第二次数学危机

1、第二次数学危机报告人：沈岑目 录早期的微积分思想第二次数学危机微积分的产生危机的化解及其影响一、早期的微积分思想中国早期的微积分思想古希腊早期的微积分思想芝诺悖论伊利亚学派伊利亚学派芝诺芝诺 (约公元前约公元前490-前前430年年) 芝诺悖论：二分法说 运动不存在位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处，而要通过这一半处就要抵达一半的一半处，.即不可能在有限的时间内通过无限多个点。要通过有限长度就必须通过无穷多的点，这就意味着必须到达没有终点的某种东西的终点 芝诺悖论芝诺悖论 芝诺悖论芝诺悖论:阿基里斯追龟说阿基里斯追龟说芝诺悖论芝诺悖论 运动是不存在的ts ,时刻t 首先假设在操场上，在一

2、瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。初始状态: 观众席A 队列B向右移动 队列C向左移动移动后： A B CB、C两个列 队 开 始移 动 ， 如下 图 所 示相 对 于 观众席A，B和C分别向右 和 左 各移 动 了 一个 距 离 单位。 芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。 芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的

3、矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。 希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。早期的微积分思想 微分: 速度、切线、极值 积分: 距离、面积、体积早在2500多年前，人类就已有了微积分的思想古希腊早期的微积分思想 古希腊的数学的特质：具有了演绎推理过程演绎推理过程和高度的抽象性高度的抽象性。 毕达哥拉斯学派“不可公度”问题 德谟克利特物质世界是由“小到无法被感觉印象所感知”的原子构成，并且将“原子论”引入几何学。 柏拉图批判了这种将数学依赖于感性

4、经验的做法，并隐约暗示了无穷小量和连续性的抽象化路线 欧多克斯提出了“穷竭法”的过程：在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使得剩下的量变的任意小（阿基米德引理） 阿基米德（公元前阿基米德（公元前287-287-前前212212），数学之神，通过一），数学之神，通过一条迂回之路，独辟蹊径，创立新法，是早期微积分思想的条迂回之路，独辟蹊径，创立新法，是早期微积分思想的发现者，微积分是奠基于他的工作之上才最终产生的。发现者，微积分是奠基于他的工作之上才最终产生的。 阿基米德在公元前阿基米德在公元前200200多多年就已经将积分运算广泛应年就已经将积分运算广泛应用于处理图形的面积、物

5、体用于处理图形的面积、物体体积等问题中，如阿基米德体积等问题中，如阿基米德在求球体和球缺的表面在求球体和球缺的表面（球体和圆柱体）、旋（球体和圆柱体）、旋转双曲弓形体体积（锥形转双曲弓形体体积（锥形体和椭球体）、阿基米德体和椭球体）、阿基米德螺线面积（论螺线）等螺线面积（论螺线）等问题中都进行了微积分运算。问题中都进行了微积分运算。我们可以认为阿基米德已经我们可以认为阿基米德已经掌握了我们后世称之为积分掌握了我们后世称之为积分学的精髓。学的精髓。 刘徽（约公元刘徽（约公元225225年年295295年），年），一项杰出的创见是对微积分思想的认一项杰出的创见是对微积分思想的认识与应用。刘徽的微积

6、分思想，是中识与应用。刘徽的微积分思想，是中国古代数学园地里一株璀璨的奇葩。国古代数学园地里一株璀璨的奇葩。其极限思想之深刻，是前无古人的，其极限思想之深刻，是前无古人的，并在极长的时间内也后无来者。并在极长的时间内也后无来者。 微积分思想在古代中国早有萌芽，公元前微积分思想在古代中国早有萌芽，公元前7 7世纪世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想老庄哲学中就有无限可分性和极限思想 ；公元前；公元前4 4世纪墨经中就有了有穷、无穷、无限小（最小世纪墨经中就有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）等思想。无内）、无穷大（最大无外）等思想。中国早期微积分思想刘徽计算到刘徽计算到192

7、边形，边形，求得求得3.14极限思想割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之失弥少，割之又割，以至于又割，以至于不可割，则与不可割，则与圆合体而无所圆合体而无所失矣失矣. .割圆术割圆术 从刘徽割圆术看出，他从刘徽割圆术看出，他明确地多次使用了极限思想明确地多次使用了极限思想，并采取了对面积进行无穷，并采取了对面积进行无穷小分割，然后用求其极限状小分割，然后用求其极限状态的和的方式解决圆面积问态的和的方式解决圆面积问题题. 这说明刘徽头脑中已经有了朴素的积分思这说明刘徽头脑中已经有了朴素的积分思想的萌芽想的萌芽.他是中算史上第一个建立可靠的理论他是中算史上第一个建立可靠的理论来推算圆周率的数学家来

8、推算圆周率的数学家.割圆术割圆术 第一类是研究运动的时候直第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度接出现的，也就是求即时速度的问题；的问题； 第二类问题是求曲线的切线第二类问题是求曲线的切线的问题；的问题；第三类问题是求函数的最大值第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；和最小值问题； 第四类问题是求曲线长、曲第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上当大的物体作用于另一物体上的引力的引力二、微积分的产生 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就到了十七世纪，有许

9、多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。成了促使微积分产生的因素。四种主要类型的问题：四种主要类型的问题：早期工作 在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了。十七世纪的许多著名的数学大量知识已经积累起来了。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大

10、利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。立做出了贡献。 例如费马、巴罗、笛卡尔都对求曲例如费马、巴罗、笛卡尔都对求曲线的切线以及曲线围成的面积问题有过线的切线以及曲线围成的面积问题有过深入的研究，并且得到了一些结果，但深入的研究，并且得到了一些结果，但是他们都没有意识到它的重要性。是他们都没有意识到它的重要性。 牛顿牛顿（16421727）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。 牛顿是：从物理学出发，运牛顿是：从物理学出发，运用集合方法，结合运动学来用集合方法，结合运动学来研究微积分。研究微积分。 莱布尼

11、茨莱布尼茨（16461716）德国最重要的数学家、物理学家、历史学家和哲学家。 莱布尼茨却是：从几何问题莱布尼茨却是：从几何问题出发，运用分析学方法研究出发，运用分析学方法研究微积分。微积分。微分和积微分和积分分(即求切线与求面积)是互逆的是互逆的两两种运算种运算。这是微积分建立的关键所在。 牛顿 牛顿在1671年写了流数术和无穷级数，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）

12、；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。莱布尼茨 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。 他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 达朗贝尔就说，现在是达朗贝尔就说

13、，现在是“把房子盖得更高些，而不是把把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是烦。更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。琐。 但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础，这在初创时期是不可避免的。他们需要做的事情太辑基础，这在初创时期是不可避免的。他们需要做的事情太多了，他们急于去攫取新的成果。基本问题只好先放一放。多了，他们急于去攫取新的成果。基本问题只好先放一放。正如达朗贝尔所说的：正如达朗贝尔所说的：“向前进，你就会产生信心！向前进，你就会产生信心！”数学数学史的发展一再证明自由创

14、造总是领先于形式化和逻辑基础。史的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。 于是在微积分的发展过程中，出现了于是在微积分的发展过程中，出现了这样的局面：一方面是微积分创立之后这样的局面：一方面是微积分创立之后立即在科学技术上获得应用，从而迅速立即在科学技术上获得应用，从而迅速地发展；另一方面是微积分学的理论在地发展；另一方面是微积分学的理论在当时是不严密的，出现了越来越多的悖当时是不严密的，出现了越来越多的悖论和谬论。数学的发展又遇到了深刻的论和谬论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。令人不安的危机。第二次数学危机 牛顿对它曾作过三种不同解释：牛顿对它曾作过三种不同解释： 166

15、9 1669年说它是一种常量；年说它是一种常量； 1671 1671年又说它是一个趋于零的变量；年又说它是一个趋于零的变量； 1676 1676年它被年它被“两个正在消逝的量的最终比两个正在消逝的量的最终比”所代替。所代替。 但是，他始终无法解决上述矛盾。但是，他始终无法解决上述矛盾。无穷小量究竟是不是零无穷小量究竟是不是零? ?两种答案都会导致矛盾。两种答案都会导致矛盾。 莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。渡到无穷小量的桥梁。英国主

16、观唯心主义哲学家、主教。英国主观唯心主义哲学家、主教。16851685年年3 3月月1212日日出生于爱尔兰基尔肯尼郡，出生于爱尔兰基尔肯尼郡，17531753年年1 1月月1414日卒于牛津。日卒于牛津。少年早熟，少年早熟，1515岁考进都柏林三一学院，岁考进都柏林三一学院，17041704年获年获学士学位，学士学位，17071707年获硕士学位年获硕士学位, ,留校担任讲师、初级留校担任讲师、初级研究员。研究员。17091709年刊行年刊行视觉新论视觉新论,1710,1710年发表年发表人类知识人类知识原理原理,1713,1713年出版年出版海拉斯和斐洛诺斯的对话三海拉斯和斐洛诺斯的对话三

17、篇篇，均成为当时英国各大学热烈讨论的问题。，均成为当时英国各大学热烈讨论的问题。17341734年被任命为爱尔兰基尔肯尼地区主教年被任命为爱尔兰基尔肯尼地区主教, ,任职任职1818年年, ,仍致力于哲学的思辨。仍致力于哲学的思辨。17521752年移居牛津附近的新年移居牛津附近的新学院。学院。贝克莱 1734 1734年，大主教乔治年，大主教乔治贝克莱贝克莱(George Berkeley) (George Berkeley) “渺小的哲学家渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书分之名出版了一本标题很长的书分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审析学家；或一篇致一位不信神数学家的论

18、文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击理。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击贝克莱悖论 贝克莱认为这是贝克莱认为这是“依靠双重错误得到了不科学却正依靠双重错误得到了不科学却正确的结果确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱攻击流数是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱攻击流数（导数）（导数）“是消失了的量的鬼魂是消失

19、了的量的鬼魂能消化得了二阶、能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”例如：对于 言，根据牛顿的流数计算法，有： （1-1） （1-2） （1-3） （1-4） （1-5）2()yyxx 2222()xyxx xx 22()yx xx 2yxxx2yxxxx在上面的推导过程中，从式（1-3）到式（1-4）要求 不等于零。从而式（1-4）到式（1-5），又要求 等于零。2yx 贝克莱对微积分基础的批评是一针见血，击中要害的，他揭示了早期微积分的逻辑漏洞。然而在当时，微积分理论由于在实践与数学中取得了成功，已使大部分数学家对它的可

20、靠性表示信赖，相信建立在无穷小之上的微积分理论是正确的。因此贝克莱所阐述的问题被认为是悖论，即著名的贝克莱悖论贝克莱悖论。由于这一悖论，十分有效地揭示出微积分基础中包含着逻辑矛盾，因而在当时的数学界引起了一定的混乱，一场新的风波由此掀起，于是导致了数学史中的第二次数学危机。第二次数学危机。危机的实质 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的最终的比比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比，它不是“最终的量的比最终的量的比”，而是“比所趋近的极限比所趋近的极限”。 他这里虽

21、然提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思。 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。 正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。 所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上实质上是缺少严密的极限概念和极是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础限理论作为微积分学的基础。四、危机的化解第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是意见的是达朗贝尔达朗贝尔。他在。他在17541754年指出，必须用可靠年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他的理论去

22、代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。本人未能提供这样的理论。 最早使微积分严格化的是最早使微积分严格化的是拉格朗日拉格朗日。为了避免使用。为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾无穷小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒公式的基础上。但是，试图把整个微积分建立在泰勒公式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以的以幂级数为工具幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分

23、的奠的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。基问题。波尔查诺阿贝尔柯西狄利克里危机的化解 捷克的哲学家波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。 他曾著有无穷的悖论，明确地提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解。波尔查诺柯 西 分析学的奠基人柯西在分析学的奠基人柯西在1821182318211823年间出版的分析教年间出版的分析教程和无穷小计算讲义是数学史上划时代的著作。其中程和无穷小计算讲义是数学史上划时代的著作。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的就是所谓极限概念的“算术化算术化”。 另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、