医用基础化学第1章ppt课件

1、研究的基础研究的基础 函数函数 极限极限 延续延续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁定义域定义域Dxxfy, )( f ( D ) 称为值域称为值域 函数图形函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy 自变量自变量因变量因变量xy) ,(baDabx)(xfo) 1/() 1(2) 1(22xxyxy与) 12arcsin(41)(2xxxf112042xx402xx)2,0商定商定: : 定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有( (实践实践) )意意义的一切实数值义的一切实数值. ., 23) 1(2xxxf)(xf解：解： 652) 1(3) 1

2、()(22tttttf65)(2xxxf1)(2 xxf)(),(xffxf解：解： 512)2(2f221) 1(1)()(24222xxxxfxff|),(00 xxxx)(2xf)(1xfxy2x1x)(xfy xy2x1x)(xfy )(2xf)(1xfoo 函数函数y=x2y=x2是在其定义域是在其定义域(-,+)(-,+)上是上是偶函数偶函数; ;函数函数y=sinxy=sinx是在其定义域是在其定义域(-,+)(-,+)是奇函数是奇函数; ;函数函数y=sinx+cosxy=sinx+cosx在其定义域在其定义域(-(-,+),+)上非奇非偶上非奇非偶. .偶函数偶函数yx)(

3、xf )(xfy ox-x)(xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy oyxM-My=f(x)I有界有界(2)(2)有界与否是和有界与否是和I I有关的有关的. .(1)(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的当一个函数有界时，它的界是不唯一的. .留意留意: :MxMx cos,sin意一点意一点x,x,存在存在M=1,M=1,使得使得Mx ln界的界的, ,但在闭区间但在闭区间1,21,2上却是有界函数上却是有界函数, ,因为在此区间上能找到因为在此区间上能找到M1,M1,使当使当x1,2x1,2Mx /1xyT/2-T/23T/2-3T/2(1)(1)幂函数幂函数xy

4、 是常数是常数, ,取取值不同函数的值不同函数的定义域不同定义域不同oxy)1 , 1(11xy (2) (2) 指数函数指数函数),(),1, 0(aaayxyxo(3) (3) 对数函数对数函数), 0(),1, 0(log aaxyaxoy(4) (4) 三角函数三角函数正弦函数正弦函数),(,sin xxyo22/32/x2/2/32y1),(,cos xxy余弦函数余弦函数2/51o2/32/x2/2/32y1正切函数正切函数Rxkxxy , 2/,tanyox21232123(5) (5) 反三角函数反三角函数 1 , 1,arcsinxxy反正弦函数反正弦函数xyo1122 1

5、, 1,arcsinxxy 1 , 1,arccos xxy反余弦函数反余弦函数11ox2 1 , 1,arccosxxyy),(,arctan xxy反正切函数反正切函数oxy22,tanarcxxy221mvE gtv 2)(21gtmE 221mvE gtv 例如例如, ,函数函数,arcsinuy ,122xu合函数合函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数但函数22,arcsinxuuy可定义复可定义复不能构成复合函数不能构成复合函数. .1,lg,arcsin xvvuuy例如例如, ,函数函数)1arcsinlg( xy可分解为函数可分解为函数又如函数又如函数22,

6、xuuy 也可分解成：也可分解成：34/ 3,xuuy 4xy 可分解成：可分解成：)1arcsinlg( xnnnaxaxaxp .)(1102/ )(xxee 2/ )(xxee符号函数符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyo11)(1yfx)(1yfx)(1yfx )(1yfx)(1yfx) 1, 0( aaayxyaxlog xay yxalog xyalog 函数函数)(xfy 与其反函数与其反函数)(1xfy的图形关于直线的图形关于直线xy 对称对称 . .例如例如 , ,),(,xeyx与对数函数与对数函数),0(,lnxxy互为反函数互为反函数,

7、,它们都单调递增它们都单调递增, ,其图形关于直线其图形关于直线xy 对称对称. .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo指数函数指数函数)(1yfx)(1xfy 定义域定义域对应规律对应规律2.2.函数的特性函数的特性单调性单调性, ,奇偶性奇偶性, ,有界性有界性, ,周期性周期性3.3.初等函数初等函数1.1.函数的定义及函数的二要素函数的定义及函数的二要素r引例引例: :设有半径为设有半径为r r的圆的圆, ,nA逼近圆面积逼近圆面积S.S.n如下图如下图, ,可知可知nAnnnrcossin2),5,4,3(n当当n n无限增大时无限增大时, , nA无限逼近无

8、限逼近 S. S.用其内接正用其内接正n n边形的面积边形的面积我国古代魏末晋初的杰出数学家我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的他撰写的对对中的方法和公式作了全面的评中的方法和公式作了全面的评 注注, 指出并纠正了其中的错误指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献理论上作出了杰出的贡献 .他的他的 “ 割圆术割圆术 ” 求圆周率求圆周率 “ 割之弥细割之弥细 , 所失弥小所失弥小, 割之又割割之又割 , 以至于不可割以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精确的重要

9、用近似逼近精确的重要极限思想极限思想 . 的方法的方法 :nxxx,.,21nx,.1,.,31,21, 1:1)1 (nnxn ,.11,.,34,23,2:11)2(nnxn 留意：留意： 1.1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. .可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.2.数列是整数函数数列是整数函数),(nfxn . Nn,.,1 , 1, 1:) 1()4(1 nnx,) 1(1 ,32,23, 0:) 1(1)3(nnxnnn nxnxnxnx)(limnAxAxnnn或)( , 01)1 ( nnxn)(,1

10、11)2( nnxn)( , 1) 1(1)3( nnxnn) 1()4(1 nnx,1,43,32,21nn1nnxn)(1n收收 敛敛,.) 1() 1(,.,161,251,412 nn)( , 0 n2) 1() 1( nxnnn2nnx2 0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(x01lim xxoxyxy1自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式: :)(xfy xAxfx)(lim)()(xAxf当0 xx 01sinlim0 xxxxyoxxy1sin0 xx Axfxx)(lim0)()(0 xxAxf当0 xxAxfxx)(lim0Axfxx)

11、(lim00 xx Axfxfxxxx)(lim)(lim00定理定理 左极限左极限: :)(0 xfAxfxx)(lim0右极限右极限: :)(0 xfAxfxx)(lim0定理定理 Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim000, 10, 00,2)(xxxxxxf当当当0)2(lim)(lim00 xxfxx1) 1(lim)(lim00 xxfxx)(lim)(lim00 xfxfxx思考与练习思考与练习: :1.1.若极限若极限)(lim0 xfxx存在存在, ,)()(lim00 xfxfxx作业作业: :是否一定有是否一定有？2.2.设函数设函数)(xf且且)

12、(lim1xfx存在存在, ,那么那么. a31, 121,2xxxxa0 xx0)(lim0 xfxxx0 xxxxsin,2 xxe xx/1留意：留意：1) 1) 无穷小量是一个变量无穷小量是一个变量, ,而不是一个数而不是一个数. .但但0 0可以作为无穷小的唯一一个常数。可以作为无穷小的唯一一个常数。 3 ) 3 ) 此 概 念 对 数 列 极 限 也 适 用此 概 念 对 数 列 极 限 也 适 用 , , 假假设设 , ,称数列称数列 为为 时的无穷时的无穷小。小。0lim nnxnx n2)2)无穷小量与自变量变化过程有关。无穷小量与自变量变化过程有关。0)sin(lim0 x

13、xx阐明阐明: :无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! !0 xx xAxfxxx)(lim)(0或)()(xAxf 0)(lim)(0 xxxx或当当 再如再如: :xx1lim , ,函数函数 x1x时为无穷小时为无穷小; ;0sin.lim0 xxx例如例如: :xxxarctan)./1 (lim 例如例如: :xxxsinlim 0 0 0 x)(xf)(lim)(0 xfxxx或0 xx x0 xx )(lim0 xfxx)(limxfx0 xx2/x假假设设假假设设)(xf 为无穷大为无穷大, ,)(/1xf为无穷小为无穷小; ;)(xf为无穷小为无穷

14、小, ,且且,0)(xf那那么么为无穷大为无穷大. .那那么么0 xx 在在 ( (或或 时时), ), x)(/1xf留意：留意：无穷大是变量无穷大是变量, ,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; ;1. 1. 无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大的定义; ;2. 2. 无穷小定理无穷小定理; ;3. 3. 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系. .一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则1.2.4 1.2.4 极限的运算极限的运算,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA设设)()(limxgxf)(lim)(limxgxfB

15、A【定理【定理4 4】 )()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA其中其中 B0 B0证明证明:.)(lim,)(limBxgAxf ).()(),()(xBxgxAxf 由无穷小运算法则由无穷小运算法则, ,得得)()(xgxf )()(xBxA )()(xBxAAB.0. 0)(, 0)(xx)()(xgxf ABxgxf )()(lim【推论【推论3 3】ACxfCxfC.)(lim)(lim (C(C为常数为常数) )【推论【推论4 4】nnnAxfxf )(lim)(lim(n(n为正整数为正整数) )1.1.设设n n次多项式次多项式,)(110nnnnaxaxaxP

16、那那么么nnxxnxxnxxaxaxaxP 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xPn 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf )52(lim32xxx)52(lim32xxx5lim2)(lim232 xxxx95228 例例8 8 求求 ) 13()52(lim232xxxxx)13()52(lim232 xxxxx, 03) 13(lim22 xxx)13(lim)52(lim2232 xxxxxx339 例例9 9

17、 求求 ) 1/() 12(lim23xxxx) 12/() 1(lim32 xxxx32311211limxxxxx 0 ) 1/() 12(lim23xxxx 为非负常数为非负常数) )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当例例10 10 求求 521lim5 xxx41 521lim5 xxx)21)(5()21)(21(lim5 xxxxx)21)(5()5(lim5 xxxx211lim5 xx1. 1. 极限运算法则极限运算法则(1) (1) 无穷小运算法则无穷小运算法则(2) (2) 极限四则运算法则极限四则

18、运算法则注意使用条件注意使用条件2.2.求分式函数极限求法求分式函数极限求法0) 1xx 时时, ,用代入法用代入法( (分母不为分母不为0)0)0)2xx 时时, ,对对00型型, ,约去公因子约去公因子x)3时时, ,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂1.1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在是否存在 ? ? 为什么为什么 ? ?答答: : 不存在不存在 . . 否则由否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知)(limxg存在存在 , , 与已知条件与已知条件矛盾矛盾. .?321lim2222nn

19、nnnn解解: : 原式原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.2.问问. )1(lim2xxxx解法解法 1 1 原式原式 = =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 2 令令,1xt tttt1111lim2021那那么么原式原式 = =22011limttt111lim20tt 0t.0)1(lim33xaxx解解 : : 令令,1xt 那么那么tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故故1a因此因此二、两个重要极限二、两个重要极限1sinlim. 10 xxx)(),(),(xhxgxf, )()(xhxg)(x

20、fAxhxgxxxx)(lim)(lim00Axfxx)(lim0例例11 11 证明证明1coslim0sinlim00 xxxx；2222sin21cos0222xxxxxx sin00 x2, xx1coslim0sinlim00 xxxx；证明证明)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinADxABxBCx弧于是有.ADO，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BCOAB的高为DCBAx1o圆扇形圆扇形AOB的面积的面积即即xsin21x21xtan21AOB 的面积的面积AOD的面积的面积1sincosxxx1sinlim0 xxx1)(

21、)sin(limsinlim00 xxxxxx1sinlim0 xxx故.tanlim0 xxx解解: : xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01.cos1lim20 xxx解解: :原式原式= =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x21例例14 14 求求xxx1sinlim 练习：求练习：求.arcsinlim0 xxx解解: :令令,arcsin xt 那那么么,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1解：解：, tx 1/xxx1sinlim xxx11sinli

22、m tttsinlim0 1 那那么么ennn)1(lim1.590457182818284.2)1(1nnnn)1(1nennn)1(lim1exxx)1 (lim1,/1 tx 那那么么,)1 (lim10ettt 令令即即exxx1)1 (lim0.)1 (lim10 xxkx解解: : ke xxkx10)1 (lim )()1(0)(1 limkkxxkx 例例16 16 求求xxxx)11(limxxxx)11(lim )121 (lim.)121 (lim2)21( xxxxx)12 .21()121 (lim xxx2e 1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或或e1

23、)1(lim0注注: : 代表相同的表达式代表相同的表达式1. 1. 数列极限存在的夹逼准则数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则填空题填空题( 1( 14 )4 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e,0时xxxxxx1sin,sin,322都是无穷小都是无穷小, ,引例引例: :xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但但 2201sinlimxxxx xx1sinlim0 不存在不存在, ,不可比不可比. .极限不同极限不同, ,

24、反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不同快慢程度不同. .xxxsinlim01 而而 )()0)()(xxx及 中中, ,设设在自变量同一变化过程在自变量同一变化过程)(0 xxx或存在)()(limxx,0)()(lim xx假假设设则称则称是比是比高阶的无穷小高阶的无穷小, ,);()(xox 记作记作,)()(lim xx假假设设则称则称(x)(x)是比是比(x)(x)低阶的无穷小低阶的无穷小; ;假假设设), 1 ,0(lim为常数ccc , ,则称则称(x)(x)与与(x)(x)的同阶的同阶无无穷小穷小; ;特别当特别当c=1c=1时时, ,称称 (x)(x)与与 (x)(x

25、)是等价无穷小是等价无穷小, ,记记)()(xx作作).0()3(2 xxox例如，例如，03lim20 xxxxxx3sinlim0,3120sinlimxxx,，1sinlim0 xxx)0(sinxxx)(o0 x时时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx22)(4x21故故0 x时时, ,xcos1是关于是关于x x的高阶无穷小的高阶无穷小, ,xcos1221x且且又如又如, ,0lim,0, )0(C,1,0limCk1. 1. 无穷小的比较无穷小的比较设设, , 对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷

26、小, ,且且 是是 的高阶无穷小的高阶无穷小 是是 的低阶无穷小的低阶无穷小 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小 是是 的等价无穷小的等价无穷小 是是 的的 k k 阶无穷小阶无穷小,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x常用等价无穷小常用等价无穷小: : 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x0 x0的某一邻域内有定的某一邻域内有定义义, ,当自变量由点当自变量由点x0 x0变到另一点变到另一点x x时时, ,称称x- x- x0 x0值为自变量的增量值为自变量的增量, ,记为记为x=x-x0,x=x-x0,相应相应地地f(x0+x)-f(x0)f(x0

27、+x)-f(x0)值为函数的增量值为函数的增量, ,记为记为y=f(x)-f(x0). y=f(x)-f(x0). 【增量定义】【增量定义】xxx 0, ,故有故有)()(00 xfxxfy )(xfyxoyxy0 x)(0 xfx)(xf【定义【定义1111】)()(lim00 xfxfxx0lim0yx 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在x0 x0点的某一邻域内有定义点的某一邻域内有定义, ,在在x0 x0点给自变量以增量点给自变量以增量x=x-x0 ,x=x-x0 ,相应地函数相应地函数的增量的增量y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0),y=f(x)-f(x0)=f(

28、x0+x)-f(x0),假假设设0lim0 yx , ,则称函数则称函数 y=f(x) y=f(x)在点在点x0 x0连续连续, ,并称并称点点x0 x0为函数为函数f(x)f(x)的连续点的连续点. .【定义【定义1212】 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x0 x0的某一邻域内有定的某一邻域内有定义义, ,若当若当 时时, ,函数函数f(x)f(x)的极限存在且等的极限存在且等于于f(x0),f(x0),即即 则称函数则称函数 y=f(x) y=f(x)在点在点x0 x0连续连续. ., )()(lim00 xfxfxx0 xx 即函数即函数)(xf在点在点0 x(1) (1)

29、 )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) (2) 极限极限)(lim0 xfxx(3)(3)()(lim00 xfxfxx 连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件: :存在存在 ; ;有定义有定义, ,存在存在 ; ;。00limxxxx)lim()()(lim000 xfxfxfxxxx例例17 17 验证函数验证函数y=sinxy=sinx在区间在区间 上是连续上是连续 ,xxxxfxxfysin)sin()()( x在区间在区间 上任取一点上任取一点x,x,当当x x有增量，有增量， ,对应的函数增量为：对应的函数增量为：)cos(sin222xxx)cos(2xx )sin(2

30、x0 x)cos(sin222xxx 0lim0yx, ,所以函数所以函数 ,y=sinxy=sinx在区间在区间 上连续上连续同样可证同样可证: : 函数函数xycos在在),(内连续内连续. .【定义【定义1313】 设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x0 x0的左邻域内的左邻域内(x0+(x0+,x0,x0内有定义内有定义, ,假设假设 , ,则称函数则称函数y=f(x)y=f(x)在点在点x0 x0处左连续。处左连续。)()(lim00 xfxfxx )()(lim00 xfxfxx )()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 0, 10, 00,2)(xxxxxx

31、f当当当)2(lim)(lim00 xxfxx 1 )(lim0 xfx0 ) 1(lim)(lim00 xxfxx),0(f yox121121若若f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上每一点都连续上每一点都连续, ,则称则称 f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)上连续上连续; ;如果如果f(x)f(x)在在x=ax=a点右连续点右连续, ,而而在在x=bx=b点左连续点左连续, ,则称则称f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上连续上连续)()(lim, ),(000 xPxPxxx例如例如, ,nnxaxaaxP10)(在在),(上连续上连续, ,即即: :( (有理整函数有理

32、整函数) )又如又如, ,有理分式函数有理分式函数)(/ )()(xQxPxR 义域内连续。义域内连续。在其定在其定只需只需,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx种情况之一时种情况之一时, ,点点x0 x0为函数为函数f(x)f(x)的间断点的间断点: :(1)(1)函数函数f(x)f(x)0 x在在无定义无定义 ; ;在在在在(2)(2)函数函数f(x)f(x)0 x)(lim0 xfxx不存在不存在; ;(3)(3)函数函数f(x)f(x)0 x)(lim0 xfxx存在存在, ,但但)()(lim00 xfxfxx虽有定义虽有定义, ,但但虽有定义虽有定义, ,且且 根

33、据定义根据定义1212可知可知, ,当函数当函数f(x)f(x)在点在点x0 x0有下列有下列三三11)(2 xxxfyox121121211)(2 xxxf0, 10, 00,2)(xxxxxxf当当当)2(lim)(lim00 xxfxx 1 )(lim0 xfx0 ) 1(lim)(lim00 xxfxxyox1211210, 20, 1)(xxxxf)0(1) 1(lim)(lim00fxxfxxyox12112122x为其无穷间断点为其无穷间断点 . .0 x为其振荡间断点为其振荡间断点 . .xy1sin) 2(xytan) 1 (xytan2xyoxyxy1sin01) 1 (1

34、)(lim1fxfx显然显然1x为其可去间断点。为其可去间断点。1,1,)(21xxxxfy(4)(4)xoy211(5) (5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点。为其跳跃间断点。)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续左连续右连续右连续)(. 1xf0 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式例如例如, ,),( xx cos,sin在在内连续。内连续。xxxxcsc,sec,cot,tan在其定义域内连续。在其定义域内连续。),(xu0 xx axxx)(lim0)

35、()(limafufau xfy0 xx)(af)()(lim0afxfxxau a)(lim)()(lim00 xfafxfxxxx)( xu0 xx )()(lim00 xfxfxx )(0 xu )()(lim00 xxxx 0 xx xfyxxx101coslimeu exxxxxx )1 (limcos)1cos(lim/10/10 xx/1)1cos( xxuuy/ 1)1 (,cos uycos exxx /10)1 (limxe1xe1xueyu/1, xu/ 1 ), 0()0 ,( uey ),( xe1),( .)1 (loglim0 xxax解解: :原式原式xxax1

36、)1 (loglim0ealogaln1练习练习2: 2: 求求.1lim0 xaxx解解: :令令, 1xat那那么么, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln阐明阐明: :当当, ea 时时, ,有有0 xxx)1ln( xex1 xy1sin是由连续函数是由连续函数),(,sin uuy), 0()0 ,( x在在上连续上连续 . .xyoxy1sinxy1sin解：解：,/1 xu 因此因此xy1sin复合而成复合而成, ,), 0()0 ,( x练习练习3 3 求求9x3xlim23x 解：解：66619x3xlim9x3xlim23x23x 21sin2xxexfx0 x 21sin2xxexfx0)0()(lim0 fxfx01sinlim202 xxexx yfx1例如例如, ,xysin在在,22上连续单调递增上连续单调递增, ,其反其反函数函数xyarcsin在在 1,11,1上也连续单调递增上也连续单调递增. .xey 在在),(上连续上连续 单调单调 递增递增, ,其反函数其反函数xyln在在),0(上也连续单调递增上也连续单调递增. .又如又如, , ) 1, 0( aaayx) 1, 0(log aaxya留意留意: :初等函数求极限的方法代入法初等函数求极限的方法代入法: :)()(lim00 x