八年级数学期末难题压轴题

1、26.（本题满分10分）已知：在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2.（1）如图，当四边形EFGH为正方形时，求4GFC的面积；（5分）（2）如图，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求4GFC的面积（用含a的代数式表示）；（5BFC（第26题图2）26.解：（1）如图，过点G作GMBC于M.（1分）在正方形EFGH中，HEF90,EHEF.（1AEHBEF90QAEHAHE90,AHEBEF.又.AB90,.NAH应力BEF（1分）同理可证：NMFGNBEF.（1分）GM=BF=AE=2.FC=BC-BF

2、=10.（1分）（2）如图，过点G作GMBC于M.连接HF.（1分）QAD/BC,AHFMFH.QEH/FG,EHFGFH.AHEMFG.（1分）又QAGMF90,EHGF,力AHENMFG.（1分）.GM=AE=2.（1分）c1八1Svgfc2FCGM-（12a）12a.分）如图，直线y邪又4J3与x轴相交于点A,与直线yJ3x相交于点p.(2)求点P的坐标.请判断OPA的形状并说明理由.动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EFx轴于F,EBy轴于B.设运动t秒时，矩形3。5与4OPA重叠部分的面积为S.求S与t之间的函数

3、关系式.解：（i）、3x4.33xx2解得：_y2、3，点P的坐标为（2,273)(2)当y0时，x4，点A的坐标为（4,0）OP22234PA.(24)2(2,30)24OAOPPAVPOA是等边三角形(3)当0Vtw4时,c1八S尹FgEF3,218当4Vtv8时,1S牛24,3t8325、（本题8分）已知直角坐标平面上点A2,0,P是函数yxx0图像上一点，PQAP交y轴正半轴于点Q（如图）.（1）试证明：AP=PQ;（2）设点P的横坐标为a,点Q的纵坐标为b,那么b关于a的函数关系式是;2（3）当Saoq-SAPQ时，求点P的坐标.3证：（1）过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T,

4、丁点P在函数yxx0的图像上，PH=PT,PH,PT,（1分）又APXPQ,./APH=/QPT,又/PHA=/PTQ,PHAPTQ,（1分）AP=PQ.（1分）（2）b2a2.（2分）1_（3）由（1）、（2）知，Saoq-OAOQ2a2,122Sapq-AP2a22a2,（1分）22c-2a2-a22a2,3解得a5-5-,（1分）2555.5一5.555-八、所以点P的坐标是,与,.-（1分）222226.（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知点E是正方形ABCD外的一点，EA=ED,线段BE与对角线AC相交于点F,（1）如图1,当BF=EF时，线段AF与DE之间有怎

5、样的数量关系？并证明；（2）如图2,当4EAD为等边三角形时，写出线段AF、BF、EF之间的一个数量关系,并证明.（第26题）一1一一八、26.（1）解：AF=-DE，（1分）2证明如下：联结BD交AC于点O,（1分）.四边形ABCD是正方形，BO=DO,1一-BF=EF,.OF=-DE,OF/DE.（1分）2BDXAC,./DEO=/AOB=90o,（1分）,_1,./ODA=/OAD=_9045,EA=ED,2./EAD=ZEDA=45o,/OAD=ZOED=ZAOD=90o,，四边形AODE是正方形.（1分）1 1一1一.OA=DE,.-.OF=-AO,.AF=-AO一DE.（1分）2

6、22（2）解：AF+BF=EF、AF2+EF2=2BF2等（只要其中一个，BF=（1J3）AF、EF=（2V3）AF、BF=（J31）EF也认为正确）.（1分）AF+BF=EF的证明方法一：联结BD交AC于O,在FE上截取FG=BF,联结DG.与第（1）同理可证/GDA=45o,（1分） .四边形ABCD是正方形，ADE是等边三角形，/GDE=60o-45o=15o. .AB=AD=AE,ZBAE=ZBAC+ZDAE=90o+60o=150o,/180150,/,一 ./ABE=/AEB=15，/ABF=/GDE.2又./DEG=/DEA-/AEB=60o-15o=45o=/BAC,DE=AD

7、=AB,ABFAEDG,（1分）.EG=AF,AF+BF=EG+FG=EF.（1分）AF+BF=EF的证明方法二（简略）：在FE上截取FG=AF,联结AG.证得AFG为等边三角形.（1分）证得ABF0AEG.（1分）证彳导AF+BF=EF.（1分）AF2+EF2=2BF2的证明方法（简略）：作BGLBF,且使BG=BF,联结CG、FG,证得BGCABFA.（1分）证彳导FC=FE,FG=V2BE,（1分）利用RtAFCG中，得出AF2+EF2=2BF2.（1分）27.（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB/

8、OA,OC=AB=4,BC=6,ZCOA=45。，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O-A-B-C,到达点C时停止.作直线CP.(1)求梯形OABC的面积；(2)当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式;(3)当？OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标(不要求过程，只需写出结果)小y427.如图已知一次函数y=x+7与正比例函数y=x的图象父于点A,且与x轴父于点B.3(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作ACy轴于点C,过点B作直线l/y轴.动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向

9、左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒（t0）.当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是QA=QP的等腰三角形？若存在，求t的值;若不存在，请说明理由.4解：（1）二,一次函数y=x+7与正比例函数yx的图象交于点A,且与x轴交于点B.3y=x+7,0=x+7,x=7,，B点坐标为：（7,0）,4y=x+7=x,解得x=3,.y=4,.A点坐标为：(3,4);1分3过点A作AM，x轴于点M:当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8,1-S

10、梯形acobSzacp-Sapor-Saarb=8,1111(2)当0VtCO-2ACCP-2POXRO-AMXBR=8,(AC+BO)XCO-ACXCP-POXRO-AMXBR=16,(3+7)X-3X(4t)tx(7t)4t=16,.t28t+12=0.1分解得t1=2,t2=6(舍去).1分1.当44W7时，Saapr=-APOC=2(7t)=8,t=3(舍去);1分当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8;存在.当0vtW4时，直线l与AB相交于Q,二一次函数y=x+7与x轴交于B(7,0)点，与y轴交于N(0,7)点，NO=OB,OBN=/ONB=45.直线l/y轴，RQ=R

11、B=t,AM=BM=4.QB=j2t,AQ=47272t1分.RB=OP=QR=t,.PQ/OR,PQ=OR=7-t1分以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，且QP=QA,.-7-t=4AABE面积的3倍，若存在，直接写出DE的长，若不存在，请说明理由.26. (1)证明：在AB上截取AGAE,联结EG. AGEAEG.又./A=90,ZA+ZAGE+ZAEG=180.ZAGE=45. ./BGE=135. AD/BC. ./C+ZD=180.又./C=45.ZD=135. ./BGE=ZD.1分 ABAD,AGAE.BGDE.1分 EFBE./BEF=90.又/A+/ABE+/AEB=18

12、0,ZAEB+ZBEF+ZDEF=180ZA=90.ZABE=ZDEF.1分/.ABGEAEDF.1分BEEF.(1)2v8x32y关于x的函数解析式为：y-一1分此函数的定义域为：0x4.1分(2)存在1分I当点E在线段AD上时，DE22v5n当点E在线段AD延长线上时，DE2ID当点E在线段DA延长线上时，DE10（负值舍去）1分2石（负值舍去）.1分25.1分DE的长为2、2痣2或102V5.26.如图，在直角梯形COAB中，CB/OA,以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分另1J为A(10,0)、C(0,8),CB=4,D为OA中点，动点P自A点出发沿B-C-O的线路移动，速度为1个

13、单位/秒，移动时间为t秒.(1)求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；(2)动点P在从A到B的移动过程中，设APD的面积为S,试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；(3)几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1:3的两部分？求出此时点P的坐标.yycBpODAx第26题图26.(1)点B坐标为(4,8)ABJ1042082101分心，101048,口八由5t,得t=111分2此时点P在CB上1分(2)证法一：作013，人8于5,BEXOATE,DH，AB于H,贝UBE=OC=8OABEABOF,，OFBE8,DH=4.1分1S-4t2t(0w

14、tw10)1分2证法任”，11分SABDAB158102即S2t(0t10)1分(3)点P只能在AB或OC上，(i)当点P在AB上时，设点P的坐标为(x,y)由SAPD-S梯形COAB4一128得-5y14,得y=25由2t14,得t=7.222829由10x49,得x.55一.43即在7秒时有点P1（5,5）；55（ii）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0,y）由SOPD二S梯形COAB4一128得-5y14,得y=25282此时t=14(8一)16-.55即在216一秒时,5.3,有点P2(0,5一).543、23、故在7秒时有点R（5一,5-）、在16一秒时，有点F2（0,5一）使PD

15、将梯形COAB的面积分5555成1:3的两部分.1分五、(本大题只有1题，第(2)每小题4分，第小题2分，满分10分)26.菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且EAFB.(1)如果B60,求证：AEAF;(2)如果B,(090)(1)中的结论：AEAF是否依然成立，请说明理由;x,AEy,求y关于x的函数解析(3)如果AB长为5,菱形ABCD面积为20,设BE式，并写出定义域.26. （1）联结对角线AC,（1分）在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA,BD60, .ABC和ACD都是等边三角形，（1分）AB=AC,BAC60,ACD60. EAF60,FAC60EAC.又BAE

16、60EAC,FACBAE.（1分）又BACD,AB=AC,ABEAACF,AEAF.（1分）（2）过点A点作AGXBC,作AHLCD,垂足分别为G,H,（1分）则AG=AH.在菱形ABCD中，AB/CD,EAFB180C,又GAH360AGCAHCC180C, GAHEAF.（1分）GAEHAF.（1分）又.AGEAHF,AG=AH,AGEAAHF,AEAF.（1分）（3）作法同（2）,由面积公式可得，AG=4,在RtAGB中，BG2AG2AB2,.BG=3,EG|x3,在RtAGE中，AG2EG2AE2,即42（x3）2y2.yJx26x25（1x5）（2分）25.（本题满分8分，第（1）小

17、题2分；第（2）小题各3分；第（3）小题3分）已知：如图针旋转MAN相交于点F.（1）当点7.四边形ABCD是菱形，AB,边AM与射线BC相交于点EE在线段BC上时，求证：BE6,BMAN60.绕顶点A逆时（点E与点B不重合），边AN与射线CD（2）设BEx,4ADF的面积为y.当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；（3）联结BD,如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的（备用图）25.解：（1）联结AC（如图1）.由四边形ABCD是麦形，B60BABC,BACDAC60ACBACD60.，易得:AABC是等边三角形.ABAC.又BAECAFBA

18、EMAC60,MAC60,CAF1分在ABE和ACF中，.BAECAF,ABAC,ABEACF(A.S.A).BECF（2）过点A作AH在RtAADH中，CD,垂足为H60,DAH1分(如图2)90601DH-AD23.AHDH23233.又CFBEDF(6x)(3.3),9旧(0x6).2分（3）如图3,联结1一一BD,易得ADBADC30.2当四边形BDFA是平行四边形时，AF/BD.FADDAE60ADC在RtABE中,30B30.30,易得：BE2AB26061BAE12030BEA30,AB分BDC（第25题图3）90.6.1分12.ZJ27.己知：如图，在正方形4/8中，48=4,

19、E为边8c延长线上一点,联结0BFLDE.垂足为点F,肝与边8相交于点G,联结EG.设CE-x.(2)当8G=26时.求A/EG的面积：(3)如果彳“，6尸.4与BC相交于点M,四边形/MC。的面积为/求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域.第6页共6页27.解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD,ZBCD=/DCE=90.（1分）BFXDE,ZGFD=90:即得/BGC=ZDEC,/GAC=/EDC.（1分）在BCG和DCE中，GBCEDC,BCDC,BGCEDC,ABCGADCE（A.S.A）.（1分）GC=EC.1分）1分）即得/CEG=45:（2）在RtBCG中，BC=4,BG2展

20、,利用勾股定理，得CG=2.CE=2,DG=2,即得BE=6.SAEGSH边形ABEDSABESADGSDEG1，、111（46）4-64-24-222222=2.（2分）（3）由AMXBF,BFDE,易得AM/DE.于是，由AD/BC,可知四边形AMED是平行四边形.AD=ME=4.由CE=x,得MC=4-x.-1，_1，、22即y2x16.（2分）定义域为0x4.（1分）yS弟形AMCD（ADMC）CD（44x）42x16.25、(本题8分)已知直角坐标平面上点A2,0,P是函数yxx0图像上一点，PQAP交y轴正半轴于点Q(如图).(1)试证明：AP=PQ;(2)设点P的横坐标为a,点Q

21、的纵坐标为b,那么b关于a的函数关系式是;一2一(3)当SaoqSApQ时，求点P的坐标.325、证：（1）过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T,丁点P在函数yxx0的图像上，PH=PT,PH，PT,（1分）又APXPQ,./APH=/QPT,又/PHA=/PTQ,.PHAPTQ,（1分）AP=PQ.（1分）（2）b2a2.（2分）1一（3）由（1）、（2）知，saoq-OAOQ2a2,21 OO.SAPQ-AP2a22a2,（1分）2 22a22a22a2,3,一5.5斛得a,（1分）2所以点P的坐标是55555555.-（1分）PQ25、(本题8分)已知直角坐标平面上点A2,0,P是函数yxx0图像上一点,AP交y轴正半轴于点Q(如图).(1)试证明：AP