算法设计与分析期末备考知识点总结

1、通俗地讲，算法是解决问题的方法，严格地说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列。算法还必须满足一下五个重要特性：输入、输出、有穷性、确定性、可行性。程序(Program)是对一个算法使用某种程序设计语言的具体实现，原则上，算法可以用任何一种程序设计语言来实现。什么是算法的计算复杂性？算法分析指的是对算法所需要的两种计算机资源一一时间和空间(时间复杂性和空间复杂性进行估算，所需要的资源越多，该算法的复杂性就越高。表示计算复杂性的O你掌握了？若存在两个正的常数c和n0,对于任意n>n0,者B有T(n)<cxf(n),则称T(n)=O(f(n)(或称算法在O(f(n)中)

2、。我们主要介绍了哪几种算法设计方法？分治法：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的子问题，以便各个击破，分而治之。减治法：减治法在将原问题分解为若干个子问题后，利用了规模为n的原问题的解与较小规模(通常是n/2)的子问题的解之间的关系，这种关系通常表现为：(1)原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中；(2)原问题的解与其中一个较小规模的解之间存在某种对应关系。由于原问题的解与较小规模的子问题的解之间存在这种关系，所以，只需求解其中一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。动态规划法、贪心算法、回溯算法、概率RAM程序分治法-合并排序嘉一融石二丽访W'vxiidMcrtc

3、Suri(iinrJtiniiJ+加ntc)F(：if(s=t)rJsMs：；dsc(；m=(叶0/2:；|Mergesort(r.r(T£,m);“归并排序前半个子序列；#归并推序后半个了序列Merge(tpf,s,m,t);少含井两个已排序W子序列步算法4.4合并有序子序列voidMeigcQntf|Linirl|.mts,t)i=s;j=m+l;k=s：whilej<-t)IIif(rij<-rjj)rl(k+1："取币和币中较小者放入rImelserlk-HF=rU+：:1if(i<=ni>while由第一个于卡列没处理完，则

4、进行收索处理!rlk+寸=中+;elsewhile(j<=t)了若第二个序列没处理完，则逆行收尾处理rlk+j+;设算法4.3对n个元素排序的时间复杂性为T(n),则该二路归并排序算法存在如下递推式:F(n=1|2r(n；2)+-1rt>1二路归并排序的时间代价是O(nlog2n)。所需空间只要O(m+n+min(m,n)的空间就够了(假设两个合并串白长度分别为m和n)。分治法-快速排序1'1,BiII1IBIIB!"Ml"IMIB,IBIMl"IM!"1BMIB都算法4.6一快速排序；产一PjoidQuicksort(intr,in

5、tfirst,intend)-/；if(fint<cnd)；pjv*it=Partition(r,first,end);问题分解，pivnt是轴值在序列中的位置Quicksort(r,first,pivot-1);/递归地对左侧子序列进行快速排序；Quicksort(npivot+l,end);"递归地对右侧子序列进行快速排序才算法4.5次划分/intPartitiar(intr|Tintflrqtiniend：1ii=f1niU=eml;/初始化while但I4J'vtiilt(l<j&&r|i|*-r|j|)|一-s，右侧扫摇it(i<j

6、)r|iH-*rj|：/，将较小记录交换到前面if唱JiikU<j&位r|i|=r(j|)计十；“左侧后捕If(Kj)!lib*rli|;将较大记录交换到后面IIiraumi:Ni为辅值记录的展峙位置算法复杂性tog在最好情况下在具有n个记录的序列中，一次划分需要对整个待划分序列扫描一遍，则所需时间为O(n)。时间复杂度为O(nlog2n)。在最坏情况下必须经过n-1次递归调用才能把所有记录定位，而且第i趟划分需要经过n-i次关键码的比较才能找到第i个记录的基准位置，因此，总的比较次数为：J)15ni)=鼾("-1)=(*时-);-t2时间复杂度为O(n2)分治法-最大

7、子段ir笄法4,7JR大子蛇和冏题intMmSumfinta|intLeft,intrilil)；(ium=ihif(lert=ri£ht)(，血果胖列长度为I直接求解if(aIkfipt)MiB=a(kn;iel»tumr=fl!；I；icentvr=duft+rtEbty2：仃划分iiiiK*,kR-*!<nter):"对直慵柒，通白求解rht»uiii-MriSuCLiilertl,riffhl);时盛情&母，通史求解。刃：|的产业40下聘应情况.先来IMfur(l"ceuler;i-Ilefts+=»|ik1-l

8、efts;Jil=Oiriht3=04再求解k上lor|J=wnter+1;<=ri®h(;-1+)t山加肝=叩|;iT(rights>j»2|C=r悟ht与；%urei=m+谓:计茸情St的餐大子段和if*iini=kfUun>“合并.在1ium、Mfkum和riihtf»rn中取较大考kf(lunKrigBtiamihi;jreturnsvm;T'(h)递推式：算法时间复杂度：O(nlog2n)分治法-棋盘覆盖问题算法4上机盘覆蛊%由dCbMBMrdfinlti;intivldv;intde,mt*#仃和住岫耕中左上角的下标后和前昆特

9、舞方格的下标aMMHRR9T1.，：厂fr知卜Hgim=Itmfturn;"做盘只有一个方格且是特殊方格叶中门I.我骨牌号1 =sizt.ii"划分棋盘。量近左上角子横疝UtrtrfrtsA*dctc+«兴惟辟寿格在左上角子横中C'hi'x+HHrdttr,gdid%v):建启处理子软盘ei»(。用t号L星骨牌量翼右下角,再递归处理于棋盘boardl|lr+s-I|tc+a-1j=t;匚注Ehurdd(c,lHs_L忙t_1.()：J力屐盖右上海子棋盘H(drttl三th>=怔+动特殊方格在方上用修盘中£网海，将加州”+工

10、曲,d£M；"递白处理于极H* 尿j。用号LtMM*襄左下胸，再遑归处理了棋盘bairdlii-+t-J|tc-b5t;Cht'N%lLi>*rdttf；tc+&tr+vLtd.小* st就左下角于棋盘iHdrAj*是4tkMk+”特殊方格在左下用予横拉中ChrfK力酎d(tr*vtLdr4dc+c)：.i£扫处理丁棋改* 尻|疗用号L型骨牌盖右上角，再地归处直子横盘bbPirdltf+ij|t«*h-l|-r；Cht打Hu*rdCLktu.tr+a.lc+1Li);。瘠虚右下弟子棋此if(Jrair+埼&&ikx糖

11、+hX特殊方格在右下用于搞胡中CbeHHusudtlLArefdrdcj)；遣白处理子帙母* 崛fr用r号1率骨牌国前左上角.再递归处理于横盘hcnritflr+t|lc+s|-1;ChfN-lMiirdCtr*忙*hId1匕+仁*1;耶推工分治法-循环赛日安排问题步'算法4.9-环实日程袤/v横d6111心n1，1式布1A.；nt曲:“工,iAfL、逸手交加比室，一席簟蛆T灵示日程妾排,数用下标41产的1131：0li=优2个选手比赛日程可直接求得“求解E个选手比赛日程I得到左上角元素T；.|：|IW;»|2|R>=1;forXK(<k：(+)/您代处理.依次处

12、理V”个选手比赛日程Tcmp-ntn-n*2;H填左下角元素；for(i-Uinp+l;&n;i+)for(JI：j<-iump：j+)fl|i|j|=A(Hemp|jHemp；左下角元素和左上珀元素的对应关系力将左下角元素抄到右上角fnr(i=l;i<=temp：i+)for(j=1tmp+1;j<=n;j+)叫F+CempHO+twmp：)%n|;H将左上角元素拉到右下角ftirIxinp"；i<=n;L+)for(j-rtemp+1;J<-n;J+)a|i|j|=|i-t<!mp|j-tcmp|：LI2121T5)=3fXl?=3&#

13、163;4,=O)基本语句的执行次数是：GjAe算法的其时间复杂性为Q(4k)o顺序统计问题：算法1找出n个元素中的第k个最小元素输入：从一个有线性序的集合中抽出的n个元素的序列S及一个整数k,1<k<n。输出：S中的第k个最小元素1procedureSELECT,(KtSi;1, H|S|<50thenbcLii2, 将印N的元素排成非通战吊；王return(帛中的第k外最小元素)enddsth*in4, 舟5的元素划力为区段等丁5的Ul5II切个T中列：5, 标各于序列舞序；6, 由苏孑并列的中信元於组或序列M；7, h*-SELECTl(T|M|Z2,M,泣拉n】将后中

14、的元南划分为小于m，等于m和大于m的三个子序网S3,生和冬9, :|同呼:return(SELECT但>);10, :IIS/十|&|ak:FHurnfm)：1L:dw:rvtumSELECT(k-|SJ-脂SJ)eiidcusevncl算法2procedureSELECT?Ik,S);1. if|S.10thenh-cf；ir)2. 将S中的元素排成非递减序：工rliiru|S中的笫k个最小元於)endelsebegin也从$中随机地选出一个元索3：工按白把*中的元京分成三个子靠兽尸闾meS,生旦|9浮匕$；sesjcase九二恪|：Eue(SELECT?(k.7. :|S11

15、1+|Sz|>k:return(a>乳：else:return(SELECT2gS|-|Sz|ttndcikvend算法2的期望时间是Q(n)。最坏情况Q(n2)减治插入排序(手工题)例1用插入法将以下M个元素排序，它的是'11.127.4X57九5.舞明7帕，?0B,».加，31第一灯11T27.43'574.SY60.700'708.IEM51*(127,5T4,究。.70S.20152-11,415.70Dr9,31)第二垢将酊的兀青排序.因却|例|加九忐1打£14.M0-70Bhfl$_5?47(m-J27«Mu；前a排

16、序.因为usji=z<，.用“比较”喙接排不.爵排序的为574.708.由，和5；的黑*/5丁*7。8VV1打洌109按分段逆声播入法，用前次比较<2074,工blk)先嘲加插入序列127<574<70之中；撼后将SwMS入序列心门7F#碘之中；也只芾两次比松(560-127±<64J-5743,粉朝鼻的摔序结果为lD<l7<5WH574-7IIKr.第三生：用逆序描入法牌、摘入舟中.檀需、和的元素对应关系，有2(HU7cSMI<574<708VVVVV9II5700同按分段逆序插入法，插入喷序板次是5,th7no.”，JL各战入

17、结果是；5<9<20<127<560<574<-iMiVVV114370031XXI上班I27<5MI<574<70SV7137A031?<11<21KI175Mh<S74<7<KI<70HV4331I<2(K43<127<W<K57J<71MK7ON31H9工11GM31<43<117<56(k574<7M<7<K累计总的比较次数是16次.堆的概念：n个元素的序列K1,K2；.Kn,当且仅当满足卢内K外或上1工弟丁飞亦./才琳为一2(j_

18、H'rJj+=2|_rt-r?J+2Ft+I动态规划求解TSP问题设顶点之间的代价存放在数组cnn中，动选规划法求廨TSP同黑的并法如下:!(.tor(i=l:i<n;i+)初始化第。列则网向川阴；2.for(j=1;j<2nl：j+)for(Hl;i<n;i+)”依次进行第i次迭代if(子集V|j|中不包含i)对Vj中的每个元素k,计算diU=nrin©珊申：3.对中的每一个元个元计算d|0|2Z-l=min(40川+dk12mL2);4.输出最短路短长度dQ2d1；注：用动态规划解决TSP问题，算法的时间复杂性为O(n22n)。和蛮力法相比，动态规划法求

19、解TSP问题，把原来的时间复杂性是O(n!)的排列问题，转化为组合问题，从而降低了算法的时间复杂性，但它仍需要指数时间。但遗憾的是这一动态规划算法需要O(n2n)的空间。当n较大时，空间难以满足。多段图的最短路径算法：1. For(i=1;i<=n;i+)COSTi=C®始化：数组costn初始化为最大值，数组pathn初始化为-1；2.for(i=n-2;i>=0;i-)1.1 对顶点i的每一个邻接点j,根据costi=mincij+costj(i<j<n且顶点j是顶点i的邻接点)计算costi;1.2 根据pathi=使cij+costj最小的j计算pat

20、hi;.输出最短路径长度cost0;.输出最短路径经过的顶点：i=0循环直到pathi=n-1输出pathi;i=pathi;最优二叉查找树算法：最优二叉查找树是以这n个记录构成的二叉查找树中具有最少平均比较次数的二叉查找树，即最小，其中pi是记录ri的查找概率，ci是在二叉查找树中查找ri的比较次数。设"十字皆的垂扰权率在偷在败翘“中，«如麻状*优二又*战村的林法如下：严算法6.5最优三丈查找树；dftnhlc(9pHrttALHSTimrt.rinuhlep|filiahliCJ|TiftfH|j|):Ilur(1=1：J-H-)仍$式6.17和式配18初始化RUIHl

21、-hCm/算法6上二*初三攵查找葩(西bforld=lid<n;d+)心按对角线逐条计算1fbr(i-1;H-n-dsi+)；IJ=Hd;ildn=-<:ridnkf：tuiki=O；for(k=i;k<?=j;k+)JIm+p|k:if(C|Ilk-l4C|k+lJU|<Min)(min-C|i|klpCk+1|j|;回溯法-解空间树的动态搜索过程注：搜索过程中，采用两种策略避免无效搜索:.用约束条件剪去得不到可行解的子树;.用目标函数剪去得不到最优解的子树。例一：对于n=3的0/1背包问题，三个物品的重量为20,15,10,价值为20,30,25,背包容量为25,从

22、图8.2所示的解空间树的根结点开始搜索，搜索过程如下（注：树枝左侧为1,右侧为0,1代表装包，0代表不装包，从上到下每一层代表一个物体）例二：对于n=4的TSP问题，解空间树如下：代价矩阵C如下:co367122886so2<376父.目标函数初始化为00；.从结点1选择第1棵子树到结点2,表示在图中从顶点1出发；.从结点2选择第1棵子树到达结点3,表示在图中从顶点1到顶点2,依代价矩阵可知路径长度为3;.从结点3选择第1棵子树到达结点4,表示在图中从顶点2到顶点3,依代价矩阵可知路径长度为3+2=5;.从结点4选择唯一的一棵子树到结点5,表示在图中从顶点3到顶点4,路径长度为5+2=7

23、,结点5是叶子结点，找到了一个可行解，路径为-2-3一4一1,路径长度为7+3=10,目标函数值10成为新的下界，也就是目前的最优解；.从结点5回溯到结点4,再回溯到结点3,选择2点3的第2棵子树到结点6,表示在图中从顶点2到顶点4,路径长度为3+8=11,超过目标函数值10,因止匕，对以结点6为根的子树实行剪枝；搜索后的结果图：我优方或继续搜索，得到的搜索也间如图8.6所示口回溯法-图着色问题的算法用m种颜色为一个具有n个顶点的无向图着色设数组colorn表示顶点的着色情况，回溯法求解m着色问题的算法如下:算法瑞2图着色问题voidGraphColor(intn,intc|)«tn

24、tm)所有数组下标从1开始(for(i=1;i<=n;iH)蒋薮组colorn初始化为0color|i|=0:k=l;while(k>=l)color|k|=color|k|4-l;while(color|k|<=m)ifOk(k)breakelsecolor|k|=color|k|+1;搜索下一个颜色if(colork|<=jn&&k=n)求解完毕，输出解for(i=l：i<=n：i+)cout«color|i|;return;elseif(color|k|<=m&&k<n)k=k+l;处理下一个顶点COlo

25、rk|=0；皿21;回溯boolOk(intkf，画断窗电k曲着色国各爱生加突for(i=l;i<k;i+)if(ck|i|=1&&color|i|=col(>r|k|)returnfalse;returntrue:算正面舍至行区;盘山宜基)一ProcedureGraphColorl(k)globalintegermji.color|n|;booleancn.n|;integerk;whilecolork|<=mdu产生对colurk的一切合理分配NKKTVALCIE(k)*给d>l“|k俵一个合理的颜色ifcolor|k|=0thenreturn;星束本次调用ifk=nthen找到一种着色法for(i-hi<=n;i+)cout«co