二次函数概念公开课

1、第第2222章章 二二 次次 函函 数数 在一个变化过程中在一个变化过程中, ,如果有两个变量如果有两个变量x x与与y, y, 并且对于其中一个变量并且对于其中一个变量x取定一个值时取定一个值时, ,另一个变另一个变量量y y都有唯一确定的值与其对应都有唯一确定的值与其对应, ,那么就说那么就说y y是是x x的的函数函数, x, x是自变量是自变量. .函数函数一次函数一次函数y=kx+b (k0)y=kx+b (k0)( (正比例函数正比例函数) ) y=kx y=kx (k0)(k0)函数函数: :目前，我们已经学习了那几种类型的函数？目前，我们已经学习了那几种类型的函数？篮球运行的路

2、线是什么曲线？篮球运行的路线是什么曲线？问题问题1： 正方体的六个面是全等的正方形正方体的六个面是全等的正方形,设正方设正方形的棱长为形的棱长为x,表面积为表面积为y,显然对于显然对于x的每一个值的每一个值,y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的函数的函数,它们的具体关系可它们的具体关系可以表示为以表示为 y=6x2问题问题2：多边形的对角线数多边形的对角线数d d与边数与边数n n有什么关系？有什么关系？由图可以想出由图可以想出,如果多边形有如果多边形有n条边条边,那么它有那么它有 个顶点个顶点,从从一个顶点出发一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点连接与这点不相邻的各顶点,可以作可

3、以作 条条对角线对角线.n(n-3) 因为像线段因为像线段MN与与NM那样那样,连连接相同两顶点的对角线是同一条接相同两顶点的对角线是同一条对角线对角线,所以多边形的对角线总数所以多边形的对角线总数MN321nnd即即nnd23212 式表示了多边形的式表示了多边形的对角线数对角线数d与边数与边数n之之间的关系间的关系,对于对于n的每一的每一个值个值,d都有一个对应值都有一个对应值,即即d是是n的函数的函数. 问题问题3： 某工厂一种产品今年的年产量是某工厂一种产品今年的年产量是2020件件, ,计划明后两年增加产量计划明后两年增加产量. .如果每年的增长率为如果每年的增长率为x x, ,那么

4、两年后这种产品的产量那么两年后这种产品的产量y y将随计划所定的将随计划所定的x x的值而确定的值而确定, ,y y与与x x之间的关系应怎样表示？之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是这种产品的原产量是20件件, 一年后的产量是一年后的产量是 件件,再经过一年后的产量是再经过一年后的产量是 件件,即两即两年后的产量为年后的产量为20(1+x)20(1+x)2xy1202即即xxy2040202 式表示了两年后的产量式表示了两年后的产量y与增长率与增长率x之间的关系之间的关系,对于对于x的每一个值的每一个值, y都有一个对应值都有一个对应值,即即y是是x的函数的函数.函数有什么共同点函数有

5、什么共同点? 观察观察 y是是x的函数吗？的函数吗？y是是x的一次函数？的一次函数？y=6x2ndn23221xxy2040202 在上面的问题中在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式函数都是用自变量的二次式表示的表示的,2、定义：一般地，形如、定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)的函数叫做的函数叫做x的二次函数。的二次函数。（1）等号左边是变量）等号左边是变量y，右边是关于自变，右边是关于自变量量x的的（3 ）等式的右边最高次数为）等式的右边最高次数为 ，可以没有，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。一次项和常数项，但不能没有二次项。注意注意：（2）

6、a,b,c为常数，且为常数，且（4）二次式二次式a0.2二次函数的一般形式二次函数的一般形式:yax2bxc (其中其中a、b、c是常数是常数,a0)其中其中x是自变量，是自变量，a为二次项系数，为二次项系数，ax2叫做二次项，叫做二次项，b为一次项系数，为一次项系数，bx叫做一次项，叫做一次项，c为常数项。为常数项。二次函数的特殊形式二次函数的特殊形式： 当当b0时，时， yax2c 当当c0时，时， yax2bx 当当b0，c0时，时， yax21 1、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？2) 1()2)(2()5(xxxyxxy1)2(232)4(2xxy 23)

7、1 (2 xy( )( )( ) 否否 是是否否否否( )3)(2()3(xxy是是( )练习：练习： 1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项数、常数项（1） y=-x2+58x-112（2）y=x22、指出下列函数、指出下列函数y=ax+bx+c中的中的a、b、c（1） y=-3x2-x-1（3） y=x(1+x)（2） y=5x2-6例例1 1、下列函数中，哪些是二次函数？若是、下列函数中，哪些是二次函数？若是, ,分别指出二次项系数分别指出二次项系数, ,一次项系数一次项系数, ,常数项常数项. . （1）y=3(x-1)+1 (2)

8、y=x+ (3)s=3-2t (4)y=(x+3)-x (5)y= -x (6)v=10 r1x_x1_解解: y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即即y=3x2-6x+4是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:3-64(2) y=x+1x_不是二次函数不是二次函数.(3) s=3-2t是二次函数是二次函数.二次项系数二次项系数:一次项系数一次项系数:常数项常数项:-203(4) y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2即即y=6x+9不是二次函数不是二次函数. 二次项系数二次项系数: 一次项系数一次项系数: 常数项常

9、数项:1000 不是二次函数不是二次函数.(5)y= -xx1_ (6) v=10 r 是二次函数是二次函数.22(9)(2)4ymxmxm例：若函数是二次函数，求 的取值范围。解：解：092mm3的取值范围。求是二次函数，若函数mxxmmy4)43(22解：解：0432 mmm1m422(1)mmymxm例：若函数关于x是二次函数，求 的取值范围。01222mmm112mmm或2mm的取值范围是例例2. 2. (1) m(1) m取什么值时取什么值时, ,此函数是正比例函数此函数是正比例函数? ?(2) m(2) m取什么值时取什么值时, ,此函数是二次函数此函数是二次函数? ?练习练习1.

10、函数函数 是二次函数，是二次函数， 求求m的值。的值。1) 1(2mxxmymm273mymx-=+()1.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径, ,写出它写出它的表面积的表面积 s 与半径与半径 r 之间的关系式之间的关系式.2. n2. n支球队参加比赛支球队参加比赛, ,每两队之间进行每两队之间进行一场比赛一场比赛, ,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 m m与球队与球队数数 n n 之间的关系式之间的关系式. .S=4r2 121nnm即即nnm212123 3、菱形的两条对角线的和为、菱形的两条对角线的和为26cm26cm，求菱，求菱形的面积与一对角线形的面积与一对角线x

11、之间的函数的关之间的函数的关系？系？211261322sxxxx=-= -+()解：它是s关于x的二次函数例题例题: : 正方形铁片边长为正方形铁片边长为15cm15cm，在四个角上各剪，在四个角上各剪去一个边长为去一个边长为x(cm)x(cm)的小正方形，用余下的部分的小正方形，用余下的部分做一个无盖的盒子做一个无盖的盒子（1 1）求盒子的表面积）求盒子的表面积S S与小正方形边长与小正方形边长x x之间的函之间的函数关系式；并直接写出数关系式；并直接写出x x的取值范围。的取值范围。1515xxxx（3 3）当表面积为）当表面积为125cm125cm2 2时，求小正方形的边长时，求小正方形

12、的边长. .（2 2）当小正方形边长为）当小正方形边长为3cm3cm时，时， 求盒子的表面积。求盒子的表面积。1、下列函数中，（、下列函数中，（x是自变量），是二次函数是自变量），是二次函数的为的为( )A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1C y=x2 DC21yx=2.函数函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数是二次函数的条件是的条件是( )A m,n是常数是常数,且且m0 B m,n是常数是常数,且且n0C m,n是常数是常数,且且mn D m,n为任何实数为任何实数C3.如果函数如果函数 是关于是关于x二次函数二次函数,则则k的值是的值是_ 023231kkykx

13、kx-+=-+() 4 4：要用长为：要用长为20m20m的铁栏杆，一面靠墙的铁栏杆，一面靠墙（墙足够长）（墙足够长） ，围成一个矩形的花圃，围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边设垂直于墙的一边AB AB 的长为的长为xm m，矩形的，矩形的面积为面积为y m m2 2 ，求：，求：(1) 写出写出y关于关于x的函数关的函数关系系式式. (2) 当当x=3时时,矩形的面积为多少矩形的面积为多少?A DB C(1)(202 )yxx解：2220 xx222 320 3 42ym (2)当当x=3=3时时(ox10)当当x3时，矩形的面积为时，矩形的面积为42m2。回味无穷回味无穷小结小结 拓展拓展 1. 1.定义：一般地定义：一般地, ,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的二次函数的二次函数. .其中其中, ,是是x x自变量自变量,a,b,c,a,b,c分别分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. .y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式: :(1)y=ax(1)y=a