高数1期中模拟答案151101

1、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 _.302050(21) (32)lim(21)xxxx 2. 已知已知a _.2 1. 则则3. 已知已知在在0 x 处连续处连续, 则则k _.2 limlim1201,xxaxe203( )2210( )0 xexf xxkx x 3/. 函数函数3223121yxxx在区间在区间 3,4 上的最大值为上的最大值为_，最小值为最小值为_.(4)129f (1)6f 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 321)(2 xxxxf函数函数的连续区间是的连续区间是 _间断点是间断点是4. _), 3()3 , 1 3 x5. 曲线曲线342lnyyx_

2、在点在点(1,1) 处的切线方程为处的切线方程为4510 xy法线斜率为法线斜率为_45 6. 已知已知211arctanln2,xyex 则则_dy 2121(2)1xxedxx ),(sin2xfy 22(sin)sincosfxxxdx 7. 已知已知则则_ dy )(ufy 可微，且可微，且上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9. 设物体的运动规律为设物体的运动规律为则在第则在第4秒末秒末,物体物体米米,加速度为加速度为3ts _.24(ln3)3 的速度为的速度为43ln3 _ ，),(2xfy 8. 已知已知则则_ y )(ufy 二阶可导，且二阶可导，且)(4)(2222xf

3、xxf 10. 函数函数3( )2f xxx在闭区间上在闭区间上0,1满足拉格朗日满足拉格朗日定理的条件，其结论中的定理的条件，其结论中的 _.33函数函数11. 在区间在区间上满足上满足Roll中值定理的中值定理的 _.2xxfsinln)( 65,6 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 _,43在点在点(1,2)处的曲率为处的曲率为14. 曲线曲线2624yxx _.34曲率半径为曲率半径为( )(1)(2)(3)(4)(5),f xxxxxx 则方程则方程 正好有正好有 个实根个实根.函数函数13. 4曲线曲线2211xxeye 15. 0)( xf渐近线为渐近线为:1,y 0 x

4、_ 水平渐近线水平渐近线铅直渐近线铅直渐近线;111lim22 xxxee 2211lim0 xxxee上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17. 设设（ ）.1121,0( )211,0 xxxf xx 在在0 x 为为f(x)的的A. 连续点连续点;CB. 可去间断点可去间断点;C. 跳跃间断点跳跃间断点;D. 无穷间断点无穷间断点.16. 下列极限中存在的是下列极限中存在的是1lim2 ;xx 11lim;1xx limarctan ;xx 01limsin;xxlim arctanxx 10lim2 ;xxA. B. C. D. E. F. （ ）.D、F上页上页 下页下页 返回返

5、回 结束结束 sinlimxxAx1 1sin( lim1xxx sin !lim!nnBn 1 1limsin1xCxx 01limsin1xDxx 1) 18. 下列极限计算正确的是下列极限计算正确的是 （ ）.C在区间在区间 1, 1 上满足罗尔定理条件的函数是上满足罗尔定理条件的函数是 19. 32xxf xxxfsin1 xexxf2 41xxf xxf xxftan A. B. C. D. E. F. )1ln()(2xxf G. （ ）C、E上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20.设设（ ）.22.设设 fxxa 的导数在的导数在( )lim1,xafxxa 则则（ ）.A

6、. 零点零点;DBB. 驻点驻点;C. 极值点极值点;D. 以上都不是以上都不是.连续连续,又又A. x=a 为极小值点为极小值点;B. x=a 为极大值点为极大值点;C. (a , f(a)是曲线的拐点是曲线的拐点;D. x=a 不是极值点不是极值点, (a , f(a)也不是曲线的拐点也不是曲线的拐点. fx可导可导,0lim( )1xfx 且且，则，则是函数是函数的的 0 x fx21.设设 fx二阶可导二阶可导,0)0( f1)(lim0 xfx)0(f且且,则则（ ）.AA. 是是极小值极小值;D. 不一定是不一定是极值极值C. 不是不是极值极值;B. 是是极大值极大值;上页上页 下

7、页下页 返回返回 结束结束 1.20sinlimxxxx x 16 求极限求极限2201sinlim1(1)xxxxex e 20sinlim(1)xxxxx e 解解:原式原式=201coslim3xxx 22012lim3xxx 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.求极限求极限解解: 原式原式=xxxx232lim 31053351lim xxxxx310lim xxxe.10e 310lim53351lim xxxxxx另解另解: 原式原式=xxxxx22)31()21(lim 6342)31()21(lim xxxxx64 ee.10e 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

8、3.设设 存在且存在且解解:)(lim2143)(1222xfxxxxxfx )(lim1xfx求求 .)(lim1xfx令令,)(lim1axfx 等式两边同时取极限得等式两边同时取极限得aa225 axxxxxf2222143)( 则则 axxxxxfxx222112143lim)(lim25)(lim1 xfx即即 25 a上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4.1xyxexyee 设设求求0.xy 解解:0 方程两边对方程两边对 x 求导，得求导，得解得解得xxyxyeyeex y =1 , x = 0 时时0yx 1 01xxyxxyyeyeex y xyy 01)(xyy 由方

9、程由方程 所确定所确定 ()xyexy yxy xe 即即0 (1)xyey yxy xe 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5.设有参数方程设有参数方程222,tdyd ydxdx 求求21,cosxtyt 解解:dydx sin2tt sintdt 2tdt2(cos )(1)dtdt (cos ) t dt 2(1)tdt 2tdydx 2sin2ttt 1 22d ydx ()dydxddx sin()2tdtt 2(1)tdt 2sin2(1)tdtdt 21 cossin2tttdtt 3sincos4tttt 2tdt上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6.解解:)(x

10、f1 x, 312)(lim1 xxfx).1(f 设设在在处连续，且处连续，且 求求(1)f1lim ( )2xf x 1( )2lim(1)(1)xf xxx 0 301( )(1)(1)lim1xf xffx 1( )2lim1xf xx 3 11( )2lim(1) lim(1)xxf xxx 1lim( )2xf x)(xf1 x在在处连续，处连续，1lim( )2xf x 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7.已知已知2,0( )(1),0axexf xbxx 在点在点x=0可导可导,求常数求常数a , b.解解:因为因为f (x)在点在点x= 0可导可导, 所以所以f (x

11、)在点在点x=0 连续连续,(00)f0limx 2(1)bx b (00)f0limx axe1 (0)fb 1b 及及).(xf (0)f 0( )(0)lim0 xf xfx 0limx 2(1)bx b x0lim ()xbx 0 (0)f 0( )(0)lim0 xf xfx 0limx axeb x0limx axe1 xa 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2,0( )(1),0axexf xbxx (0)0f (0)fa 0a0 ,1 .ab 即即:21,0( )1,0 xf xxx 从而从而0 ,0( )2,0 xfxx x 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8某

12、船由一绳索牵引靠岸，绞盘位于岸边比船头某船由一绳索牵引靠岸，绞盘位于岸边比船头高高4 4米处，绳索在绞盘上卷绕的速率是米处，绳索在绞盘上卷绕的速率是3 3米米/ /秒问船距秒问船距岸边岸边3 3米处的速率是多少？米处的速率是多少？船头船头解解 设时刻设时刻 t 船距岸边的距离船距岸边的距离为为 x m,船距绞盘的距离为船距绞盘的距离为 y , 则则2216xy两边关于两边关于t t求导求导： 22dxdyxydtdt dxy dydtx dtdxdt33xdydt y dyx dt 33xdydt 5353 x = 3m 时时,5my 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解 设时刻设时刻

13、 t 同心波纹的半径为同心波纹的半径为R ，扰动水面的面积为，扰动水面的面积为S 则则两边关于两边关于t t求导求导： 12mR 落在平静水面上的石头产生同心波纹，若最外一落在平静水面上的石头产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是圈波半径的增大率总是6米米/秒，问在秒，问在2秒末扰动水面秒末扰动水面面积的增大率为多少？面积的增大率为多少？练习练习:2RS dtdRRdtdS 2 smdtdR/6 2st 时时,222 ttdtdRRdtdS )/(14461222sm 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的单调区间、极值、凹凸和拐点的单调区间、极值、凹凸和拐点.9. 求曲线求曲线lny

14、xx 解解:( )y x 时时,( )0;fx 2xe x( )fx ( )f x2e 02(0 ,)e 2(,)e 故故f (x)在区间在区间2(0,e f (x) 的定义域为的定义域为(0,) 11ln2xxxxln22xx 列表讨论列表讨论:12e 上上单调减少单调减少;在区间在区间2,)e 上上单调增加单调增加.1( )2f xe 极极小小上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令( )0fx 得得1,x 列表讨论列表讨论:曲线在曲线在(0,1上是凸的上是凸的,上是凹的上是凹的,点点是拐点是拐点.在在(1,0)x( )fx ( )f x(0,1)01(1,) 0( )fx ln4xx

15、x 1 ， ）11221(ln2)2xxx 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10. 解解:yxaxbxc 3233yx 设设点点(1,0)与直线与直线相切，求常数相切，求常数a,b,c的值的值.在在 处取得极值，处取得极值，2 x且在且在232yxaxb 由题意，有由题意，有y (1)0y ( 2)0y (1)3ababcab 124010323解得解得,abc 186 即即上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11. 在曲线在曲线21(0)yxx上求一点上求一点,M使得曲线在点使得曲线在点M处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小 解解: : 如

16、图如图, ,Yxx Xx 2(1)2 (),TxyoMABC则切线则切线MT为为令令设所求切点为设所求切点为M ( x, ),0,Y 得得x轴上截距轴上截距21,2xXx 0,X 21,Yx 所围三角形面积为：所围三角形面积为：( )S x (0).x 22(1)4xx 得得y轴上截距轴上截距x 21上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( )S x 解得解得1,3x 1.3x 所所以以为为最最大大值值点点令令222(1)(31)4xxx0, 舍舍去去().13x 曲线上点曲线上点即即12(, )33为所求点为所求点.由于三角形面积的最小值存在，由于三角形面积的最小值存在，( )S x (0

17、).x 22(1)4xx 为为且且x 13), 0( 内内唯一驻点，唯一驻点，上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在闭区间在闭区间0,1上连续，上连续，12. 设函数设函数( )f x(0)(1)0,ff 求证：至少存在一点求证：至少存在一点 (0, 1), ( )1.f 使得使得在开区间（在开区间（0,1）内）内可导，且可导，且1( )1.2f F xf xx ( )( ),Ff (1)(1)110Ff 1111( )0,22221, 1 ,2 ( )0F (0)0,F (0,)(0, 1), ( )0F ( )1f 令令, 由零点定理由零点定理, 存在存在使使又又使使即即证明证明F(x

18、)在闭区间在闭区间0,1上连续，上连续，故至少存在一点故至少存在一点Rolle定理条件定理条件, F(x)在区间在区间0, 上满足上满足 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (0)(1),ff 证明：证明：( )F x 13.函数函数f (x)在闭区间在闭区间0,1上连续，且上连续，且证明在闭区间证明在闭区间0,1内至少存在一点内至少存在一点设设1()( ),2f xf x由由f (x)在闭区间在闭区间0,1上连续，上连续，101,2x11,22x1():2f x ( ):f x01,x在在上上连连续续1()0,.2F x所以，所以，(0)F 1( )(0),2ff 1( )2F 1(1)( )2ff 1(0)( ),2ff1()( ).2f f ，使得使得上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 讨论讨论: :1(0)( )0,2FF10, 1( )(0),2ff (1)若若则则则存在则存在21,2 使得使得12()()0,F