大学物理5 刚体的转动

1、一、刚体（理想模型）一、刚体（理想模型） 在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。体称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。1. 1. 理想模型；理想模型； 2. 2. 在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移； 3. 3. 内力无穷大的特殊质点系。内力无穷大的特殊质点系。说明：说明：二、刚体的平动和转动二、刚体的平动和转动 平动平动整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿定律整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿定律其中各点的速度、加速度相等，运动轨迹相同其中各点

2、的速度、加速度相等，运动轨迹相同 刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动，叫做平动。如车刀、活塞等。彼止平行的运动，叫做平动。如车刀、活塞等。 转动转动转轴转轴转轴转轴转轴转轴转轴转轴放大放大如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，则称刚如果刚体上的任意一条直线的方位在运动中变了，则称刚体作转动。体作转动。转动的轴线可变也可不变，若轴线固定不动，则称定轴转动。作定轴转动的刚体上的各点，在运动中都绕同一转轴作不同半径的圆周运动。而且，刚体上各点在相同时间内转过相同的角度。刚体的一般运动刚体的一般运动平动和转动（转轴位置变）平动和转动（转

3、轴位置变）轮轴平动轮轴平动车轮绕车轮绕轴转动轴转动转轴平动转轴平动绕轴转动绕轴转动转轴转轴可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成三、定轴转动三、定轴转动 特点特点 刚体中任一点都在垂直于轴的平面内刚体中任一点都在垂直于轴的平面内转轴转轴转轴转轴转轴转轴转轴固定的转动转轴固定的转动同一时刻，各质点的角速度和角加速度相等同一时刻，各质点的角速度和角加速度相等在同一时间间隔内，各质点的角位移相等在同一时间间隔内，各质点的角位移相等作半径不同的圆周运动作半径不同的圆周运动描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量1. 1. 角位置，角位移角位置，角位

4、移运动方程：运动方程：角位置角位置 ：位矢与：位矢与 oxox 轴夹角。轴夹角。角位移角位移 d d ：dt dt 时间内角位置增量。时间内角位置增量。)(t 定轴转动只有两个转动方向。定轴转动只有两个转动方向。位矢从位矢从o x o x 轴逆时针方向转动时角位轴逆时针方向转动时角位置置 为正，反之，为负。为正，反之，为负。规定：规定：3. 3. 线量与角量的关系线量与角量的关系2 rararvrsnt rv 直直v r2. 2. 角速度和角加速度角速度和角加速度tdd 22ddddtt vrs s若若 是定值，刚体的运动称作：匀变速转动（或是定值，刚体的运动称作：匀变速转动（或匀加速转动匀加

5、速转动) )匀角速转动匀角速转动 刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式刚体的定轴转动的公式与一维直线运动的公式相似：相似： 例题例题5-1 飞轮转速为飞轮转速为1800r/min，因制动而均匀，因制动而均匀rad/s 60rad/s601800220 n s 20, 0 t 飞轮均匀减速，为匀变速转动，角加速度为飞轮均匀减速，为匀变速转动，角加速度为20rad/s 3rad/s2060 t 解解 (1) 设设 为初角速度，由题意得为初角速度，由题意得0 10s时飞轮边缘点的线速度和切向与法向加速度。时飞轮边缘点的线速度和切向与法向加速度。10s时飞轮的角速度；时飞轮的角速度；(3)设飞轮半

6、径为设飞轮半径为0.5m，求在，求在t =始到停止转动飞轮转过的转数；始到停止转动飞轮转过的转数；(2)求制动开始后求制动开始后t =地减速，经地减速，经20s停止转动。停止转动。(1)求角加速度和从制动开求角加速度和从制动开rad6002120 att 从开始制动到停止转动飞轮的角位移从开始制动到停止转动飞轮的角位移 及转数及转数N 分分（2）t = 10s 时飞轮的角速度为时飞轮的角速度为rad/s 300 t m/s 71. 4 rv232n2tm/s 10444m/s 71. 4 .rara 相应的切向加速度及法向加速度为相应的切向加速度及法向加速度为（3）t = 10s 时，飞轮边缘

7、上一点的线速度为时，飞轮边缘上一点的线速度为30026002 N别为别为成成的的平平面面内内。组组与与且且在在向向的的右右手手螺螺旋旋方方至至FrFr ,FrM sinrFMFr F0 M/FrF F/F1r2r2211rFrF 21FF FrM MFrdFM 21MMM 2211dFdFMzF0 MFFF kJMJM 写写成成等等式式1转动定律转动定律 JM im im iiiiamfF 内内外外niininiamfF tiititiamfF 2iiiitiiitiitrmramrfrF irim 外外iF内内ifir 2iiiitiitrmrfrF itirFM 外外0 itirF内内力力

8、矩矩和和 )(2iirmM 外外为为刚刚体体所所受受的的合合外外力力矩矩其其中中M JM iririm 2iirmJ 大大小小成成正正比比。的的方方向向一一致致与与大大小小成成正正比比。的的方方向向一一致致与与,MdtdFadtvda FavamF JM 2iirmJ dmrrmJii22 dmrJ2233222211rmrmrmJ JM rdmmFa 22/2/32/2/221213mlxdxxdmxJllllc 202231mldxxdmxJlA 2mdJJcB 22222)2(4112131mdlmmlmlmlJJCA （2mrJ rr221mrJ r221mrJ 1r2r)(22221

9、rrmJ 221mrJ rrl12422mlmrJ 122mlJ ll32mlJ r2252mrJ r2232mrJ dxdmlm sinxr 2212122sin)sin(22mldxxdmrJlllm 2 2121mlJ 2mdJJoo 2222121)sin(sin lmml 2231sinml 23203222mRRmRdRdmRJ 2403221212mRRdrrdmrJR 22222221)34(81)34(2123)2(212321RmMrmMmrrMmrMRJJJ av v Mmmghv 24rrvMmmgh 24 )2(2mMmga mgvmMavt2)2(00 2. 转动定

10、律的应用转动定律的应用基本步骤：基本步骤： 隔离法选择研究对象；隔离法选择研究对象； 质点受力分析和刚体受力矩分析；质点受力分析和刚体受力矩分析； 对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律；对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律； 建立角量与线量的关系，求解方程；建立角量与线量的关系，求解方程； 结果分析及讨论。结果分析及讨论。 )31(cos22mllmg cos23lg 2 cos2lmgM lg sin3 0,3 lgm dlgd 00cos23 cos23lgdddtddddtd 圆盘以圆盘以 0 0 在桌面上转动在桌面上转动, ,受摩擦力而静止受摩擦力而静止解解rrsmd2ddmgrf

11、rMdddmgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d43d000gRttgRt430例例求求 到圆盘静止所需时间到圆盘静止所需时间取一质元取一质元由转动定律由转动定律摩擦力矩摩擦力矩0R221 JEk 转动动能转动动能 2222121 iiiikrmvmE2222121 iirmvmEiiki cosFdssdFdw sincos rdds dFrdwsin MddWFrM sin力力矩矩的的大大小小又又21222121212121 JJdJddtdJMddWW 2122212121 JJMdW 即即F21222121 JJW 力力矩矩转转力力矩矩kEW 2122212121

12、JJMdW 021)2sin(220 Jdlmg22)31(21sin2 mlmgl lg sin3 cos23)sin3(lglgdddddtddtd 2 21EE ,恒恒量量转转 pkEE为质心处的势能为质心处的势能cpmghE )sin2(02 lmgEk sin2)31(2122lmgml lg sin3 sin2l例例：一个质量为：一个质量为m m0 0半径为半径为的定滑轮的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为为m m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求

13、物体物体m m由静止下落高度由静止下落高度h h时的速度。时的速度。RmTgm0gmT0mhN解解：根据机械能守恒定律：根据机械能守恒定律：22v2121mJmgh 024mmmghR vv 可可解解出出 2021 RmJ地球、滑轮、物体地球、滑轮、物体m m系统中只有内力重力做功，系统中只有内力重力做功，所以滑轮质心动能与物体所以滑轮质心动能与物体m m的动能的动能 、势能之和是、势能之和是恒量。恒量。例、例、 如图，滑轮的转动惯量如图，滑轮的转动惯量J J、半径、半径r r，物体的质量，物体的质量m m，弹簧劲，弹簧劲度度k k，由轻绳连接，绳和滑轮间无相对滑动，滑轮轴的摩擦不，由轻绳连接

14、，绳和滑轮间无相对滑动，滑轮轴的摩擦不计，（计，（1 1）在弹簧自然伸长时将物体由静止释放而下落的最大）在弹簧自然伸长时将物体由静止释放而下落的最大距离距离x x1 1；（；（2 2）物体的最大速度）物体的最大速度v v0 0及位置及位置x x0 0。解：（1 1）以弹簧、物体、滑轮为研究对象，以弹簧、物体、滑轮为研究对象，物体下落时系统机械能守恒，有：物体下落时系统机械能守恒，有：21121kxmgx kmgx21（2 2）物体与滑轮受力如图，）物体与滑轮受力如图，当物体的速度达最大当物体的速度达最大v v0 0时，有时，有00a则有则有kmgxmgkx00物体下落至物体下落至x x0 0过

15、程系统机械能守恒，过程系统机械能守恒，有：有：RvkxJmvmgx002020200212121 得得)(120RJmkmgv x0Ep=0图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转装在转动架上，转轴动架上，转轴Z上装一半径为上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。的重物。重物下落时，由绳带动被测物体重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕绕 Z 轴转动。今测得轴转动。今测得重物由静止下落一段距离重物由静止下落一段距离 h，所用时间为，所用

16、时间为t，例例解解 01PE01kE22222/J/mEZkv)2()(222r/JmrZv分析（机械能）：分析（机械能）： mghEP2求求 物体物体A对对Z 轴的转动惯量轴的转动惯量Jz。设绳子。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。处的摩擦力矩忽略不计。)(2222ZJmrrmghv)(21dd2dd22ZJmrrtthmgvvatthddddvv，) 12(22hgtmrJZ22222121tJmrmgrathZ常量ZJmrmgra220)2()(222r/JmrmghZv机械能守恒机械能守恒prL L rv sin,rmvL大大小小为

17、为为为矢矢量量rp1sin90 L = P r = m v rdtPdrdtPdrPdtrddtPrddtLd )()0( vmvpdtrddtpdrdtLd LLLdtM 0dtLdM 12LLLddtM dtPdF dtpdrFrM dtpdrdtLd 又又1212)(vrrv gmTN JrrmvrmLiiiiiiii JL dtdLdtJddtdJJM )( L ivLirdtdLM 112212 JJLLdLdtM 常常量量 0)( JJL mrmrJL 2刚刚体体 JmrmrL 2质质点点0 iM0 iM J0 iM 当当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒变形体所受合外

18、力矩为零时，变形体的动量矩也守恒 常量tJ tJ tJ 222214121)2(21mRMRRmMRJ 22221mRMRJ 222122)21()4121( mRMRmRMR 12422 mMmM R/2R/20 2Rvv2)0(0或或 iMR/2R/20 0vv222Rv 2412mR Rv 221mR 2)2(412Rm 221mR2412mR 0 2)2(412Rm 0 0 )22()2(42)(4221222RvRmRvRmmR 0 020202)2(424221 RmRmmRR/2R/20 0vv2例例3 3、一根长为一根长为 l l、质量为、质量为M M的均匀细直棒，其的均匀细直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一子弹质量为一子弹质量