中考二次函数压轴题(共23道题目)

1、中考二次函数压轴题(共 23道题目).选择题(共10小题)1.如图，二次函数y=ax2+bx+c (a*0)的图象经过点(1,2)且与x轴交点的 横坐标分别为Xi, X2,其中-1<X1<0, 1<X2<2,下列结论：4a+2b+c<0, 2a+b <0, b2+8a>4ac, a< - 1,其中结论正确的有(A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=aX2+bx+c (aw0),则下列结论中正确的有()(4) a+b+c>0.3,已知二次函数 y=aX2+bx+c (

2、a*0)的图象如图，在下列代数式中(1) a+b+c >0; (2) - 4a<b<-2a(3) abc>0; (4) 5a- b+2g0; 其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4 .已知点（xi, yi）、（X2, y2）、（X3, y3）都在抛物线 y=x2+bx 上，xi、X2、X3为 ABC的三边，且Xi<X2<X3,若对所有的正整数Xi、X2、X3都满足丫1<丫2<丫3,则b的取值范围是（A. b>2 B. b> 3 C. b> 4 D. b> 一55 .如图，点A （m, n）是一次函数y=

3、2X的图象上的任意一点，AB垂直于X轴,垂足为B,那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（6 .抛物线y=aX2+bX+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A. a>0, b>0, c=0 B. a>0, b<0, c=0C. a<0, b>0, c=0 D. a<0, b<0, c=07.已知抛物线y=X2- （4m+1） X+2m-1与x轴交于两点，如果有一个交点的横 坐标大于2,另一个交点的横坐标小于2,并且抛物线与y轴的交点在点（0,） 的下方，那么m的取值范围是（）A.二:二.二 B. C. D.全

4、体实数8.函数yL与y=- kx2+k （kw 0）在同一直角坐标系中的图象可能是（9 .已知抛物线y=x2+bx+c （c<0）经过点（c, 0）,以该抛物线与坐标轴的三个 交点为顶点的三角形面积为S,则S可表示为（）A.苧2+b|b+1|B. * (1-c) C. (b+1) 2 D.，、)10 .下列关于函数 y= (m2-1) x2- (3m-1) x+2的图象与坐标轴的公共点情 况：当mw 3时，有三个公共点；m=3时，只有两个公共点；若只有两个公共 点，则m=3;若有三个公共点，则 m*3.其中描述正确的有()个.A. 一个B.两个 C.三个 D.四个二.填空题(共10小题)

5、11 .已知：如图，过原点的抛物线的顶点为 M (-2, 4),与x轴负半轴交于点 A,对称轴与x轴交于点B,点P是抛物线上一个动点，过点 P作PQ± MA于点 Q.(1)抛物线解析式为.(2)若4MPQ与4MAB相似，则满足条件的点P的坐标为.12 .将抛物线y=x2-2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为 . 13.如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点。恰好落在BC上F处，以CF为 边作正方形CFGH延长BC至M,使CM=|CE- EO|,再以CM、CO为边作矩形 CMNO.令m庭匡吧里，则m=；又若c0=1, ce=_ , Q为AE上一点区四边形cimo口且QF上，抛

6、物线y=mx2+bx+c经过G Q两点，则抛物线与边 AB的交点坐标 是.15 .在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0, 1）、（4, 2）、（2, 6）.如 果P （x, v）是ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当 w=xy取得最大值 时，点P的坐标是.16 .如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列结论中： ac> 0；方程 ax2+bx+c=0 的根是 xi= - 1, x2=5; a+b+c< 0；当x<2时，y随着x的增大而增大.正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）.h-叫17 .已知当x1=a, x2=b, x3=c时，二次函数y=|

7、"x2+mx对应的函数值分别为y1， y2, y3,若正整数a, b, c恰好是一个三角形的三边长，且当 a<b<c时，都有 y1<y2<y3,则实数m的取值范围是.18 .如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2-3x+3上运动.若。P半径为1, 点P的坐标为（m, n）,当。P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围 是.C、D两点在抛19 .如图，四边形ABCD是矩形，A B两点在x轴的正半轴上,物线y=-x2+6x上.设OA=m (0< m<3),矩形ABCD的周长为1,则l与m的函数解析式为20 .若二次函数y=aX2+bx+c的顶点在第一

8、象限，且经过点(0, 1), (T, 0), 则y=a+b+c的取值范围是.三.解答题(共4小题)21.已知抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于A ( - 1, 0)、B两点，与y轴交于点C, 对称轴为x=1,顶点为E,直线y=-±x+1交y轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求证： BCaABOD;(3)点P是抛物线上的一个动点，当点 P运动到什么位置时， BDP的面积等 于ABOE的面积DE22.如图，直线y=x+2与抛物线y=a*+bx+6 (a*0)相交于Am),于点点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC，x轴于点D,交抛物线C.(1)(2)求抛物线的解析式；是否

9、存在这样的P点，使线段PC的长有最大值若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由;(3)求APAC为直角三角形时点P的坐标.(1)求抛物线的函数表达式;ax2+bx+2与 x 轴的交点是 A (3, 0)、 B (6, 0),与(2)设P (x, v) (0<x<6)是抛物线上的动点，过点 P作PQ/ y轴交直线BC于点Q.当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少是否存在这样的点P,使4OAQ为直角三角形若存在，求出点P的坐标；若不 存在，请说明理由.24.如图，直角梯形 ABCO的两边 OA, OC在坐标轴的正半轴上，BC/ x轴， OA=OC=4以直线x=1为对

10、称轴的抛物线过 A, B, C三点.(1)求该抛物线的函数解析式；(2)已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在年$形ABCO的一边上取点P.当m=0时，如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH，直线l 于点H,连结OP,试求AOPH的面积；当m=-3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E, F.是否存在 这样的点P,使以P, E, F为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求出点 P的坐 标；若不存在，请说明理由.二次函数压轴题（共24道题目）参考答案与试题解析.选择题（共10小题）1.如图，二次函数y=ax2+bx+c （a*0）的图象经过点（1,2）且与x轴交点

11、的 横坐标分别为Xi, X2,其中-1<X1<0, 1<X2<2,下列结论：4a+2b+c<0, 2a+b <0, b2+8a>4ac, a< - 1,其中结论正确的有（）4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符 号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判 断.【解答】解：由抛物线的开口向下知a<0, 与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c> 0, 对称轴为x=< 1,: a< 0, .2a+b< 0,而抛物线与x轴有两个交点，. b2-4ao 0,当 x=

12、2时，y=4a+2b+c<0,当 x=1 时，a+b+c=2轲2,4a4ac- b2 < 8a,b2+8a> 4ac, a+b+c=2 则 2a+2b+2c=4, 4a+2b+c< 0,a- b+c< 0.由，得到2a+2g 2,由，得到 2a-c< 4, 4a- 2c< 8,上面两个相加得到6a<-6,a< 1.故选：D.2.如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c (aw0),则下列结论中正确的有()(4) a+b+c>0.【分析】如图是y=ax2+bx+c的图象，根据开口方向向上知道

13、 a>0,又由与y轴 的交点为在y轴的负半轴上得到c< 0,由对称轴x=- 1,可以得到2a- b=0,又 当x=1时，可以判断a+b+c的值.由此可以判定所有结论正确与否.【解答】解：(1)二将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为 y=a*+bx+c (aw0)(如虚线部分)，y=a*+bx+c的对称轴为：直线 x=- 1；二.开口方向向上，；a> 0,故正确；(2)二与y轴的交点为在y轴的负半轴上；c<0,故正确；(3)二.对称轴 x=- 1,；2a- b=0,故正确；(4)当x=1时，y=a+b+c>0,故正确.故选：D.3.已知二次函数 y=aX2+b

14、x+c (a*0)的图象如图，在下列代数式中(1) a+b+c >0; (2) - 4a<b<-2a(3) abc>0; (4) 5a- b+2g0; 其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】由抛物线开口向上得到a大于0,再由对称轴在y轴右侧得到a与b异 号，即b小于0,由抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0,可得出abc的符 合，对于(3)作出判断；由x=1时对应的函数值小于0,将x=1代入二次函数 解析式得到a+b+c小于0, (1)错误；根据对称轴在1和2之间，利用对称轴公 式列出不等式，由a大于0,得到-2a小于0,在不等式两边同时乘以-

15、2a,不 等号方向改变，可得出不等式，对(2)作出判断；由x=- 1时对应的函数值大 于0,将x= - 1代入二次函数解析式得到 a- b+c大于0,又4a大于0, c大于0, 可得出a-b+c+4a+c大于0,合并后得到(4)正确，综上，即可得到正确的个数.【解答】解：由图形可知：抛物线开口向上，与 y轴交点在正半轴，. .a>0, b<0, c>0,即 abc<0,故(3) 错误；又x=1时，对应的函数值小于0,故将x=1代入得：a+b+c<0,故(1)错误；;对称轴在1和2之间,1<-<2,又 a>0,在不等式左右两边都乘以-2a得：-2a

16、>b>-4a,故（2）正确；又x= - 1时，对应的函数值大于0,故将x= - 1代入得：a- b+c>0,又 a>0,即 4a>0, c>0, .5a- b+2c= （a- b+c） +4a+o0,故（4） 错误，综上，正确的有1个，为选项（2）.故选：A.4.已知点（X1, y1）、（X2, y2）、（X3, y3）都在抛物线 y=X2+bx 上， X1、X2、X3 为 ABC的三边，且X1<X2<X3,若对所有的正整数X1、X2、X3都满足丫1<丫2<丫3, 则b的取值范围是（）A. b>-2 B. b>-3 C.

17、b>-4 D. b>-5【分析】根据三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于 第三边”，结合已知条件，可知X1、X2、X3的最小一组值是2、3、4;根据抛物线， 知它与X轴的交点是（0, 0）和（-b, 0）,对称轴是x= K 因此要满足已知条件，则其对称轴应小于.【解答】解：: X1、X2、X3为AABC的三边，且X1<X2<X3,X1> x2、X3的最小一组值是2、3、4.抛物线y=x2+bx与X轴的交点是（0, 0）和（-b, 0）,对称轴是x=-y,若对所有的正整数X1、X2、X3都满足y1<y2<y3,则-旦<解，得b

18、 > - 5.故选：D.5 .如图，点A （m, n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴, 垂足为B,那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（）【分析】因为A (m, n)是一次函数y=2x的图象上的任意一点，所以n=2m.根 据三角形面积公式即可得出S与m之间的函数关系，根据关系式即可解答.【解答】解：由题意可列该函数关系式：S=-|m|2|m|=m 2, ri-a因为点A (m, n)是一次函数y=2x的图象上的任意一点，所以点A (m, n)在第一或三象限，又因为S>0,所以取第一、二象限内的部分.故选：D.6 .抛物线y=a*+bx+c的图象

19、经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立 的是()A. a>0, b>0, c=0 B. a>0, b<0, c=0 C. a<0, b>0, c=0 D. a< 0, b<0, c=0【分析】先根据图象经过象限的情况判断出 a的符号，由抛物线与y轴的交点判 断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x轴交点情况进行推理.【解答】解：二.抛物线经过原点，c=0,抛物线经过第一，二，三象限，可推测出抛物线开口向上，对称轴在 y轴左侧a> 0,:对称轴在y轴左侧，对称轴为x=< 0,又因为a>0,b>0.故选：A.7.已知抛物

20、线y=x2- (4m+1) x+2m-1与x轴交于两点，如果有一个交点的横 坐标大于2,另一个交点的横坐标小于2,并且抛物线与y轴的交点在点(0,) 的下方，那么m的取值范围是()A. 一、':一 B. C. D.全体实数64【分析】因为抛物线y=x2- (4m+1) x+2m-1与x轴有一个交点的横坐标大于2, 另一个交点的横坐标小于 2,且抛物线开口向上，所以令 f (x) =x2- (4m+1) x+2m- 1,则f (2) <0,解不等式可得 m>g,又因为抛物线与y轴的交点在6点(0,)的下方，所以f (0) <-1,解得m<十,即可得解.【解答】解：

21、根据题意，令 f (x) =x2 - (4m+1) x+2m- 1,.抛物线y=x2- (4m+1) x+2m-1与x轴有一个交点的横坐标大于 2,另一个交 点的横坐标小于2,且抛物线开口向上，.f (2) <0,即 4-2 (4m+1) +2m- K0,解得：m>, 6又;抛物线与y轴的交点在点(0,)的下方，f (0) < - 7j-,解得：m<,综上可得：/<m<：, 故选：A.8.函数y吉与广-kx2+k (kw0)在同一直角坐标系中的图象可能是(象相比较看是否一致.【解答】解：由解析式y=- kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分

22、别位于二、四象限，可得 k<0,则-k>0,抛物线开口方 向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故 A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k>0,则-k<0,抛物线开口方 向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故 B正确; C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k>0,则-k<0,抛物线开口方 向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故 C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得 k>0,则-k<0,抛物线开口方 向向下、抛物线与y轴的交点

23、在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故 D错误.故选：B.9.已知抛物线y=X2+bx+c (c< 0)经过点(c, 0),以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S,则S可表示为()1 1白一己1 3A.向2+b|b+1|B. c (1-c) C. (b+1) 2 D. J【分析】把点(c, 0)代入抛物线中，可得b、c的关系式，再设抛物线与x轴的交点分别为xi、x2,则xi、x2满足x2+bx+c=0,根据根的判别式结合两点间的 距离公式可求|xi-x2| ,那么就可得到以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的 三角形面积.【解答】解：:抛物线y=x2+bx+c (c<

24、;0)经过点(c, 0),.二 c2+bc+c=Q. . c (c+b+1) =0;: c<0,c=- b - 1 ；设xi, X2是一元二次方程 x2+bx+c=0的两根，X1+X2= - b , XlX2=c= b - 1,:抛物线与 X 轴的交点间的距离为|x 1 - x2尸(X+”)2-4工工闱产 Y (-b-1) =/lA4b+4 *(b+2 ) °=|2+b|，S可表示为芋+b|b+1| .故选：A.10.下列关于函数 y= (m2-1) x2- (3m-1) x+2的图象与坐标轴的公共点情 况：当mw 3时，有三个公共点；m=3时，只有两个公共点；若只有两个公共

25、点，则m=3;若有三个公共点，则 m*3.其中描述正确的有()个.A. 一个 B.两个C.三个D.四个【分析】令y=0,可得出(m2-1) x2- (3m-1) x+2=0,得出判别式的表达式， 然后根据m的取值进行判断，另外要注意 m的取值决定函数是一次函数还是二 次函数，不要忘了考虑一次函数的情况.【解答】解：令y=0,可得出(m21) x2- (3m1) x+2=0,二(3m- 1) 2-8 (m2-1) = (m-3) 2,当mw3, m=± 1时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；当m=3时， =0,与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个， 故正确；若只

26、有两个公共点，m=3或m= ± 1,故错误；若有三个公共点，则 m*3且mw±1,故错误；综上可得只有正确，共个.故选：A.二.填空题(共10小题)11.已知：如图，过原点的抛物线的顶点为 M (-2, 4),与x轴负半轴交于点 A,对称轴与x轴交于点B,点P是抛物线上一个动点，过点 P作PQ± MA于点 Q.(1)抛物线解析式为 y= - x v PQ1 MA - 4x .(2)若MPQ与MAB相似，则满足条件的点P的坐标为 (-，)、(-£,)_.斗 o X【分析】(1)设抛物线的解析式为：y=a (x+2) 2+4,因为抛物线过原点，把(0, 0)

27、代入，求出a即可.(2)由于 PQ± MA,即/MQP=/ MBA=9 0;所以只要满足 / PMQ=/ MAB 或 / PMQ=/ AMB./PMQ=/ AMB时，先找出点B关于直线MA的对称点(设为点C),显然有 AC=AB=2 MC=MB=4,可根据该条件得到点 C的坐标，进而求出直线 MC (即直 线MP)的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点 P的坐标；/PMQ=/ MAB时，若设直线MP与x轴的交点为D,那么 MAD必为等腰三 角形，即MD=AD,根据此条彳先求出点D的坐标，进而得出直线MP的解析式， 联立抛物线的解析式即可得解.【解答】解：(1)二.过原点的抛物线的顶点

28、为 M (-2, 4),设抛物线的解析式为：y=a (x+2) 2+4,将x=0, y=0代入可得：4a+4=0,解得：a=- 1,抛物线解析式为：y=- (x+2) 2+4,即 y=- x2- 4x;丁. / MQP=/ MBA=90 ;若AMPQ、zMAB相似，那么需满足下面的其中一种情况：/PMQ=/ AMB,止匕时MA为/ PMB的角平分线，如图;取点B关于直线MA的对称点C,则AC=AB=2 MC=MB=4,设点C (x, y),有:点C的坐标为(-，-);5设直线MP的解析式：y=kx+b,代入M (-2, 4)、(-，卷)得:. .直线 MP: yx+4联立抛物线的解析式，有:点

29、P的坐标(-，);/PMQ=/ MAB,如右图，此时 MAD为等腰三角形，且 MD=AD,若设点D(x, 0),则有：(x+4) 2= (x+2) 2+ (0-4) 2,解得：x=1.点 D (1, 0);设直线MP的解析式：y=kx+b,代入M (-2, 4)、D (1, 0)后，有:-2k+b=4k+b=O,解得:.,直线 MP: y=-43联立抛物线的解析式有:.二点P的坐标（-条）综上，符合条件的p点有两个，且坐标为（-，）、（-2,故答案：(1) y=- x2-4x; (2) (-,)、(-1,). j12 .将抛物线 y=W-2向左平移 3个单位，所得抛物线的函数表达式为 y=X2

30、+6x+7 .【分析】根据二次函数图象的平移规律：左右平移，x改变：左加右减，y不变; 上下平移，x不变，y改变，上加下减进行计算即可.【解答】解：根据平移规律：将抛物线y=x2-2向左平移3个单位得到：y= （x+3） 2-2, y=x2+6x+7.故答案为：y=x2+6x+7.13 .如图所示，将矩形OABC仟AE折叠，使点。恰好落在BC上F处，以CF为 边作正方形CFGH延长BC至M,使CM=|CE- EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO.令_s四边附cfgh m-S四边形cimo;又若CO=1, CE1, Q为AE上一点且3上),抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，则抛物线与

31、边AB的交点坐标是【分析】求出CM=OE- CE求出四边形CFGH的面积是COX ( OE- CE),求出 四边形CMNO的面积是(OE- CE) X CO,即可求出m值；求出EF值，得出EF=QF 得出等边三角形EFQ求出EQ,求出/ CEF / OEA 过Q作QD>± OE于D,求 出Q坐标，代入抛物线求出抛物线的解析式， 把乂=代入抛物线即可求出y,即得 出答案.【解答】解：二.沿AE折叠，O和F重合，OE=EF.在 Rt CEF中，EF>CE,即 OE> CECM=|CE- EO|=OE- CE S 四边形 cfgh=CP=EFEG=EO2EG= (EO+E

32、C (EO EQ =COX (EO EQ,S四边形 cmno=CMX CO= (OE- CE3 X OC,S四边也cfgh ,m=1；、四边附加箝.CO=1 CE, . EF=EO=QF, C (0, 1), sin/ EFC=2丁. / EFC=30, / CEF=60,X (180 -60 ) =60°,V EF=QF.EFQ是等边三角形, .eqJ过Q作QD±OE于D, ED得 EQ=.二.由勾股定理得：DQ=, OD-日即Q的坐标是（,.抛物线过C、Q,解得：b=- , c=1,抛物线的解析式是：y=x2 -x+1,AO=EO=把x= 弋入抛物线得:.抛物线与AB的

33、交点坐标是14 .该试题已被管理员删除15 .在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(0, 1)、(4, 2)、(2, 6).如 果P (x, v)是ABC围成的区域(含边界)上的点，那么当 w=xy取得最大值 时，点P的坐标是 (二，5) .【分析】分别求得线段AR线段AC、线段BC的解析式，分析每一条线段上横、 纵坐标的乘积的最大值，再进一步比较.【解答】解：线段AB的解析式是y=jx+1 (0<x<4),止匕时 w=x (J-x+1) =+x,则x=4时，w最大=8;线段AC的解析式是y=|-x+1 (0<x<2),止匕时 w=x (x+1) =+x, 2此

34、时x=2时，w最大=12;线段BC的解析式是y=- 2x+10 (2<x<4),止匕时 w=x ( 2x+10) =- 2x2+10x,此时x=|-时，w最大=.综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是(得，5).16 .如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列结论中: ac> 0；方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1= - 1, x2=5; a+b+c< 0;当x<2时，y随着x的增大而增大.正确的结论有(请写出所有正确结论的序号)【分析】根据抛物线的开口向下判断出 a< 0,再根据与y轴的交点判断出c>0, 然后判断出错误；根据与

35、x轴的交点坐标判断出正确；取x=1的函数值判断 出错误；先求出抛物线对称轴为直线 x=2,然后根据二次函数的增减性判断出 正确.【解答】解：二.抛物线开口向下，a< 0,.与y轴的正半轴相交，c> 0,ac<0,故错误；二.抛物线与x轴的交点坐标为(-1, 0), (5, 0),方程ax2+bx+c=0的根是xi= 1, x2=5,故正确；由图可知，当x=1时，函数值y>0,即a+b+c>0,故错误；抛物线对称轴为直线x=2；当x<2时，y随着x的增大而增大，故正确；综上所述，正确的结论是.故答案为：.17.已知当xi=a, x2=b, x3=c时，二次函数

36、y=|"x2+mx对应的函数值分别为yi, y2, y3,若正整数a, b, c恰好是一个三角形的三边长，且当 a<b<c时，都有 y1<y2<y3,则实数 m的取值范围是 一m> - .【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出 a最小为2,再根据二次 函数的增减性和对称性判断出对称轴在 2、3之间偏向2,即小于，然后列出不 等式求解即可.【解答】方法一：解：正整数a, b, c恰好是一个三角形的三边长，且 a<b<c, a最小是2,- yi <y2<ys,解得m> -.方法二:解：当 a<b<c时,都有

37、 yi<y2<y3,即,<卒2.y2<y3y bc 2+mc皿>。（己+匕） 皿J（b+e）. a, b, c恰好是一个三角形的三边长，a<b<c,a+b< b+c,(a+b),1 . a, b, c为正整数,2 .a, b, c的最小值分别为2、3、4,m> -m> -g (a+b)5卦(2+3)=-故答案为:18.如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y,x2-3x+3上运动.若OP半径为1, 点P的坐标为（m, n）,当。P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是 一<m<2 或 4Vm<3+ .【分析】由圆心P在抛

38、物线yWx2 - 3x+3上运动，点P的坐标为（m, n）,可得 n=Lm2-3m+3,又由。P半径为1, OP与x轴相交，可得向m2 - 3m+3| < 1, 继而可求得答案.【解答】解：二,圆心P在抛物线y=x2- 3x+3上运动，点P的坐标为（m, n）, n'm2- 3m+3,2.OP半径为1, OP与x轴相交， |n| <1, . |；m2 - 3m+3| < 1,. . - 1 <=m2 - 3m+3< 1,解m2-3m+3< 1,得：3- < m<3+,解m23m+3 - 1,得：m<2 或 m>4,二点P的横坐

39、标 m的取值范围是：3-< m<2或4Vm<3+.故答案为：3-<m<2或4Vm<3+.19.如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛 物线y=-x2+6x上.设OA=m （0< m<3）,矩形ABCD的周长为1,则l与m的函 数解析式为 1= 2m2+8m+12 .【分析】求l与m的函数解析式就是把 m当作已知量，求1,先求AD,它的长 就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求 C点横坐标，C点横坐标 与D点横坐标的差就是线段CD的长，用1=2 (AD+CD,建立函数关系式.【解答】解：把x=m代入抛物线y

40、=- x2+6x中，得AD=- m2+6m把y=- m2+6m代入抛物线y= - x2+6x中，得-m2+6m= - x2+6x解得 xi=m, x2=6 - m.C 的横坐标是 6- m ,故 AB=6- m - m=6- 2m.矩形的周长是 1=2(-m2+6m) +2 (6-2m)即 1= - 2m2+8m+12.20.若二次函数y=aW+bx+c的顶点在第一象限，且经过点(0, 1), (T, 0), 则y=a+b+c的取值范围是 0<y<2 .【分析】由二次函数的解析式可知，当 x=1时，所对应的函数值y=s=a+b+c把 点(0, 1), (T, 0)代入y=ax2+b

41、x+c得出c=1, a- b+c=0,然后根据顶点在易得：c=1, a- b+c=0, a<0, b>0,由a=b- 1 <0得到b< 1,结合上面b>0,所以0< b< 1，由b=a+1>0得至I a> - 1,结合上面a<0,所以1<a< 0,由得：-1<a+b< 1,且 c=1,得到：0<a+b+c<2,则y=a+b+c的取值范围是0<y<2.故答案为：0<y< 2三.解答题(共4小题)21.已知抛物线y=aX2-2x+c与x轴交于A ( - 1, 0)、B两点，与y轴

42、交于点C, 对称轴为x=1,顶点为E,直线y=-_Lx+1交y轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求证： BCaABOD;(3)点P是抛物线上的一个动点，当点 P运动到什么位置时， BDP的面积等 于ABOE的面积【分析】(1)在抛物线y=a父-2x+c中，已知对称轴x=- =1,可求出a的值；再 将点A的坐标代入抛物线的解析式中，可确定 c的值，由此得解.(2)首先由抛物线的解析式，确定点 B、C、E的坐标，由直线BD的解析式能 得到点D的坐标；在求出 BCE BOD的三边长后，由SSSfB判定这两个三角 形相似.(3) ABOE的面积易得，而在(2)中求出了 BD的长，由 BDR zB

43、OE的面 积相等先求出点P到直线BD的距离，如何由这个距离求出点 P的坐标这里需要 进行适当的转化；首先在y轴上取一点(可设为点 M),使得点M到直线BD的 距离等于点P到直线BD的距离，通过解直角三角形先求出 DM的长，由此确定 点M的坐标，然后过M作平行于直线BD的直线，再联立抛物线的解析式即可 确定点P的坐标.【解答】解：(1)抛物线y=ax2-2x+c中，对称轴x=- =-=1,.a=1；将点 A ( - 1, 0)代入 y=a$-2x+c中，得：1+2+c=0, c=-3;抛物线的解析式：y=x2- 2x- 3.(2) ;抛物线的解析式：丫=/ 2x3= (x1) 2- 4= (x+

44、1) (x- 3), ：点 C (0, - 3)、B (3, 0)、E (1, - 4);易知点D (0, 1),则有：OD=1、0B=3 BD=CE=i BC=3 BE=Z ，(3) SbofU-X BOX |y e|=-X 3X 4=6;Sxbdf=-x BDX h=SLB06,即 h=.2在y轴上取点M ,过点M # MNiXBDT Ni,使得MNi=h=;在 RtzXMNiD 中，sinZMDNi=,且 MNi=;则：点 M （0, 3）或（0, 5）.过点M作直线I/ MN2,如右图，则直线I: y=线的解析式肩：产或卷"5x2-2x'3 1尸 J-2x-3 f 5

45、 f3解得：1人二号'】与等、当点P的坐标为（0, 3）、虑，一）、（叫小3 J6时，zBDP的面积等于 BOE的面积.M D =7=4;sinNMDMl= -x- 3y=-x+5,联立抛物f 173136-_85+Vg中正85T313、z5/313 85+V313 .，18'6,18.f AM和 B (4,22.如图，直线y=x+2与抛物线y=a*+bx+6 (a*0)相交于A m),点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC，x轴于点D,交抛物线 于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由

46、;(3)求APAC为直角三角形时点P的坐标.【分析】(1)已知B (4, m)在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待 定系数的值.(2)要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差.可设出P点横坐标， 根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值.(3)当APAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类 讨论，分别求解.【解答】解：(1);B (4, m)在直线y=x+2上，m=4+2=6, B (4, 6),A (

47、y, B (4, 6)在抛物线 y=a*+bx+6上，l6=163+4b+6抛物线的解析式为y=2x2 - 8x+6.(2)设动点P的坐标为(n, n+2),则C点的坐标为(n, 2n2-8n+6), .PC=(n+2) - (2n2-8n+6),=-2n2+9n - 4,=-2 (n-£) 2+,PG 0,.当n=|时，线段PC最大且为.(3):PAC为直角三角形, i)若点P为直角顶点,则/ APC=90.由题意易知，PC/ y轴，/APC=45,因此这种情形不存在；ii)若点A为直角顶点，则/ PAC=90.如答图3-1,过点A (苒|-)作ANx轴于点N,则ON卷，AN=-.

48、过点A作AM，直线AB,交x轴于点M,则由题意易知， AMN为等腰直角三 角形，MN=AN=, . .OM=ON+MN,走=3,2 52 25M (3, 0).设直线AM的解析式为：y=kx+b,则：声!n，解得氏t，t3k+b=01 °二 3直线AM的解析式为：y=-x+3又抛物线的解析式为：y=2x2 - 8x+6联立式，解得：x=3或x（与点A重合，舍去）2 .C (3, 0),即点C、M点重合.当 x=3 时，y=x+2=5,Pi (3, 5);答图31誓图32iii）若点C为直角顶点,则/ ACP=90. y=2x2 - 8x+6=2 （x-2） 2-2, 抛物线的对称轴为

49、直线x=2.如答图3-2,作点A （丁，得）关于对称轴x=2的对称点C,则点C在抛物线上，且C（-, 1）.当 x时，y=x+2= P2丁点Pi （3, 5）、P2 （,）均在线段AB上，综上所述， PAC直角三角形时，点P的坐标为（3, 5）或（3,）.23.已知：如图，抛物线 y=aX2+bx+2与x轴的交点是A (3, 0)、B (6, 0),与 y轴的交点是C(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P (x, v) (0<x<6)是抛物线上的动点，过点 P作PQ/ y轴交直线BC 于点Q.当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少是否存在这样的点P,使4OAQ为直角

50、三角形若存在，求出点P的坐标；若不 存在，请说明理由.V40x【分析】(1)已知了 A, B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式.(2)QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在(1)中已 经求出，而一次函数可根据 B, C的坐标，用待定系数法求出.那么让一次函数 的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ, x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出 PQ的最大值以及相对应的x的取值.(3)分三种情况进行讨论：当/QOA=90时，Q与C重合，显然不合题意.因此这种情况不成立；当/OAQ=90时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；当/ OQA=90时，如果设 QP

51、与x轴的交点为 D,那么根据射影定理可得出 DQ2=ODDA由此可彳#出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数 式中即可得出P的坐标.【解答】解：(1)二.抛物线过A (3, 0), B (6, 0),所求抛物线的函数表达式是y=x2 -x+2.w-1(2)当 x=0 时,y=2,点C的坐标为(0, 2).设直线BC的函数表达式是y=kx+h.则有 J ,(h=2解得：仁3.h=2直线BC的函数表达式是y=- lx+2. 3- 0<x<6,点P、Q的横坐标相同,PQ=yo - yp= ( - -yx+2) - (x2 - x+2)=4 (x-3) 2+1 当x=3时，线段

52、PQ的长度取得最大值.最大值是解：当/ OAQ =90时，点P与点A重合，P (3, 0)当/Q' OA=9酎，点P与点C重合，x=0 (不合题意)当 / OQ A=9CM,设PQ与x轴交于点D./OQ 卅/ AOQ =90； /Q' AD/ AQ D=9Q ./OQ D=Q' AD又. /ODQ =/ Q DA=90 .ODQszXQ' DA即 DQ2=odda( - x+2) 2=x (3-x), J10x2 - 39x+36=0,y2= x （） 2+2=；.P （旦，二）或 p（,）.2 4所求的点P的坐标是P (3, 0)或P 邑24.如图，直角梯形

53、ABCO的两边 OA, OC在坐标轴的正半轴上，BC/ x轴， OA=OC=4以直线x=1为对称轴的抛物线过 A, B, C三点.(1)求该抛物线的函数解析式；(2)已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在年$形ABCO的一边上 取点P.当m=0时，如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH，直线l 于点H,连结OP,试求AOPH的面积；当m=-3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E, F.是否存在 这样的点P,使以P, E, F为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求出点 P的坐 标；若不存在，请说明理由.图1图2备用图【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)如答图1,作辅助线，利用关系式S OPH=S OM