,? AOD 与厶心。 是等边三角形，? / AOD = Z COD = 60 °,? /BOC = 60°,如图 2, 同理/BOC = 120°,【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定，菱形，的性质，圆周角定理，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键 .综上所述， 1 的长为 n 或 2n10. ( 1) 证明：连接 OQ, 如图所示二? AP、BQ 是 O O 的切线，? OP 丄 AP,OQ 丄 BQ,图 I15? / APO =

18、Z BQO = 90°.在 RtA APO 和 RtA BQO 中 ，|OA=OB? RtAPO Rt BQO (HL),AP= BQ.(2) 解： Rt APO 也 Rt BQO ,:丄 AOP =Z BOQ,. P、O、Q 三点共线 .?在Rt BOQ 中， cosB = = 二=竺'OB g 2?/B = 30°,/ BOQ = 60°,. OQ =OB = 4,- q “c了 =：q- 扇 形 COQ 二 nV/ COD 90°,/./QOD 90° +60 °=150 °,. 优弧. 的长一：y ；：； &

19、quot; =荐 n(3) 解：设点 M 为 Rt APO 的外心，则 M 为 OA 的中点,V OA = 8,.OM 4,?当厶APO 的外心在扇形 COD 的内部时， OM v OC ,?OC的取值范围为 4vOC v8.O【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面积的计算、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：( 1) 利用全等三角形的判定定理 HL 证 出RtA APO RtA BQO ; (2) 通过解直角三角形求出圆的半径； ( 3) 牢记直角三角形 外心为斜边24的中点是解题的关键 .11. ( 1) 证明：连接 OC , 如图 1,? AC平分/E

20、AB ,?/1 = Z 2,?0A= OC,?2/ 3 ,?i/ 1 = / 3,?OC/AD,? AD 丄 CD ,? OC 丄 CD,? DC 是。O 切线；(2) 解：连接 BE 交 OC 于 H，如图 1,? AB为。O 的直径，.?/AEB = 90°,?OC/AD,? /OHB = 90°,? EH 二 BH，四边形 CDEH 为矩形，? CD = EH = 3 二 ， CH = ED,? BH 二 3 二 ，在 Rt OBH 中， OH 二. 一. 二 3,? CH = 6- 3 = 3,? DE = 3；(3) 解：连接 OC , 如图 2, 设 OO 的半

21、径为 r,? AC 平 分/BAD ,CD 丄 AD,CF 丄 AB ,? CD = CF ,? AD = AF = AO+OF ,? AD -OA= 1.5 ,? AO+OF -OA= 1.5 , 即 OF = 1.5 ,? AB 为。O 的直径,? /ACB = 90° ,? /CAF = /BAC ,AC AF即二，解得舍去 )AB AC?ACFABC ,在 RfOCF中, 观COF八?/ COF= 60°,?I CF = q OF =,3,：_?图中阴影部分面积=S 扇 形 BOC -SOCB = - - X 3X _ "= 斗 n ?【点评】本题考查了切

22、线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径?判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”? 也考查了圆周角定理和垂径定理 .12. 解：（ 1） DE 与。O 相切.理由如下： ?CD = BD ,OA= OB,? ODABC 的中位线，? OD /AC,?DEAC ,? OD 丄 DE ,? DE 为。O 的切线；( 2) 作 OF 丄 AC 于 F，如图,易得四边形 ODEF 为矩形，? OF = DE ,? /BAC = 45°,? OAF 为等腰直角三角形 ,.?.

23、OF 亠 OA 二二DE = 乙【点评】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端与半径垂直的直线为圆的切线 .13. 证明： ?弧AC 和弧 BC 相等，?/AOC =/BOC ,又 v OA = OBM 、N 分别是 OA、OB 的中点?OM= ON,r 0M=0N在厶 MOC 和厶 NOC 中, ZA0C=Z ： B0C ,oc=oc? MOCNOC ( SAS) ,. MC = NC .【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键 .14. ( 1) 证明：连接 AD,v AB 为半圆 O 的直径，?/v BDADB = /= DE ,ADC

24、 = 90°,.i =,?/BAD = /CAD ,在厶 BAD 和厶 CAD 中，fZBAD=ZCAD，AD 二 AD, ZADB=ZADC? BADCAD ( ASA ),. BD = DC, 即点 D 是 BC 的中点；(2)解： ? BAD A CAD ,AB= AC,?/ ADC =90 。，点 E 是 AC 的中点,.DE = AE= EC,由( 1) 得， DE = BD= DC,.CA = CB ,?. CA = CB = AB,. ABC 是等边三角形 .【点评】本题考查的是圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定，掌握圆周角定理是解题的关键 .15?解：（ 1）连接 AD、BC.?A/ =Z C,Z D=Z B,? ADM CBM.'-.V _ ”.'l1:“即 AM?MB = CM?MD .（2）连接 OM 、OC.? M为 CD 中点，. OM 丄 CD在 RtA OMC 中 ，T OC = 3, OM