高考数学复习 第四章 三角函数、解三角形 第六节 简单的三角恒等变换课件 文

1、第六节简单的三角恒等变换总纲目录教材研读1.公式的常见变形考点突破2.辅助角公式考点二三角函数的给值求值（角）问题考点二三角函数的给值求值（角）问题考点一三角函数式的化简、求值考点三三角恒等变换的综合应用考点三三角恒等变换的综合应用1.公式的常见变形公式的常见变形(1)1+cos =2cos2 ;1-cos =2sin2 .(2)1+sin =;222sincos22教材研读教材研读1-sin =.(3)tan=.2sincos222sin1cos1 cossin2.辅助角公式辅助角公式asin x+bcos x=sin(x+)(为辅助角),其中sin = ,cos = . 22ab22bab

2、22aab1.已知cos =,(,2),则cos等于()A. B.- C. D.案答案 B由cos =,得2cos2-1=,即cos2=.又(,2),cos0,故cos=-.132132232,22263B2.的值为()A.1 B.-1 C. D.- 22sin 351cos103sin101212答案答案 D原式=-.22sin 351132cos10sin1022cos702sin2012D3.sin 15+cos 15= .3答案答案 2解析解析 sin 15+cos 15=2=2(sin 15cos 30+cos 15sin 30)=2sin(15+30)=.

3、331sin15cos1522224.化简sin2+sin2-sin2的结果是 .66答案答案 1212解析解析解法一:原式=+-sin2=1-sin2=1-cos 2cos-sin2=1-=.解法二:令=0,则原式=+=.1 cos 2321 cos 23212cos 2cos 2333cos22 1 cos22121414125.已知24,且sin =-,cos 0,则tan的值等于 .352答案答案-3解析解析24,又sin =-,cos 0,3,cos =-,tan=-3.3572452sin2cos222sin22sincos221 cossin41535 -3考点一三角函数式的化简

4、、求值考点一三角函数式的化简、求值典例典例1(1)4cos 50-tan 40=()A. B. C. D.2-1(2)化简:(0)= .223232(1 sincos ) sincos2222cos考点突破考点突破答案答案(1)C(2)-cos 解析解析(1)4cos 50-tan 40=4sin 40-=,故选C.(2)原式=sin40cos404cos40 sin40sin40cos402sin80sin40cos402sin(12040 )sin40cos40 3cos40sin40sin40cos403cos40cos403222sincos2cossincos222224cos2=.

5、因为0,所以00,所以原式=-cos .22cossincos222cos2coscos2cos22221.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 方法技巧方法技巧2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.1-1化简:(1)sin 50(1+tan 10);(2).342212cos2cos22tansin44xxxx解析解析(1)sin 50(1+tan 10)=sin 50(1+tan 60tan 10)=sin 50=sin 50=1.(2)原式=3cos60 cos

6、10sin60 sin10cos60 cos10cos(6010 )cos60 cos102sin50 cos50cos10sin100cos10cos10cos1022212cos(cos1)22tancos44xxxx224cossin14sincos44xxxx21 sin 22sin22xx=cos 2x.2cos 22cos2xx12考点二三角函数的给值求值考点二三角函数的给值求值(角角)问题问题命题角度一给值求值命题角度一给值求值典例典例2(1)已知sin+sin =,则sin的值是()A.- B. C. D.-(2)已知是第四象限角,且sin=,则tan= .34 35762 3

7、52 3545454354答案答案(1)D(2)- 43解析解析(1)sin+sin =sincos +cossin +sin = sin +cos =sin +cos =,故sin=sin cos+cossin=-=-.(2)解法一:sin=(sin +cos )=,sin +cos =,2sin cos =-.是第四象限角,sin 0,sin -cos =-=-,34 35334 3532324 3532124576767631sincos2245422353 2572512sin cos4 25由得sin =-,cos =,tan =-,tan=-.解法二:+=,sin=cos=,又2k

8、-2k,kZ,2k-+0.又,+(,2),+=.(2)tan =tan(-)+=0,且(0,),02.00,02,tan(2-)=1.tan =-0,(0,),-2-0,2-=-.22tan1tan2123113342tan2tan1tan2 tan314731147172341.“给值求值”即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系.方法技巧方法技巧2.“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦

9、或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,),选余弦函数;若角的范围为,选正弦函数.0,2,2 2 3.解决上述两类问题时,常会用到角的变形,如:=2,=-(-),=(+)-,=(+)+(-),+=-等.2124242-1若sin 2=,sin(-)=,且,则+的值是 .551010,43,2答案答案 7474解析解析,2,又sin 2=,2,cos 2=-且,又sin(-)=,-,cos(-)=-,cos(+)=cos(-)+2=cos(-)cos 2-sin(-)sin 2=-=,4,2255,22 55,4 2 10103,25,2 43 10103 10102 5

10、510105522又+,所以+=.5,2474典例典例4 (2015北京朝阳二模)已知函数f(x)=cos x(2sin x+cos x)-sin2x.(1)求函数f(x)在区间上的最大值及相应的x值;(2)若f(x0)=2且x0(0,2),求x0的值.3,2考点三三角恒等变换的综合应用考点三三角恒等变换的综合应用解析解析 f(x)=cos x(2sin x+cos x)-sin2x=2sin xcos x+cos2x-sin2x=2sin.(1)因为x,所以2x+,所以sin,所以当2x+=,即x=时,f(x)max=1.(2)依题意知2sin=2,所以sin=1.又x0(0,2),所以2x

11、0+,3326x,26713,6626x11,26136026x026x625,66所以2x0+=或2x0+=,所以x0= 或x0=.62652676方法指导方法指导三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为y=Asin(x+)的形式再研究其性质,解题时注意观察函数的角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.3-1 (2015北京东城二模)已知函数f(x)=cos+cos,g(x)=cos 2x.(1)若,且f()=- ,求g()的值;(2)若x,求f(x)+g(x)的最大值.23x223x,4 2 353,6 3 解析解析(1)f(x)=cos+cos=cos 2x-sin 2x-cos 2x- sin 2x=-sin 2x.因为f(