信号与系统下册课后习题答案wps

1、信号与系统(程耕国)下册课后习题答案6.2精选例题例1设一个LTI离散系统的初始状态不为零，当激励为f1(n)=u(n)时全响应为y(n)+1l(n),当激励为fz(n)=u(n)时全响应为y2(n)=(-1u(n)o_2_2(1)(2)当系统的初始状态保持不变，且激励为f3(n)=4u(n)时，求系统的全响应y3(n)。当系统的初始状态增加一倍，且激励为f4(n)=4u(n-2)时，求系统的全响应y4(n)。(3)求该系统的单位序列响应h(n)。解：设系统的初始状态保持不变，当激励为f1(n)=u(n)时系统的零输入响应和零状态响应分别为yx(n)、yf(n)。依题意，有:yi(n)=yx(

2、n)yf(n)=1u(n)-2根据LTI系统的性质，当激励为f2(n)=-u(n)时全响应为y2(n)=yx(n)-yf(n):联立式、(2),可解得:yx(n);，yf(n)=.i1n：11T+u(n)<2)一n11u(n)同样，根据LTI系统的基本性质，不难得到:(1)当系统的初始状态保持不变，且激励为f3(n)=4u(n)时，系统的全响应为:y3(n)=yx(n)4yf(n)1n1二5/1俨L、+3-+4u(n)<3(2)当系统的初始状态增加一倍，且激励为f4(n)=4u(n-2)时，系统的全响应为:y4(n)=2yx(n)4yf(n-2)1n1u(n)422：rit2J+1

3、u(n-2)(3)由于6(n)=u(n)-u(n-1),所以该系统的单位序列响应为:h(n)=yf(n)-yf(n-1)例2一个lti连续系统对激励f(t)=sintu(t)的零状态响应该系统的冲激响应h(t)。解：依题意，该系统的零状态响应为:yf(t)=sintu(t)h(t)由于没学过卷积逆运算，无法直接求得冲激响应h(t),可以从卷积运算的性质下手，设法使激励信号中出现yf(t)如例2图所示，求6(t),这样就有可能求出h(t)。dsintu(t)因为-=costu(t)dt'2对)-sintu(t)d2sintu(t)不难发现:sintu(t).sintu(t)、(t)一si

4、ntu(t):、(t)dtV(2)区J2解图从而，一方面，根据卷积分配律：2dsintu(t)sintu(t)h(t)出2h(t)2二sintu(t)-h(t)dt，h(t)二h(t)另一方面，根据卷积的微分性质：22,小、dsintu(t)小小dyfsintu(t)h(t)2h(t)=yf(t)dtdt故系统的冲激响应为：2h(t)=yfd2yf(t)dt2其波形如例2解图所示。例3求下面例3图(1)所示系统中的加权系数h(n),以使得该系统与例3图(2)所示的系统等效。例3图(1)解：如果两个离散系统的单位序列响应相同，则这两个系统等效。因此，必须先求出每个系统的单位序列响应。根据例3图(

5、2),可以得到该系统的差分方程为：y(n)-5y(n-1)6y(n-2)=x(n)x(n-1)设该系统初始状态为零，当激励x(n)为单位取样信号6(n)时，系统响应y(n)就是单位序列响应(n),上述差分方程可以写为：(n)-5h0(n-1)6h0(n-2)=(n)(n-1)此差分方程的特征方程为：25'6=0解之，得特征根:2=3由于激励是单位取样信号5(n),方程特解为零，故单位序列响应的形式与齐次解相同,即：ho(n)=(Ci2nC23n)u(n)由于初始状态ho(-1)=店(-2)=0不难根据差分方程迭代求出n>0的初始条件：ho(O)=1ho(1)=6将它们代入单位序列

6、响应，求得ho(0)=Ci+C2=1、ho=2Ci+3C2=6解之，得C=-3C2=4故:ho(n)=(-32n43n)u(n)对于例3图(1)所示系统的响应为：y(n)=h(o)x(n)h(1)x(n-1)h(N)x(n-N)00=h(m)x(n-m)m=o1)所示系=x(n)h(n)因为系统的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的卷积，所以图(统中的各加权系数h(n)正是该系统的单位序列响应在不同时刻的样值。这样要使图(1)和图(2)所示的两个系统等效，则图(1)所示系统的加权系数h(n)就应和式相同,h(n)=(-32n43n)u(n)从上面分析可以看出，图(1)所示系统实际上是一个卷积

7、器。利用这个结构可以模拟线性离散系统。6.3习题精解1 .下列系统中f()为激励，y()为响应，x(0)为初始状态，试判断它们是否为线性系统。(1) y(t)=x(0)f(t)(2)y(t)=x(0)3+5f(t)(3) y(n)=4x(0)-7|f(n)|(4)y(n)=af(n)+b,其中a、b为常数解：由于系统(1)不满足分解性；系统(2)不满足零输入线性；系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。对于系统(4),如果直接观察y(n)f(n)关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性。但考虑到令f(n)=0时，系统响应为常数b,若把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系

8、统仍是满足线，f系统条件的，故系统(4)是线性系统。2 .下列系统中f()和yf()分别表示激励和零状态响应，试判断它们是否为时不变系统。(1) yf(t)=acosf(t),其中a为常数yf(n)=bf(n),其中b为常数解：(1)已知f(t)yf(t)=acosf(t),设f(t)=f(ttd),t>td，则其零状态响应为yf1(t)=acosf(t)=acosf(ttd),显然yn(t)=yf(ttd),故该系统是时不变系统。(2)已知f(n)yf(n)=bf(n),设f(n)=f(nn0),nn。，则其零状态响应为yf1(n)=bf1(n)=bf(n-n0),显然yf1(n)=y

9、f(n-n0),故该系统是时不变系统。3 .下列系统中f()和yf()分别表示激励和零状态响应，试判断系统的因果性。t(1) yf(t)=7f(t)+3(2)yf(t)=(x)dx(3)y,(n)=3f(n)+5f(n-2)n(4)yf(n)=£f(i)(5)yf(n)=f(n+1)(6)yf(t)=f(3t)i=解：对于(1)(4),由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，因此都是因果系统。而对于(5),系统任一时刻的零状态响应都与该时刻以后的激励有关。响应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。因此，该系统是非因果的。(6)也是非因果的，因为如果f(t)=0,t<

10、;t0则有yf(t)=f(3t)=0,t3可见在区间k<tct0上yf(t)=0,即零状态出现于激励之前，因而该系统是非因果的。34 .下列系统中f()和yf()分别表示激励和零状态响应，试判断系统的稳定性。t(1) yf(n)=3f(n)十2f(n1)(2)yf(t)=f(x)dx-so解：(1)显然，无论激励f(n)是何种形式的序列，只要它是有界的，那么yf(n)也是有界的，因果该系统是稳定的。(2)若f(t)=u(t),显然该激励是有界的，但tyf(t)=(u(x)dx=t,t>0它随时间t无限增长，故该系统是不稳定的。5 .已知系统方程及其对应的初始条件(0+状态)，求系统

11、的零输入响应。(1) y''(t)+2y'(t)+2y(t)=f(t),给定：y(0Q=0,y'(0Q=2；(2) y''(t)+2y'(t)+y(t)=f(t),给定：y(0Q=1,y'(0Q=2；解：(1)特征方程为：九2+2九+2=0,得特征根：=1+j,%=1j因而，可设零输入响应为：yx(t)=e'(C1coste2sint),t0代入初始条件得：yx(0+)=e1(C1cost+C2sint)t=0+=C1=0yx'(0)=-e'(C1coste2sint)e'(-C1sintC2cos

12、t)t=0+=C1C2=2联立以上两式，解得C1=0,C2=2所以，系统的零输入响应为：yx(t)=2etsintu(t)(2)特征方程为：/+2九+1=0,得特征根：=k2=_1因而，可设零输入响应为：yx(t)=(C1tC2)eJ,t0代入初始条件得：yx(0Q=(Cit+C2)ey+=C2=1yx'(0Q=Ge，(C-+C2)e,|7+=C1C2=2联立以上两式，解得C1=3,C2=1所以，系统的零输入响应为：yx(t)=(3t1)e2u(t)6 .给定系统微分方程、初始状态(0_状态)以及激励信号分别为以下三种情况：(1) y'(t)+2y(t)=f(t),y(0J=0

13、,f(t)=u(t)(2) y'(t)+2y(t)=3f'(t),y(0=0,f(t)=u(t)(3) 2y''(t)+3y'(t)+4y(t)=f'(t),y(0J=1,y'(0J=1,f(t)=u(t)试判断系统在起始点是否发生跳变，据此对(1)(2)分别写出其y(0J值，对(3)写出y(0+)和y'(0十)值。解：(1)将f(t)=u(t)代入方程，由于方程右边没有冲激信号6(t)及其导数，所以系统在起始点(从0_状态到0N犬态)没有发生跳变。从而可知：y(0)=y(0_)=0(2)将f(t)=u(t)代入方程，由于f

14、9;(t)=6(t),即方程右边有冲激信号6(t),所以系统在起始点(从0_状态到0+状态)会发生跳变。根据奇异函数匹配法的原理，可设：y'(t)=a6(t)+bu(t),0_<t<0+。(注意：这里u(t)不代表单位阶跃信号，只是借用它表示y在t=0点有一个单位的跳变量。)从而有：y(t)=au(t)代入原方程可得：a、.(t)bu(t)2au(t)=3、.(t)解得：a=3,b-6故y(0)=y(0)a=3(3)将f(t)=u(t)代入方程，由于f'(t)=6(t),即方程右边有冲激信号6(t),所以系统在起始点(从0状态到0+状态)会发生跳变。根据奇异函数匹配

15、法的原理，可设：y"(t)=a6+b6+cu(t),0_<t<0+从而有：y'(t)=a6(t)+bu(t),y(t)=au(t)代入原方程可得：2a'(t)2b(t)2cu(t)3a(t)3bu(t)4au(t)=、(t)113斛得：a=0,b,c=24故：y'(0)=y'(0_)b=3,y(0)=y(0)a=127.给定系统微分方程y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f'(t)+3f(t),若激励信号和初始状态分别为f(t)=u(t),y(0)=1,y'(0J=2,试求系统的全响应，并指出其零

16、输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应各分量。解：(1)求零输入响应yx(t)：由已知条件有：yx"(t)3yx'(t)2yx(t)=0«yx'(0+)=yx'(0J=2.yx(0+)=yx(0J=1特征方程：'23,2=0特征根为：%=-1,%=-2故可设零输入响应(齐次解)为：yx(t)=(C164C2et),t0代入初始条件，并求解得C1V4,C2=-3故yx(t)u(4e"-3e”t)u(t)(2)求零状态yf：依题意，可设齐次解口传+口262,t>0,-3又由于t>0时，f(t)=U(t)=1,易知是方程的一

17、个特解。2t2t3一故零状态响应为：yf(t)=D1eD2e-,t0为了确定待定系数，将f(t)=u(t)代入原方程，有：yf"(t)3yf'(t)2yf(t)=、(t)3u(t)根据奇异函数匹配法，当0_wtW0+时，可设：yf"(t)=a6(t)+bu(t),则：yf'(t)=au(t),yf(t)=atu(t)=0代入方程，平衡两边相同项的系数得a=1,b=0'，-、'，_、_._故yf(0"=yf(0_)+a=0+1=1,yf(0J=yf(0_)=0八、一，、一一八1代入表达式，可解得：Di=-2,D2二2故yf(t)=(-

18、2e,为2)u(t).、t53(3)全响应y(t)=yx(t)+yf(t)=(2ex-e+-)u(t),其中：零输入响应为：(4e*-3e't)u(t)零状态响应为：(-2e4乂2-)u(t)22,5c,自由响应为：(2e-5e)u(t)3强迫响应为：u(t)28.有一系统满足：当激励为fi(t)=u(t)时，全响应为yi(t)=2e"u(t)；当激励为f2(t)=%t)时，全响应为y2(t)=6(t)。(1)求该系统的零输入响应yx(t);(2)设系统的初始状态保持不变，求其对于激励为f3(t)=e'u(t)的全响应y3。解：(1)设当激励为fi(t)=u(t)时，

19、系统的零输入响应为yx(t)、零状态响应为yf(t),则系统全响应为：yi(t)=yx(t)+yf(t)=2e，u(t)系统的初始状态保持不变，根据LTI系统的性质，当激励为f2(t)=6(t)时全响应为：y2(t)=yx(t)+yf'(t)=S(t)联立式、(2),可得：Yf'(t)-yf(t)=、(t)-2e,u(t)又知yf(0J=0,用经典法解式所示的方程，可得yf(t)=e,u(t)从而，系统的零输入响应为：yx(t)=yi(t)7f(t)=2e,u(t)-e,u(t)=e,u(t)(2)由(1)不难看出，系统的单位冲激响应h(t)=yf'(t)=6(t)e&

20、#39;u(t)所以，根据卷积积分法，当激励为f3(t)=e'u(t)时，零状态响应为：yf3(t)=f3(t)h(t)=e'u(t)、-e,u(t)=e'u(t)-te,u(t)=(1-t)e,u(t)又由于系统的初始状态保持不变，所以系统的零输入响应仍为yx(t)=e'u(t),故系统的全响应为：y3(t)=yx(t)yf3(t)=e,u(t)(1-t)e'u(t)=(2-t)e,u(t)3t9.某LTI系统，无初始储能，在外界激励f(t)=2eu(t)作用下的响应为y(t),即y(t)=Tf(t)，又已知：Tf'(t)=3y(t)+equ(

21、t),求该系统的单位冲激响应h(t)。解：依题意，对于初始状态为零的LTI系统，在激励f(t)=2eu(t)作用下的响应为：y(t)=Tf(t)=f(t)h(t)10则在激励f'(t)=6eu(t)+26(t)作用下的响应为：y'(t)=Tf'(t)l=f'(t)h(t)由于f'(t)=6e'tu(t)十26(t)=3f(t)+26(t),故有：y'(t)=-3h(t)2、(t)h(t)=3h(t)h(t)2、(t)h(t)二一3y(t)2h(t)又由已知条件：y'(t)=Tf'(t)=3y(t)+etu(t),从而得：-

22、3y(t)etu(t)=-3y(t)2h(t)故该系统的单位冲激响应为：1 _2th(t)=-eu(t)210 .电路如题10图所示，t<0时，开关位于“1”且已达到稳定状态，t=0时刻，开关自"1"转至"2"。(1)试从物理概念判断i(0J、i'(0J和i(0Q、i'(0+)；(2)写出t之04时间内描述系统的微分方程表示，求i(t)的全响应；(3)写出一个方程式，可在时间s<t<内描述系统，根据此式利用奇异函数匹配法判断0_时刻和0+时刻状态的变化，并与(1)的结果比较。解：(1) t=0_时刻，开关位于“1”，电路

23、处于稳定状态，不难得到：uc(0_)=10V,ul(0=0V,i(0_)=八(0_)=01从而可知：i(0_)=iL(0_)=uL(0_)=0t=0+时刻，开关自“1”转至“2"，电容电压和电感电流不会突变，故有：uc(0+)=uc(0_)=10V,i(0+)=iL(0Q=iL(0_)=011而电感电压要发生变化，有KVL可知：uL(0+)=2010=10(V)1.从而可知：i(0)=iL'(0)=-Ul(0)=10A综上所述，有:i(0J=i'(0D=i(0Q=0,i(0Q=10Ad(2) t>0+时，由KVL可知：Uc(t)+Li(t)+Ri(t)=20u(

24、t)dt方程两边求导并将i(t)=C9Uc(t)代入，可得:dtdd1L-i(t)R-i(t)大(t)=20、.(t)dt2dtC由于L=R=C=1,且t之0+时，6(t)=0,所以系统微分方程为:d2dt2i(t)-i(t)i(t)=0dt其特征方程为：K2+儿+1=0,得特征根：儿1,2(二辞<显然0是万程的一个特解，故全响应可设为：i(t)=K1e22+K2e13(-J)t122,t0代入初始条件i(0Q=0,i'(0Q=10,解得:K1代入上式，并化简，得系统的全响应为:20字,3i(t)=_e2sin(2t)u(t).3根据(2),不难得到,在-笛<tc30时间内

25、，系统微分方程为:其中，f(t)=«10,t<020,td2dt2i(t)：i(t)i=；f(t)，这可表示为f(t)=1010u(t)代入系统微分方程，得:d2dt2i(t)“1012根据奇异函数匹配法的原理，可设：i"(t)=aS(t)+bu(t),0_<t<0+从而有：i'(t)=au(t),i(t)=atu(t)=0代入原方程可得：a、.(t)bu(t)au(t)=10、.(t)解得：a=10,b=-10故：i'(04)=i'(0J+a=0+10=10,i(0+)=i(0=0可见，与(1)的结果一致。11 .设某因果LTI系

26、统输入、输出之间的关系可以用以下方程表示：y'(t)5y(t)=；f(.)p(t一.)5一f(t)其中p(t)=e,u(t)+36(t),求该系统的单位冲激响应h(t)和阶跃响应s(t)o解：y'(t)5y(t)=i-f(.)p(t-)d.-f(t)=p(t)f(t)-f(t)为了求h(t),将已知条件p(t)=e-Lu(t)+36(t)及f(t)=6(t)代入，并化简得：h'(t)5h(t)=e,u(t)2、(t)易知h(0。=0,用“经典法”可求得系统的单位冲激响应为：1t75th(t)=(ee)u(t)4 4从而进一步可以得到系统的阶跃响应为：s(t)=h(-)d

27、=(3-1e，-7e')u5 4412 .如题12图所示电路，以us(t)为输入，u2(t)为输出，试列出其微分方程，用时域分析法求出电路的冲激响应和阶跃响应。1C1cu2(t)题12图解：依题意，不难得到电路的微分方程为：2u2(t)"(t)=us(t)us(t)13us(t)=a(t)作用于系统时，对应得到的系统冲激响应h(t),从而有:2h'(t)-h(t)=、.(t)、.(t)1特征方程为：2九+1=0,得特征根：九=12可设齐次解：hh(t)=Ae2(t_0.)初始状态：h(0J=0用奇异函数匹配法，设h'(t)=a5'(t)+b6(t)+c

28、u(t),0_<t<0+则：h(t)=a、(t)bu(t)代入方程2h'(t)+h(t)=6(t)十6(t),得:1a=一2a2b=1b2c=0111解得：a=,b=,c=2481一1一二t11故h(0#=b+h(0J=1即h(0Q=Ae2|t=0=1从而有A=14,4'4又因为冲激响应中含有6(t)分量，故所求冲激响应为:11二th孩、4eu进一步可得系统阶跃响应为:tt11二s=J()d=.,()ZeFm11=2u(厂1t2e2)u1-t“2e2u13 .题13图所示系统是由几个“子系统”组成，各子系统(积分器、单位延时器、倒相器)的冲激响应分别为：h1(t)=

29、u(t),h2(t)=6(t-1),h3(t)=-6(t),试求整个系统的冲激响应h(t)。14hi(t)-*h2(t)h(t)h3(t)1题13图解：根据串、并联系统的特点，不难得到整个系统的冲激响应为：h(t)=hi(t)h2(t)*%(t)*h3(t)=u(t)、(t-1)*u(t)*-、(t)=u(t)-u(t-1)14.已知系统的冲激响应h(t)=e/u(t)(1)若激励信号为f(t)=eu(t)-u(t-2)卜产5(t-2)式中P为常数，试求系统的零状态响应yf(t)。(2)若激励信号表示为f(t)=x(t)u(t)-u(t-2)I，R：:(t-2)式中x(t)为任意t函数，若要求

30、系统在t>2的零状态响应为零，试确定P值应等于多少?解：(1)依题意，可得：yf(t)-h(t)*f(t)-etu(t)*e4u(t)-u(t-2)etu(t)*-(t-2)-etu(t)*e4u(t)-u(t-2)-e(t)u(t-2)先计算：etu(t)*e-Lu(t)=：e，e4t=(e'-e?)u(t)由卷积积分的性质，可得：etu(t)*e4u(t-2)=etu(t)*ee4t)u(t-2)=e，e2-e”(t0u(t-2)二(e&-e22)u(t-2)故有：yf(t)=(e'-et)u(t)(e4-et2)u(t-2)e(t)u(t-2),42tt-2

31、t2-2t4X二(e-e)u(t)(e-ee)u(t-2)15也可以写作:当。<t<2时，yf(t)=e'e"当t>2时，yf(t)=/4+e2-1)(2)依题意，可得：yf(t)=h(t)*f(t)-etu(t)*x(t)u(t)-u(t-2)etu(t)*二(t一2)=te(t-tu(t-T)x(T)u(T)dTje/(tTu(t-t)x(t)u(t-2)dx'-e(t)u(t-2)=J0e(t-x(T)dTu(t)-J2e(t-"x(T)du(t-2)+Pe2tu(t-2)当t>2时，要yf(t)=0,即：tt2efoea()d

32、T-e2e()d+Pe(=e(0e(i)dT+Pe=0故有：_.2o：=-e0ex()d15.一个乒乓球从h米高处自由下落至地面，每次弹跳起的最高高度是前一次最高高度,2的§,若以y(n)表示第n次跳起的最高高度，试列出描述此过程的差分方程。若给定h=2,试解此差分方程。“，、广2解：依题意，可得此差分方程为：y(n)-y(n-1)=0且y(0)=h,n02n从而，用“经典法”不难得到方程的解形如：y(n)=C()n,n>032n由y(0)=h得C=h,于是有：y(n)=h(),n>0所以，当h=2时，得y(n)=2(|)n,n>016 .已知f(n)和h(n)分别

33、表示LTI离散系统的激励和单位序列响应，试求系统的零状态响应。(1) f(n)=u(n),h(n)=(n)-(n-3)(2)f(n)11u(n),h(n)=u(n)-u(n-5)216解：(1)利用“卷积和”求LTI离散系统的零状态响应y(n)=f(n)*h(n)=u(n)*、：(n)-、(n-3)=u(n)*、(n)-u(n)*、(n-3)=u(n)-u(n-3)(2)利用“卷积和”求LTI离散系统的零状态响应y(n)=f(n)*h(n)=h(n)*f(n)1n1 n_m/2 )u(n-m)=u(n)一u(n一5)(a)uQO=、u(m)-u(m-5)(m二：二n二1白0mq02mq52n/

34、5n/1xn1-21An2-2二()u(n)-()u(n-5)21-221-2h1(n)y(n)。-(2-2J)u(n)-2-2，n3u(n-5)17 .题17图所示的系统由两个级联的LTI系统组成，它们的单位序列响应分别为和h2(n)。已知h1(n)=n)-5(n-3),h2(n)=(0.8)nu(n)。令f(n)=u(n),芽f(n)一An(n)Ah2(n)一y(n)题17图解：方法1：y(n)=x(n)*h1(n)*h2(n)=u(n)*(n)-(n-3)*(0.8)nu(n)=u(n)-u(n-3)*(0.8)nu(n)QOOO="(0.8)mu(m)u(n-m)-%(0.8

35、)mu(m)u(n-m-3)m=-：m二二nn-3二、0.8mu(n)-、0.8mu(n-3)m4m01-(0.8)n11-0.8u(n)1-0.8n1-0.8u(n-3)=5(10.8n1)u(n)-(1-0.8n"2)u(n-3)17方法2：y(n)=f(n)*h1(n)*h2(n)=u(n)*、(n)-;(n-3)*(0.8)nu(n)=u(n)*0.8nu(n)0.8n,u(n-3)odcO="0.8mu(m)u(n-m)-%u(m)0.8njmu(n-m-3)m-：m=.：二nn_3=0.8mu(n)%0.8nJnu(n-3)m-0m-01-0.8n1-1-0.8

36、")二u(n)-0.8u(n-3)1-0.81-0.8=5(10.8n1)u(n)-(1-0.8n)u(n-3)18.已知LTI离散系统模拟框图如题18图所示。-2题18图(1)列出系统的差分方程。(2)求出它的单位序列响应和阶跃响应。(3)已知激励f(n)=3nu(n),求该系统的零状态响应。解：(1)根据上图列出差分方程：y(n)=3y(n-1)-2y(n-2)f(n)f(n-1)整理后得到：y(n)-3y(n-1)-2y(n-2)-f(n)f(n-1)(2)单位序列响应h(n)满足h(n)-3h(n-1)+2h(n-2)=6(n)+6(n-1)：h(1)=h(2)=0由迭代法，

37、可得初始条件：h(0)=3h(-1)-2h(-2)、(0)、(-1)=0-010=1h(1)=3h(0)-2h(-1)、(1).、(0)=3-001=418特征方程为:2-3-2=0特征根为：,=1,、2=2可设单位序列响应为：h(n)=(C1C22n)u(n)将初始条件代入，得'h(0)=Ci+C2=1h(1)=C1+2C2=4C=-2C2=3从而得系统的单位序列响应为h(n)=(-232n)u(n)进一步得系统的阶跃响应为nnn-1)u(n)s(n)=1h(i)=、(-232i)u(i)='、(-232i)=(-2n2n1i-.：i-.：i=0(3)激励为f(n)=3nu(

38、n),系统的零状态响应为：yf(t)=f(n)*h(n)=3nu(n)(-232n)u(n)=(1-62n63n)u(n)7.3习题精解1,已知某LTI系统的单位冲激响应为h(t)=etu(t),a>0,系统的输入为f(t)=eJbtu(t),b>0,求该系统的输出。解：输入信号的频谱为:1系统的频率响应为：H(jj)=a-j11则输出信号的频谱为：丫(。=F(W)H(J)二(bj,)(aj1')1111二»十(b-a)(aj)(a-b)(bj'1)输出信号y(t)为：19(e旬l)u(t)2 .已知某LTI系统由微分方程y“(t)+3y'(t)+

39、2y(t)=f(t)描述，求该系统对信号，一八一1解：输入信号的频谱为：F(jC)=1一j3系统的频率响应为：则输出信号的频谱为:1Y(jQ)=F(jQ)H(jQ)_111(jj3)(j11)(j11)-3(j-)23(jJ)21=1,，十12j+1jC+3jjC+2输出信号y(t)为:1t2t13ty(t)=(2e/)U(t)3 .已知系统的微分方程为y*(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t),用傅里叶变换法求在周期信号f(t)=FmcosC0t(-°°<t<的)激励下的正弦稳态响应y(t)。解：由于激励是在t=-笛时刻接入系统的，故不存在零输入响

40、应，即全响应就是零状态响应，且是正弦稳态响应。F(j11)=Fm二！<一,')<i0)lH(j)=H(jC)e曲门式中,H(j,1)1(2-IJ2)2(3132()-arctan31-12-1.1Y(jC)=H(jC)F(jC)=FmnH(-jC°)e便9)6(。+C°)+Fm兀|H(jC°)ejK(C复。)又由于H(jC°)|=|H(-jQ°)|,9(。)=$。°)20可得:eQt(：.o),ej川：(.o)De八二Fm2H(j'Jo)cosbot-：«0)14 .已知LTI系统的微分方程为y“

41、(t)+4y'(t)+3y(t)=f(t),求系统的频率响应H(jC)和冲激响应h(t)。解：对微分方程两边作傅里叶变换(j11)24(j,)3Y(j,)=F(j,J)得系统的频率响应为:H(j,J)=Y(jj)F(j11)1111、1''1'(jC+3)(jC+1)=2JC+1j_2JQ+3,单位冲激响应为:1_t_3th瓦(e-e)u(t)5 .已知LTI系统的输入信号为f(t)=sin6nt+cos2nt,当系统的单位冲激响应为h(t)=Sa(4nt)时，求其输出y(t)。解：对输入信号求傅里叶变换F(j,。=j二！(,6二)-、-6二)I二L2二)、(-

42、2-)1对单位冲激响应求傅里叶变换得到该系统的频率响应1_H(j-)=-G8-.(1?)4输出信号的频谱为：Y(j，)=F(jj)H(jj)JL(,6二)-、,.(-6二)1-1(,2二)'，-2二)】44对其求傅里叶反变换得输出信号,、1.八1八y(t)=sin6tcos2t446.因果线性时不变系统的微分方程为y“(t)+3y'(t)十2y(t)=f'(t)+3f(t),(1)求频率响应；(2)求单位冲激响应；(3)求f(t)=e*u(t)时的响应y(t)。解：(1)对微分方程两边作傅里叶变换口)23(j,)2Y(jj)=(j-3)F(j,)21可得频率响应Y(j&

43、#39;J)F(j'1)j'J3(j112)(j'J1)21j'1'1"j'.12(2)单位冲激响应为:1(3)当输入为f(t)=eu(t)时，F(jC)=，则输出信号的频谱为:j1-11Y(jj)=F(jc)H(j)=j'J3(j111)2(jfl2)输出信号为:y(t)=(2te-eJet)u(t)7.有一因果LTI系统，其频率响应为H(jC)其输出为y(t)=etu(t)-etu(t),求f(t)。,对于某一特定的输入f(t),j3解：输出y(t)的傅里叶变换为:丫行)则输入f(t)的傅里叶变换为:F(j)=Y(j,)H(

44、j'J)1j'14对F(jC)求傅里叶反变换，得:f(t)=e,(t)8 .如题8图所示，以u(t)为输出，求系统的频率响应H(jC),欲使系统无失真传输信号，R,R2应为何值。22解：由电路图可得:1jC/j)I(R+j。)R2+US)二R1十R2十jC-系统函数为:Hj)=Uj)I(jJ)(R1R2+1)+jCR2(Ri+R2)+jQ-欲使系统无失真传输信号，应满足如下条件：H(jC)=K：(j)-；.七可见，当Ri=R2=1。时，可满足此条件，有H(jQ)|=1,甲(0)=0所以9 .如题9图所示，求系统的频率响应H(jG)及系统无失真传输的条件。LiRi解：由电路图可得

45、:f(t)23R2L2y(t)丫(尸)=jJL2R2j11L2R2j1.1LiRij，.LR2F(j11)j'lL1R1j'JL2R2系统函数为:R2L2Hj)杂二F“l2r2,L2R2jLR1jL2R2欲使系统无失真传输信号，应满足如下条件：H(jC)=K；)=-OU可见，当Ri=R2=1。时，可满足此条件，有H(jC)=1,甲(0)=0所以10 .低通滤波器的频率特性如题10图所示，输入f(t)=2sin(10t)sin(30t),求输出y(t)。41H(jC)|2-30030题10图解：已知f(t)=2sin(10t)sin(30t)=cos(20t)-cos(40t)由

46、于f(t)是由2个频率的正弦分量组成。频率为20的分量能通过该低通滤波器，频率为40的分量不能通过。故输出为：y(t)=2cos(20t)11 .证明LTI系统对周期信号的响应仍是周期信号且不会产生新的谐波分量或新的频率分量量。解：分别讨论正弦信号和非正弦周期信号的情况。(1)正弦信号若有激励24f(t)=AcosCt=A(ejC+e,C)-<t<°°2系统的零状态响应为：yf(t)=AH(jc)(ej"ejt)=AH(jJ)cosht9)1由此可得，LTI系统对正弦激励的响应为与激励同频率的正弦量，其振幅为激励的振幅与H(jQ)模值的乘积，其相位为激

47、励的初相位与H(jC)相位的和。(2)非正弦周期信号若有激励f(t)=.2n二二二式中,Fn1/(叱喷出。系统的零状态响应为:yf(t)=FnH(jn-)ejn，tn=.二oo,=F0+Z2Fn|H(jnG)coshCt十中(nQ)+8(nC)n1式中，Fn=Fej6nC,H(jnG)=H(jnC)e"G。可以看出，当周期信号f(t)作用于LTI系统时，其零状态响应yf(t)仍为周期信号，周期和f(t)相同，且不会产生新的谐波分量或新的频率分量。12 .某一信号处理系统，已知f=20cos(100t)cos2(104t),理想低通滤波器的频率响为H(jC)=G240(夏)，求系统的零

48、状态响应y(t)。解：对输入信号化简得：f(t)=20cos100tcos2104t_._4二10cos100t10costcos210t=10cos100t5cos(1002104)t5cos(2104-100)t即输入信号包含了三个频率成分，口。=100,Ci=100+2m104以及建2=2父104-1000由于系统传输函数是截止频率为120的理想低通滤波器，则只能让。0=100的频率分量通过，而。和。2无法通过，故y(t)=10cos(100t)。f(t)=sint+sin(3t)时，求213 .若系统的频率响应H(jG)=，激励为周期信号jj325应y(t),并讨论经传输是否引起失真。

49、解：对输入信号求傅里叶变换得：F(j，)=j二匕1)、.一1)、.3)、-3)1由于H(j'1)=2j1.13可得：Y(j，)=F(j-)H(j-)2222二j二、(1.11)、(；'-1)、83)、(；：1-3)3-j3j3-3j33j对其求傅里叶反变换得：1t1jt1J3jt13jty(t)=jeeee3-j3j3-3j33j可见，经过传输信号引起了失真。8.1习题精解1试用拉普拉斯变换分析法求下列系统的响应。(1)y(t)+3y(t)=f(t),且y(0_)=2,f(t)=e,u(t)y"(t)+4y'(t)+3y(t)=f(t),且y'(0_)

50、=y(0_)=0,f(t)=etu(t)解：(1)对方程两边取拉普拉斯变换sY(s)-y(0_)+3Y(s)=F(s)即Y(s)=2s3(s1)(s3)系统响应为y(t)=(1e'-et)u(t)22(2)对方程两边取拉普拉斯变换s2Y(s)4sY(s)3Y(s)=F(s)即丫二户，1,s4s32s1s22s32611系统响应为y(t)e-ee(t-0)222已知某线性时不变系统可用下列微分方程描述“1_Iy(t)3y2y=2f(t)若f(t)=e'tu(t),y'(0_)=1,y(0_)=1,试求该系统的零输入响应零状态响应yf(t)以及全响应y(t)。解：对方程两边

51、取拉普拉斯变换s2Y(s)-sy(0_)-y'(0_)+3sY(s)-3y(0_)+2Y(s)=2sF(s)即(s23s2)Y(s)-sy(0_)y'(0_)3y(0_)=2sF(s)Y(s)=Yx(s)Yf(s)=sy(0)y(0)3y(0).2_s3s22s-2F(s)s3s2Yx(s)=-(s2)(s1)(s2)s12sYf(s):22sF(s)=(s1)(s2)(s3)s1s2s3fs23s2Myf(t)=(e，4e't-3et)u(t)全响应为y(t)vyx(t)yf(t)-(-2e44et-3et)u(t)3电路如题3图所示，激励为e(t),响应为i(t),

52、求冲激响应与阶跃响应。i(t)L1=1HJ"t)J"1H十e(t)oR1=2c题图8-327解：由图列写回路方程L1sI(s)+R1I(s)-I2(s)=E(s)L2sI2(s)-R2I2(s)-R1I(s)I2(s)=0整理得；(lis+Ri)i(s)-Rii2(s)=e(s)-R1I(s)+(R1+R2+L2s)I2(s)=0将条件代入得(s+2)I(s)-2I2(s)=E(s)、-2I(s)+(s+5)I2(s)=0(1)当e(t)=6(t)时，E(s)=1,所以I(s)=5s15s6s5s27s61J114_t1_6th(t)=L|(s)=e+eu(t)155J1一11(s)=s0当e(t)=Kt)时，E(s)=1,所以s-2s+5一一,2._,一、s+5s(s+7s+6)5141116s5s130s6u(t)s(t)=L-1*I(s)；=5-4e-e65304已知一线性时不变系统激励为f(t)=e*%(t),零状态响应为Yf(t)=(e*-e2e4t)u(t)求系统的单位冲激响应h(t)