含压电主动层叠层夹持梁在电场作用下的解析解ppt课件

1、School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA赵寿根赵寿根航空科学与工程学院固膂力学研讨所航空科学与工程学院固膂力学研讨所School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 内容：由弹性力学根本方程和力电耦合方程出发，内容：由弹性力学根本方程和力电耦合方程出发，采用半逆解法得到

2、了含压电自动层复合资料夹持采用半逆解法得到了含压电自动层复合资料夹持梁在电场作用下的解析解，该解较为适宜提示复梁在电场作用下的解析解，该解较为适宜提示复合资料梁弯曲控制方面的作动基理问题，同时电合资料梁弯曲控制方面的作动基理问题，同时电势沿压电介质的厚度方向由一高阶多项式表示更势沿压电介质的厚度方向由一高阶多项式表示更为贴近真实情况。为贴近真实情况。Q 目的：为压电复合梁的运用者和智能构造的外形目的：为压电复合梁的运用者和智能构造的外形控制提供实际参考和自创。控制提供实际参考和自创。 School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASch

3、ool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 概略：图所示的含压电层复合资料梁概略：图所示的含压电层复合资料梁(x方向也可称方向也可称之为之为1方向，方向，z方向也可称之为方向也可称之为3方向方向)。含压电层复合资料梁School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA 简化：由于y方向(垂直于xz平面，也可称之为2方向)可以自在伸展，加之电压施加的方向为3向，因此该层合压电梁在电场作

4、用下的问题可以作为x-z平面内的平面应力问题来求解。School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ (1) 平衡方程平衡方程Q 由前面的分析可得复合资料梁的平衡方程为：由前面的分析可得复合资料梁的平衡方程为： 0zxxzx0 xzxzz(1)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineerin

5、g, BUAAQ (2)协调方程：协调方程：Q 其协调方程为：其协调方程为：022222xzxzzxzx(3) 物理方程物理方程本体资料物理方程为：本体资料物理方程为： sxzszsxsssssszxszsxsssss44331313110000(2)(3)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA压电层资料物理方程为：压电层资料物理方程为： zaxzazaxaaaaaaxzazaxEddsssss0000033314433131

6、311 33333310EddDaxzazaxz(4)(5)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA(4) 几何方程几何方程 xwzuzwxuxzzx(5) 电学方程电学方程 0zDzzEz(6)(7)(8)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ (1) 应力

7、函数的求取应力函数的求取Q 由平衡方程式可知存在应力函数由平衡方程式可知存在应力函数使得：使得：zxxzxzzx22222(9)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA对于下层压(+)电复合层，设其应力函数用 a1表示 电势用 a1表示 ，将(9)和(8)代入(5)式有： zxdzdDaaaz1332123321231将上式(10)代入(7)式中有： 0212332133331331zzxdzdaaa(10)(11)School

8、 of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA由式(11)可设下压电层的电势分布函数 a1为： 32211uzuzua式中z的取值范围为： )5 . 0(5 . 0asshhzh设下压电层的应力函数 a1表达式为： 362524232211zazxaxzazaxaxzaa(12)(13)(12)和(13)式代入(11)式有： 0226133533631uadad(13)式代入(9)式结合边境条件有： 00)5 . 0(22)2(226226435

9、4152643aszzaxzazaxhhaxaaxazaazaazaxaaii式中： asihhz5 . 0(14)(15)结合(14)和(15)式有： 0052aa441)2(2ahhzaaas6333113adu从而得上层压电复合层的应力函数 a1表达式为： 36242341)2(zaxzazaxzahhasa(16)(17)采用类似于分析下层压电复合层的方法可得上层压电复合层的电势分布函数 a2和应力函数 a2分别为： 32212vzvzva式中z的取值范围为：sashzhh5 . 0)5 . 0(36242342)2(zbxzbzbxzbhhasa(18)(19)School of A

10、eronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA将(18)和(19)代入协调方程有： 6333113bdv从而由本体构造的相容方程、 a1和 a2构造的应力函数为： 可设本体34232213zcxzczcxzcs(20)(21)(2) 应力表达式的求取将式(17)、(19)和(21)代入(9)式有： (a) 下压电层中的应力和电场 zaahhzaxaaasaxzazax446432)2(06222336316uzadEz(22)School of Aeron

11、autical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA(b) 上压电层中的应力和电场 zbbhhzbxbbasaxzazax444432)2(06222336316uzbdEz(23)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA(b) 本体构造中的应力 zcczcxccsxzszsx3143220622(3)

12、位移表达式的求取将(22)(24)代入各自的资料本构方程和变形几何方程可得： (24)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA(a) 下压电复合层的位移场 zasahhsuzaddzaxaasuzaddzaxaasxwzuzwxuaasaaaaaaa4444442336313364313233631316431111112)2(6)622(6)622(25)前两式可得： )(6)622()(6)622(1233631336431

13、31233631316431111xgzuzaddzzaxaaszfxuzaddxzaxaaswuaaaa第三式可得：9726332311187444244413113)2()()()(axaxadsazazahhszassxgzfaasaaa(26)(27)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA从而得位移场： 9726332311123363133643131874442444132336313164311136)622()

14、2()(6)622(axaxadszuzaddzzaxaaswazazahhszassxuzaddxzaxaasuaaaasaaaaa(28)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA(b) 上压电复合资料的位移场同理可得上压电复合层的位移场为： 9726332311123363133643132874442444132336313164311236)622()2()(6)622(bxbxbdszvzbddzzbxbbswbzbz

15、bhhszbssxvzbddxzbxbbsuaaaasaaaaa(29)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA(c) 本体构造的位移 )2()622()622(314443213432113333zccszcxccszcxccsxwzuzwxusssssss前两式可得： )()322()()62(34321334321133xgzzcxccszfxzcxccswussss(30)(31)School of Aeronautic

16、al Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA第三式可得： 7524116523132344144333)()(cxcxcsczczcszcszcsxgzfssss从而有： 752411432136521332314443211333)322()()62(cxcxcszzcxccsczczsczczcsxzcxccswusssssss(32)(33)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of A

17、eronautical Science and Engineering, BUAAQ (1) 位移边境条件位移边境条件Q (a) 当当x=0时：时：0000333xsssxwwu(34)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA(b) 当z=+0.5hs和z=-0.5hs时：sshxsshxsswuwu5 . 0335 . 011sshxsshxsswuwu5 . 0335 . 022School of Aeronautical

18、Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAA (2) 应力边境条件 当z=+0.5hs+ha和z=-0.5hs-ha时：00)5 . 0(ashhzaxzaz在设应力函数时已思索该边境条件。 (3) 力边境条件 当压电复合梁只遭到电场作用时，那么有：aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaahhhaxhhhhhaxsxhhhaxzhhhhhaxzsxzhhhaxhhhhhaxsxdzzdzzdzzdzdzdzdzdzdz5 . 0)5 . 0(5 . 05 . 05 .

19、05 . 05 . 0)5 . 0(5 . 05 . 05 . 05 . 05 . 0)5 . 0(5 . 05 . 05 . 05 . 0000 (3) 电学边境条件 (a) 当z=-0.5hs和+0.5hs时：05 .01ashhza0)5.0(2ashhza(b) 当z=+0.5hs+ha和z=-0.5hs-ha时：Uashhza5.01Uashhza)5 . 0(2将式(22)(24)代入式(37)，将式(28)、(29)和(33)代入式(35)，将式(33)代入式(34)，将式(12)和(18)代入式(38)和(39)有： 01a02a04a05a07a08aAs2h)U)h+)(h

20、h+h(hs6d+(UAda11aas2aas11231313aAda31as331123163)Uh+(hs6d-2A)Uh+)(hdd-(ssd3hA2h)Uh+)(hhh6(h+(AsddhAs2h)Uh+)(hhh6(h+(ssdh-2hp)U+)(hsd-(ssdh3h-as333133a1311312saas2aas1123133sa11aas2aasa1311331s23133a111331as9a01b02b04b05b07b08b99ab As2h)U)h+)(hh+h(hs6d+(UAda11aas2aas11231313bAdab31as3311231663)Uh+(hs

21、6d-01c02c03c05c06c07c)Ud-)(sh+(h2d-23133a11as314cAu)Uh+(hs6d-as112311a3311s2a33113a3311a3s2313s33a113sa112)U)/hsh12hs8hsh6hdh-s(hs (uA2h)Uh+(hs)dh+h6(h+(Uh-ss2h2)Uh+(hsd3haas112312aass33a11113aas112312s3uAv)Uh+(hs6d-as112311a3311s2a33113a3311a3s2313s33a113sa112)U)/hsh12hs8hsh6hdh-s(h-s(vA2h)Uh+(hs)d

22、h+h6(h+(Uh-ss2h2)Uh+(hsd3haas112312aass33a11113aas112312s3v其中： 331111311311211211323133112)6126)(sshshshhshhshdsAappspspasaSchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ 如图如图1所示的复合资料梁，其几何参数为压电层所示的复合资料梁，其几何参数为压电层厚度为厚度为ha=0.5mm，本体构造层厚度为，本体构造层厚度为 hs=1.0mm，其长度其长度l=100mm，施加的电压值为，施加的电压值为U=100V。所。所用的资料的力学和电学性能参数如下表所示。计用的资料的力学和电学性能参数如下表所示。计算所得和有限元计算所得复合资料梁中的位移分算所得和有限元计算所得复合资料梁中的位移分布和应力分布如以下图所示。布和应力分布如以下图所示。 School of Aeronautical Science and Engineering, BUAASchool of Aeronautical Science and Engin