刚体转动及角动量守恒--最新

1、刚体转动及角动量守恒刚体的定义刚体的定义 刚体是受力时不改变形状和体积的物体。刚体是受力时不改变形状和体积的物体。 或说，或说，刚体是特殊的质点系，刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对其上各质点间的相对位置保持不变。位置保持不变。 刚体是个理想化的模型。刚体是个理想化的模型。 质点系的规律都可用于刚体质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚体的特而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。 第第5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：平动：连接刚体中任意两连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保点的

2、线段在运动中始终保持平行。刚体上所有点的持平行。刚体上所有点的运动轨迹都相同运动轨迹都相同,可当作质可当作质点来处理点来处理. 特点：特点：各点运动各点运动状态一样，如：状态一样，如： 等都相同等都相同a、v转动转动：定轴转动定轴转动刚体的刚体的平面运动平面运动 2. 刚体定轴转动刚体定轴转动刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的园周运刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的园周运动动, 且在相同时间内转过相同的角度。且在相同时间内转过相同的角度。特点：特点：v 角位移，角速度和角加速度均角位移，角速度和角加速度均相同相同v 质点在垂直转轴的平面内运动，质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动且作圆周运

3、动.刚体的一般运动可看作：刚体的一般运动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成定轴转动参量刚体转轴1. 角位置转动平面转动平面（包含（包含p并与转轴垂直）并与转轴垂直）(t)(t+t)参考方向刚体中任一点刚体定轴转动的运动方程2. 角位移3. 角速度常量常量静止静止匀角速匀角速变角速变角速4. 角加速度变角加速变角加速常量 匀角加速匀角加速匀角速匀角速用矢量表示 或 时，它们与 刚体的转动方向采用右螺旋定则 公式对比质点直线运动或刚体平动刚 体 的 定 轴 转 动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移匀速直线运动匀速直线运动匀角速定

4、轴转动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变角速定轴转动匀变角速定轴转动绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度Mrv2Mnra 任意点都绕同一轴作圆周运动任意点都绕同一轴作圆周运动, 且且 ， 都相同都相同Mrtaddv单位：rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s匀 变 角 速 定 轴 转 动积分求转动方程任意时刻的恒量且 t = 0 时 得得或匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程例例1在高速旋转圆柱形转

5、子可绕垂直在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它的其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度角速度 ，经，经300 s 后，其转速达到后，其转速达到 18 000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？比问在这段时间内，转子转过多少转？00解解 令令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221ct当当 t =300 s 时时11srad600minr00018322srad7530060022tc2215021tct221ct由由2150ddtt得得tttd150d020在在 300 s 内

6、转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022Nrad4503t刚体转动定律引言质 点的运动定律或刚体平动F = m a惯性质量惯性质量合合 外外 力力合加速度合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量Pz*OFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 F 一力矩一力矩 M 用来描述力对刚体用来描述力对刚体的转动作用的转动作用0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFFzOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力

7、若力 不在转动平面内，把力分不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 F 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩为零，故 对转对转轴的力矩轴的力矩zFFO（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiMxLOMy例例 已知棒长已知棒长 L ,质量质量 M ，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的桌面转动的桌面转动 (如图如图)解解xLMmddgmfdd根据力矩根据力矩xgxLMMddMgLxgxL

8、MML21d0 xdxr TTRMiTT例如例如TRTTRMiT在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算求求 摩擦力对摩擦力对y轴的力矩轴的力矩Ormz二二 转动定律转动定律FtFnFrFMsinmrmaFttM （1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接m2mrM 2tmrrFM2iejjjjrmMM（2）刚体刚体 质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFi外外力矩力矩内内力矩力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM0jijjiijMMM 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合合外力矩外力矩成正比，与刚

9、体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.)rmMjjjj2e(转动定律转动定律IM 2jjjrmI定义转动惯量定义转动惯量OzjmjrjFejFimrId2讨论讨论IM（1）tIIMdd（2）（3） =常量常量M，0转动定律转动定律bIM 转动定律转动定律IM 三转动惯量三转动惯量 I 的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度 . 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm22jjjrmImrId2物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。反映了改变刚体转动状态的难易程度。三、转动惯量三、

10、转动惯量1. 定义定义2. 与转动惯量有关的因素与转动惯量有关的因素刚体的质量及其分布刚体的质量及其分布; ; 转轴的位置转轴的位置; ; 刚体的形状。刚体的形状。在（在（SI）中，中，J 的单位：的单位：kgm2 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的点的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘积之和。乘积之和。3. 转动惯量的计算转动惯量的计算质量离散分布的刚体质量离散分布的刚体2iirmJ 1m 2m 2r1r2i iJmr可视为分立质点结构的刚体转轴 若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则转轴0.75若质量连续分

11、布若质量连续分布dldm dsdm dVdm 质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布线分布线分布体分布体分布面分布面分布 为质量的线密度为质量的线密度 为质量的体密度为质量的体密度 为质量的面密度为质量的面密度注注意意 只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。一般刚体则用实验求其转动惯量。2Jr dm例例1 求长为求长为L 质量为质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。转动惯量。ABLxABL/2L/2Cx解：

12、取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，解：取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，dm =dx121223222mLLdxxJLLC 332302mLLdxxJLA Lm ACJJ与的关系：A,C 相距相距L/222)L(mJJCA 平行轴定理平行轴定理 前例中前例中JC 表示相对质心轴的转动惯量，表示相对质心轴的转动惯量，JA 表表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L /2，有，有：222231411212mLmLmLLmJJCA cd推广推广: 若有任一轴与过质心的轴若有任一轴与过质心的轴平行且相距平行且相距d ，刚体对其转动惯刚体对其转动惯

13、量为量为: , 称为平行轴称为平行轴定理定理。2mdJJC平行轴定理。2mdJJzCz正交轴定理yxzJJJ例题例题 已知匀质矩形薄平板的质量是已知匀质矩形薄平板的质量是m，边长为边长为a和和b（如图），求这薄板对垂直（如图），求这薄板对垂直板面中心板面中心 C 的轴的轴z转动惯量。转动惯量。 dxabyx解：由图可见，矩形板在解：由图可见，矩形板在y方向的尺寸方向的尺寸a不影响不影响J y y。2121mbJy类似地可得类似地可得2121maJx利用利用yxzJJJ薄板的极转动惯量为薄板的极转动惯量为)(12122baJJJyxz例例 求质量为求质量为m 半径为半径为R 的均匀圆环的转动惯量

14、。轴的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。与圆环平面垂直并通过圆心。解解:2202022mRdlRmRdmRJRm p pp p在环上任取一小线元在环上任取一小线元dldlRmdmp p2 ROdm其质量其质量2mRJ 转转动动惯惯量量：均均匀匀圆圆环环的的例例 求质量为求质量为m ，半径为半径为R ，厚为厚为l 的均匀圆盘的转动的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r 宽为宽为dr 的薄圆环的薄圆环lrdrdm p p 2drlrdmrdJ322p p lRdrlrdJJRJ4030212 p pp p 2221m

15、RJlRm p p 可见，转动惯量与可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是的转动惯量也是 。221mRJ zoRrdr 例例 求质量为求质量为m半径为半径为R的匀质薄球壳绕过中的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量。心轴的转动惯量。 sinR d解解: :在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径rRsin224mdmrRdRpp2Jr dm23202sinmRdp 223mR 例例5 5 求质量为求质量为m半径为半径为R的匀质球体绕过球心轴的的匀质球体绕过球心轴的转动惯量。转动惯量。MR解解: :把球体看作无数个同心薄球壳的组合把球体看作无数个同心

16、薄球壳的组合 32443mdmr drRpp233mr drR223JdJr dm4302Rmr drR225mR球体算例匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量 的迭加距 为 、半径为 、微厚为的薄圆盘的转动惯量为其中例例 如图所示，刚体对经过棒如图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？量如何计算？( (棒长为棒长为L , 球球半径为半径为R）231LmJLL 252RmJOOC 22)RL(mJdmJJOOCOOCO 2225231)RL(mRmLmJJJOOLOL LmOm解：解：常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质薄圆盘匀质细直棒匀

17、质细直棒转轴通过中心垂直盘面22J =m R123J =m L1转轴通过端点与棒垂直其它典型匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面J = (a + b ) 22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面J = m R 2匀质细圆环转轴沿着环的直径2J =2m R匀质厚圆筒转轴沿几何轴J = (R1 + R2 ) 22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mJ= R + 22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2J =2m R3转动定律例题一合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 合外力矩 与合角加速度 方向一致。在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。与时刻对应，何时何时则何

18、时 ，则何时恒定恒定。 匀直细杆一端为轴水平静止释放转动定律例题二T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑T2T1G1G2T2T1a a T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a( T2 T1 ) R = J a = R J = m R 22转动平动线-角联立解得a=m1m1+ m2+ gm2m21gT1 = m1 ( g + a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为( T2 T1 ) R Mr= J 再联立求解。转动定律例题三Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度 细绳线加速度 a（

19、A）（B）转动定律例题四Rm1m2mm= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mT2T1T1T2G1G2 aa对对m1m2m分别应用分别应用和和质点运动和刚体转动定律质点运动和刚体转动定律m1 g T1 = m1aT2 m2 g = m2a( T1 T2 ) R = J 及 a = R J = mR221得 =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)故由(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)2 (rad)gt物体从静止开始运动时，滑轮的 转动方程转动定律例题五 从等倾角 处静止释放两匀直细杆地面两者瞬时角加速度之比两者瞬时

20、角加速度之比213 1 1321根据短杆的角加速度大短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关且与匀质直杆的质量无关 0例例 一个飞轮的质量为一个飞轮的质量为69kg ，半径为半径为0.25m, ,正在以每分正在以每分10001000转转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而秒内使它均匀减速而最后停下来最后停下来。已知。已知摩擦系数为摩擦系数为0.46，求闸瓦对轮子的压力求闸瓦对轮子的压力N为为多大？多大？（J = mR2 ）解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度t02rad/s.920 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩

21、擦阻力矩，角加速度为负值。 0Nfr 2mRJNRRfMr 2mRNR NmRN784 st 50 rad/s./710410000 分分转转 例例 在半径为在半径为R,R,质量为质量为M M的均匀薄圆板上的均匀薄圆板上, ,挖出一个直径为挖出一个直径为R R的的圆孔圆孔, ,孔的中心为孔的中心为R/2R/2处处, ,求所剩部分对通过原圆盘中心且与板求所剩部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量面垂直的轴的转动惯量。o oZ Zzo解解 用补偿法用补偿法1I大圆板对大圆板对Z Z轴的转动惯量轴的转动惯量2I被挖圆孔对被挖圆孔对Z Z轴的转动惯量轴的转动惯量21III2121MRI 被挖圆

22、孔质量被挖圆孔质量42.22MRRMmpp计算计算2I用平行轴定理用平行轴定理222mdIIc222221RmRm2323MR21III222321332321MRMRMRZ ZZ Z一、力矩的功一、力矩的功 -力矩的空间积累作用力矩的空间积累作用-力矩的功力矩的功5.3 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理F d rds( sin )sindWF dsFdsFrdMd 21 MdW(sin )sindWF dsFdsFrdMd 合外力矩合外力矩二、力矩的功率二、力矩的功率12,Wtt当时 力矩对刚体作功dtdWtWPlimt 0功对时间的变化率功对时间的变化率s

23、inFrdMd MP 若力矩是恒量若力矩是恒量: M)(MMdW 1221 MtMtWPlimlimtt 00比较：比较：21BAWF drWMd力的功力矩的功P F vP M 力 的 功 率力 矩 的 功 率转动动能刚体中任一质元 的速率该质元的动能对所有质元的动能求和转动惯量 JJ得得21221221212121 J)rm(rmEENiiiNiiiNikik 整个刚体的动能为整个刚体的动能为: :212kEJ刚体刚体转动转动动能动能平动动能平动动能212kEmv转动动能转动动能212kEJ比较：比较：四、定轴转动的动能定理四、定轴转动的动能定理221122211122ddddM JJJJd

24、tddtdWM dJ dJJ 221122211122ddddMJJJJdtddtdWMdJdJJ2122211122ddddMJJJJdtddtdWJ dJJ 221122211122ddddMJJJJdtddtdWMdJdJJ 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理: :合外力矩作的功等于刚体合外力矩作的功等于刚体转转动动能动动能的改变量的改变量. . ddMJJt 外外力矩的功算例拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小总摩擦力矩 是各微环带摩擦元力矩 的积分环带面积环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功得粗 糙 水 平 面转轴平放一圆盘刚体的动能定理

25、回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理由由 力矩的元功力矩的元功转动定律转动定律则则合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量称为动能定理例题一匀质圆盘盘缘另固连一质点水平静止释放通过盘心垂直盘面的水平轴圆盘下摆 时质点 的角速度、切向、法向加速度的大小对系统外力矩的功系统转动动能增量其中得由转动定律得则动能定理例题二外力矩作的总功从水平摆至垂直由得代入得本题利用的关系还可算出此时杆上各点的线速度水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的匀直细杆一端为轴动能定理例题三段，外力矩作正功段，外力矩作负功合外力矩的功从水平摆至垂直由得转轴对质心轴的位移 代入得摆至垂直位置时杆的水平位置静止释放含平动

26、的转动问题机械外力非保守内力矩力力矩动势动势平动转动平动转动系统（轮、绳、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守内力矩力平动转动势平动转动势可求或此外势km1T2T例例10 10 如图所示，滑轮转动惯量为如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgm0.01kgm2 2，半径，半径为为7cm7cm，物体质量为，物体质量为5kg5kg，由一绳与倔强系数，由一绳与倔强系数k=200N/mk=200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。滑轮轴上的摩擦忽略不计。（1 1）当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止）当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而

27、下落的最大距离；而下落的最大距离； （2 2）物体速度达到最大值的位置及最大速率。）物体速度达到最大值的位置及最大速率。求：求：1h:( ),.:解设物体下落最大距离为 开始时物体所在位置为重力势能零点则根据机械能守恒210khmgh22mgh0 49mk. 12122vxTmg TkxTT( ),. 加速度为零时速度最大 设这时物体的速率为下落的距离为则且km1T2Tmgmgkxx0 245mk. 22211v10kxImvmgx22R2:() 根据机械能守恒222mgx - kxv = 1.3m / sI R+ m 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律一一、质点质点绕固定轴绕固定轴转

28、动转动的角动量的角动量( (动量矩动量矩) ) 质点质点m 以速率以速率v 、角速度角速度 绕绕z 轴轴转动转动, , z 轴轴垂直于转动垂直于转动平面平面xoy。定义质点。定义质点m 绕绕z 轴轴的角动量为的角动量为: :xyzOr m vmp vrmvmrprL L方向方向: 如图所示如图所示;大小大小: sinrmvL 由于由于质点质点绕固定轴绕固定轴转动转动, ,则有则有: : 2mrrmvL 12 smkg单位：单位：二二、质点质点的角动量定理的角动量定理及及角动量角动量守恒守恒定定律律由由牛顿第二定律牛顿第二定律: :d pFdt 力矩力矩: :()()d pddrMrFrrppd

29、tdtdt 由于由于: :0drpvmvdt 则则: :()dd LMrpdtdt LddtMdtLdM 或或质点质点的角动量定理的角动量定理: :1221LLdtMtt 质点质点的角动量的角动量守恒守恒定定律律: :。或或则则若若CLLd,M 00冲量矩冲量矩质点系的角动量守恒定律外由若则或恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系若系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量得不论体力强弱，两人等速上升。若系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。刚体的角动量定轴转动刚体的角动量是

30、无数质点对公共转轴的角动量的叠加 所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量其角动量大小全部质元的总角动量对质量连续分布的刚体刚体的角动量定理1.刚体的合外力矩合外力矩角动量的时间变化率角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）冲量矩冲量矩角动量的增量角动量的增量回忆质点的角动量定理（微分形式）（积分形式）刚体系统的角动量定理2.刚体系统的若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体系统的总合外力矩系统的总合外力矩 系统的总角动量的变化率系统的总角动量的变化率系统的总冲量矩系统的总冲量矩系统的总角动量增量系统的总角动量增量角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘

31、积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花 样 滑 冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小共轴系统的角动量守恒共轴系统若外则恒矢量轮、转台与人系统轮人台初态全静初人沿某一转向拨动轮子轮末态人台轮轮末人台人台初得人台人台轮轮导致人台导致人台反向转动反向转动例如例如静止释放求角加速度系统： 轻绳（忽略质量）总合外力矩对O的角动量对O的角动量由得同向而解得例例14 人和转盘的转动惯量为人

32、和转盘的转动惯量为J0 ,哑铃的质量为哑铃的质量为m , 初始转速为初始转速为1 。求：双臂收缩由求：双臂收缩由r1变为变为r2时的角速度及机械能增量。时的角速度及机械能增量。r2r1mmJ01 1解：由角动量守恒解：由角动量守恒2220121022 )mrJ()mrJ( 1220210222 )mrJ()mrJ( 0122221221221220210212102121022220 )mrJmrJ()mrJ()mrJ()mrJ(E 非保守内力作正功非保守内力作正功 ，机械能增加。，机械能增加。解：由角动量守恒解：由角动量守恒摩擦力矩作负摩擦力矩作负功，有机械能功，有机械能损失。损失。例例 两

33、摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为 1、 2 ，求：求：1) 对接后共同的角速度对接后共同的角速度 ; ; 2) 对接过程中的机械能损对接过程中的机械能损失。失。 )JJ(JJ212211 212211JJJJ )JJ()JJ(E222211221212121 )JJ()(JJ21221212 J2J112例例 一质量为一质量为M长度为长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和杆和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘

34、在一起。试求子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。试求: : 1. 碰撞后系统的角速度；碰撞后系统的角速度；2. 碰撞后杆子能上摆的最大角度。碰撞后杆子能上摆的最大角度。 ）LmML43v解：碰撞过程角动量守恒解：碰撞过程角动量守恒 )JJ(LmvMm 43243)L(mJm 231MLJM 223116943MLmLmvL 上摆过程机械能守恒，得：上摆过程机械能守恒，得：)cos(LMg)cos(Lmg)JJ(mM 12143212 gL)Mm)(Mm(vmcosarcmax311692143329122 守恒例题三 满足什么条件时，小球（视为质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小球恰好静止。直棒

35、起摆角速度匀质直棒与单摆小球的质量相等两者共面共转轴水平静止释放静悬弹碰忽略摩擦联立解得0.5771.861对摆球、直棒系统小球下摆阶段水平摆到弹碰即将开始由动能定理得其中 球、棒相碰瞬间在铅垂位置，系统受合外力矩为零，角动量守恒。刚要碰时系统角动量刚碰过后系统角动量球棒球棒弹碰阶段弹碰过程能量守恒棒下摆为加速过程，外力矩为棒下摆为加速过程，外力矩为重力对重力对O 的力矩。的力矩。重力对整个棒的合力矩与全部重力集中重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。作用在质心所产生的力矩一样。解：解： xOmgx例例 一根长为一根长为l 质量为质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆求它由此