2422切线长定理

1、50 O P B A1.1.如何如何过过OO内内一点一点P P画出画出OO的切线？的切线？2.2.如何如何过过OO上上一点一点P P画出画出OO的切线？的切线？3.3.如何过如何过OO外一点外一点P P画出画出OO的切线？的切线？ 4 4、这样的切线能这样的切线能画出画出几条？几条？如下左图，如下左图，借助三角板，我们可以画出借助三角板，我们可以画出PAPA是是OO的切线的切线。5 5、如果、如果P=50P=50, ,求求AOBAOB的度数的度数130过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段过圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做的长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长OPAB

2、切线切线与与切线长切线长是一回事吗？是一回事吗？ 切线和切线长是两个不同的概念：切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，、切线是一条与圆相切的直线，不能度量不能度量； 2、切线长是、切线长是线段线段的长，这条线段的两个端点的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点分别是圆外一点和切点，可以度量可以度量。OPAB OABP思考思考：已知已知 O切线切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线为切点，把圆沿着直线OP对折对折,你能你能发现什么发现什么?12OPABM12证明：PA、PB是 o的两条切线，OAAP，OBBP又OA=OB，OP=OP，RtAOP RtBOP（HL）

3、PA=PB，1=2 切线长定理：切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线切线长相等长相等，这一点和圆心的连线，这一点和圆心的连线平分两条平分两条切切线线的夹角的夹角。OPABAPOB 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形是等腰三角形，PMPM为为顶角顶角的平分线的平分线 O

4、P垂直平分垂直平分ABM。PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。切线长定理的拓展 BOPAEDF相等线段：AP=BP,AO=BO,AE=BE相等的弧：垂直关系：AOPA,AB OP,BO BPAF=BF 例例1 1 如图，已知如图，已知O O的半径为的半径为3cm.3cm.点点P P和圆和圆心心O O的距离为的距离为6cm6cm，经过点，经过点P P有有O O的两条切的两条切线线PA PA 、 PB,PB,则切线长为则切线长为_cm_cm，这两，这两

5、条切线的夹角为条切线的夹角为_， AOB_AOB_。APO。B60 120 33 （2）已知）已知OA=3cm,OP=6cm，则，则APB= PABCO60（4）OP交交 O于于M，则，则 ， M（3）若）若P=70，则，则AOB= 110（1）若）若PA=4、PM=2，求圆，求圆O的半径的半径OA OA=3形成性练习：形成性练习：点点P和圆心和圆心O的距离为的距离为6cm ，过，过P有圆有圆O的两条切线的两条切线PA、PB。若半径为若半径为3cm,求切线长、切线夹角求切线长、切线夹角APB。若若APB=600 ，OP=6cm,求求 半径及半径及AP。若若AB=6cm, APB=600 , 求

6、求OP.PABO已知：如图已知：如图,PA,PA、PBPB是是OO的切线，切点分别的切线，切点分别是是A A、B B，Q Q为为ABAB上一点，过上一点，过Q Q点作点作OO的切线，的切线，交交PAPA、PBPB于于E E、F F点，已知点，已知PA=12CMPA=12CM，求，求PEFPEF的周长。的周长。EAQPFBO易证易证EQ=EA, FQ=FB,EQ=EA, FQ=FB, PA=PB PA=PB PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周长为24cm拓展：拓展： 如图，从如图，从O O外一点外一点P P作作O O的两条切线，的两条切线

7、，分别切分别切O O于于A A 、B B，在，在ABAB上任取一点上任取一点C C作作O O的的切线分别交切线分别交PA PA 、PBPB于于D D 、E E（1 1）若）若PA=2PA=2，则，则PDEPDE的周长为的周长为_；若；若PA=aPA=a，则则PDEPDE的周长为的周长为_。（2 2）连结）连结OD OD 、OEOE，若，若P=40 P=40 ，则，则DOE=_;DOE=_;若若P=k,P=k,DOEDOE=_ =_ 度度 。E OCBDPA42a70 70 2k)(180 例例2. 已知：已知：P为圆为圆O外一点，外一点，PA，PB为圆为圆O的切线，的切线，A，B为切点，为切点

8、，BC是是直径。直径。 求证：求证：ACOP。PABOC思思 考考一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？呢？ABCABC内心DNMO三角形的内切圆：三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内切圆三角形的内心：三角形的内心：三角形的内切圆的圆心三角形的内切圆的圆心（即三角形三条角平分线的交点，（即三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。）到三角形三边的距离相等。）AC CB BOoooAD DC CB BOFE例题：如图，例题：

9、如图， ABCABC的内切圆的内切圆OO与与BCBC、CACA、ABAB分别分别相切于点相切于点D D、E E、F F，且，且AB=9cm,BC=14cmAB=9cm,BC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求求AFAF、BDBD、CECE的长。的长。x13xx13x9x9x在边长为在边长为3cm3cm，4cm4cm，5cm5cm的三角形的三角形的铁皮上剪下一个最大的圆，的铁皮上剪下一个最大的圆，求此圆的半径求此圆的半径试一试：试一试：如图如图ABC中，中，C90 ，AC6，BC8，三角形三边与，三角形三边与 O均相切，切点分别均相切，切点分别是是D、E、F，求，求 O的半径。的半径。

10、CFOEDBA练练 习习 2 2ABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r , ABC的周长为的周长为 l ,求求ABC的面积。的面积。 （提示：设内心为（提示：设内心为O，连接，连接OA、OB、OC。）。）OACBr解：连接解：连接OA、OB、OC，则则 S= AB r + AC r + BC r = (AB +AC+BC) r = l l r2121212121r rr rr r例例3、 已知四边形已知四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA分别与分别与 O相切于相切于P、Q、M、N，求证：求证：AB+CD=AD+BC。 DABCOMNPQ圆外切四边形的性质：圆的外切四边形圆外切四边形的性

11、质：圆的外切四边形的两组对边和相等。（如菱形）的两组对边和相等。（如菱形）圆内接四边形的性质：圆内接四边形对圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补。（如矩形）角互补。（如矩形）ABCD练习某梯形中位线为练习某梯形中位线为18cm,且梯形有内切圆，求梯形周且梯形有内切圆，求梯形周长。长。练练 习习 1 1如图，如图，ABC中，中， A=40，点，点O是是 O的内心，求的内心，求 BOC的度数。的度数。AOCBoBCADE巩固性练习：1已知：如图，ABC 中，ABC=90 ，AB上一点O，以O为圆心的 O交OA于E，切AC于D，AD2，AE1，求CD的长。3、如图，、如图，AB是是 O的直径，的直径，AD、DC、BC是切线，点是切线，点A、E、B为切点，为切点， (1)求证：求证：OD OC (2)若若BC=9，AD=4， 求求OB的长的长. OABCDE如图：用两