高等数学-求导法则

1、第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()

2、(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .)0)(xv机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(

3、xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,(2)vuvuvu )(证证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xy

4、y 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2v

5、vCvC机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此

6、,)()(的反函数为设yxxfy在)(y0 )(y且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(y11 )(y11机动 目录 上页 下页 返回 结束 1例例3. 求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 设, )

7、1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结小结:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且dxduduyxyxgufxyddd)()(dd或在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可

8、导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4的导数求函数1021 xy992102201dy duyuxx xdu dx 则, 1,210 xuuy机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:设也可以这样写 992229210111012201yxxxxx x

9、 例例5. 求下列导数:. )()3(;)()2(;)() 1 (xxaxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)aaaxeeaxaxaxxln)ln()()(lnln机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 x 例例6. 设, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同机动 目录 上

10、页 下页 返回 结束 , )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 1gxyeg x求的导数，其中函数可导11gxyegx 1122111ggxxgxegexxx 解：解： 例例7. 111gxegxx四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxl

11、n1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,uyddxudd且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x11

12、2xx例例10.设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结求导公式及求导法则 (见 P95)注意注意: 1),)(vuuvvuvu3) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 ，不要

13、重复不要遗漏。机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 反函数的求导法则反函数的求导法则(注意成立的条件）注意成立的条件）1. 设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求下列函数的导数解解: (1)xxexxxxeyarctan2arctan1212111(2).lnlnln)2(,) 1 (arctanxyeyxxxxxxxylnlnln11ln1lnln1

14、机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 讨论函数点连续故函数在0 x处的连续性和可导性在00001sin2xxxxxy 001sinlimlim200fxxxfxx 01sinlim1sinlim00lim00200 xxxxxxfxffxxx又机动 目录 上页 下页 返回

15、 结束 解解点可导故函数在0 x 00sinlimlim00fxxfxx 000sin0limlim10 xxf xfxfxx 000sin0limlim10 xxf xfxfxx点的连续性和可导性在0sinxxy错解所以函数在正确解法 0sinlimlim00 xxfxx连续0 x5）机动 目录 上页 下页 返回 结束 又 处不可导。在故0sin,00 xxyff所以函数在0 x连续6. 设函数 111，可导，有在要使函数ffxxf 1limlim111fxfxfxxfxx处连续，在解：要使函数 211lim11lim1211xxxfxffxx112xbaxxxy 应取什么值？处连续且可导，在为了使函数baxxf,1ba1即机动 目录 上页 下页 返回 结束 axxaxbaxxfxffxxx11lim11lim11lim111112ba，故 1sinlim00lim000 xxxfxffxx 1lim00lim000 xxxfxffxx 10,00fff故由于 xfxxxxxf00sin求错解正确解法 010cosxxxxf7）已知已知机动 目录 上页 下页 返回 结束 010cosxxxxf6. 设函数 条件既非充分条件又非必要必要条件但非充分条件存在左导数存在，右导数不左右导数