二阶电路的零输入响应

1、4-5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应提出提出问题问题解决问题解决问题结果分析结果分析 本节主要讨论本节主要讨论RLC串联电路零输入串联电路零输入响应的求解方法及其性质。响应的求解方法及其性质。 二阶电路的零输入响应提出问题提出问题解决问题解决问题结果分析结果分析1.换路前，在换路前，在t0时，开关时，开关S1断开、断开、S2闭合。求此时电容闭合。求此时电容电压电压u(t)和电感电流和电感电流i (t)。 二阶电路的零输入响应2、换路后，开关、换路后，开关S1断开、断开、S2闭合。闭合。(t0)。此时此时RLC串联串联形成一个回路形成一个回路。1、换路前，开关、换

2、路前，开关S1闭合，闭合， S2断开断开(t0) 。R Us + (t=0) i(t) S1 L C S2 + u(t) 提出问题提出问题解决问题解决问题结果分析结果分析二阶电路的零输入响应讨论：电路稳定状态时讨论：电路稳定状态时1 1、电容电流为零，该支、电容电流为零，该支路相当于开路；路相当于开路；2 2、电感电压为零，该支、电感电压为零，该支路相当于短路。路相当于短路。u (0_)= 0i (0_)=US/R=I0 R Us + (t0) i(t) S1 L C S2 + u(t) 提出问题提出问题解决问题解决问题结果分析结果分析二阶电路的零输入响应开关在开关在t=0时换路，时换路， S

3、1断开、断开、S2闭合。闭合。t0, RLC串联形成一个串联形成一个回路，电压回路，电压u、电流电流i即为即为零输零输入响应入响应(zero-input response)。提出问题提出问题解决问题解决问题结果分析结果分析 R Us + (t0) i(t) S1 L C S2 + u(t) 二阶电路的零输入响应列微分方程列微分方程解微分方程解微分方程结果结果提出问题提出问题解决问题解决问题结果分析结果分析二阶电路的零输入响应0diKVL : Ri+ L+ u =dtduVCR :i = Cdt初始条件初始条件(initial condition )022d uduLC+ RC+ u =dtdt

4、提出问题提出问题解决问题解决问题结果分析结果分析列微分方程列微分方程解微分方程解微分方程结果结果输入输出方程输入输出方程(input-output equation)0(0 )(0 )IiuCC (0 )(0 )0uu二阶电路的零输入响应列微分方程列微分方程解微分方程解微分方程结果结果解：特征方程解：特征方程 (characteristic equation) LC s2+RC s+1=0 提出问题提出问题解决问题解决问题结果分析结果分析022d uduLC+ RC+ u =dtdt212()42122RCRCLCsLCRRLLLC 特征根特征根( (即电路的自然频率即电路的自然频率) )为为

5、 22122RRsLLLC 二阶电路的零输入响应列微分方程列微分方程解微分方程解微分方程结果结果提出问题提出问题解决问题解决问题结果分析结果分析21,2122RRsLLLC 令令 012defdefRLLC22102220ss 二阶电路的零输入响应列微分方程列微分方程解微分方程解微分方程结果结果为不等的负实根、210),2(, 0. 1ssCLRR为一对共轭虚根、21, 0. 4ssR 实重根、210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭复根、210),2(, 0. 3ssCLRR提出问题提出问题解决问题解决问题结果分析结果分析参数不同时，参数不同时，S1，S2为：为：22102220ss

6、 二阶电路的零输入响应列微分方程列微分方程解微分方程解微分方程结果结果提出问题提出问题解决问题解决问题结果分析结果分析二阶电路的零输入响应1212( )s ts tu tA eA e(0 )(0 )0uu0(0 )(0 )IiuCC 当当s1 s2时，微分方程的通解为时，微分方程的通解为 初始条件初始条件为为为一对共轭虚根21ss, 0R. 4为不等的负实根210),2(, 0. 1ssCLRR实重根210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭复根210),2(, 0. 3ssCLRR二阶电路的零输入响应12011220AAIs As AC 代入初始条件得代入初始条件得联立求解得联立求解得

7、01120212()()IAC ssIAC ss 为一对共轭虚根21ss, 0R. 4为不等的负实根210),2(, 0. 1ssCLRR实重根210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭复根210),2(, 0. 3ssCLRR二阶电路的零输入响应12012( )()()s ts tIu teeC ss 1201212( )()()s ts tIdui tCs es edtss 为一对共轭虚根21ss, 0R. 4实重根210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭复根210),2(, 0. 3ssCLRR为不等的负实根210),2(, 0. 1ssCLRR12012220( )()2

8、s ts tIdui tCs es edt 120220( )()2s ts tIu teeC u、i随时间变化的曲线二阶电路的零输入响应4.0cdudt 1221lnssmtss 121.0,1s ts ttee 122.,0s ts ttee 123.0,s ts ttee12212ln5.2mmssttss 为一对共轭虚根21ss, 0R. 4为不等的负实根210),2(, 0. 1ssCLRR实重根210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭复根210),2(, 0. 3ssCLRR12012220( )()2s ts tIdui tCs es edt 120220( )()2s

9、ts tIu teeC u、i随时间变化的曲线二阶电路的零输入响应IIIIII非振荡放电（过阻尼放电）非振荡放电（过阻尼放电）IIIIII为一对共轭虚根21ss, 0R. 4为不等的负实根210),2(, 0. 1ssCLRR实重根210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭复根210),2(, 0. 3ssCLRR二阶电路的零输入响应12( )()tu tAA t e (0 )(0 )0uu当当s1s2时，微分方程的通解为时，微分方程的通解为 初始条件初始条件为为0(0 )(0 )IiuCC 为不等的负实根210ss),CL2R(, 0R. 1为一对共轭复根210),2(, 0. 3ss

10、CLRR实重根210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭虚根21ss, 0R. 4二阶电路的零输入响应10120AIAAC 代入初始条件得代入初始条件得联立求解得联立求解得1020AIAC 为不等的负实根210ss),CL2R(, 0R. 1为一对共轭复根210),2(, 0. 3ssCLRR实重根210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭虚根21ss, 0R. 4u、i随时间变化的曲线二阶电路的零输入响应为不等的负实根210ss),CL2R(, 0R. 1为一对共轭复根210),2(, 0. 3ssCLRR实重根210),2(, 0. 2ssCLRR非振荡放电（临界阻尼放电）非振

11、荡放电（临界阻尼放电）IIIIII与过阻尼情况相同0, 0. 1 ttet0,. 2 ttet0, 0. 3 ttet为一对共轭虚根21ss, 0R. 4001( )( )()ttI tu teCdui tCt I edt 二阶电路的零输入响应12012( )()()s ts tIu teeC ss 1201212( )()()s ts tIdui tCs es edtss 22102220()()ddsjsj s1 s2220d其中，其中，因此，因此， d、 0、 三者之间的关系，三者之间的关系，可用直角三角形表示。可用直角三角形表示。为不等的负实根210ss),CL2R(, 0R. 1为一

12、对共轭复根210),2(, 0. 3ssCLRR实重根210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭虚根21ss, 0R. 4此时，此时，二阶电路的零输入响应为不等的负实根210ss),CL2R(, 0R. 1为一对共轭复根210),2(, 0. 3ssCLRR实重根210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭虚根21ss, 0R. 4 00( ) sin()2ddjtjttttdddIIu teeeeetj CC 000( )( )sincoscos()tddddtddIdu ti tCettdtIet 000cos sin arccosdd u、I随时间变化的曲线二阶电路的零输入响应

13、IIIIII振荡放电（欠阻尼放电）振荡放电（欠阻尼放电）)cos()()sin()(000teIdtduCtiteCItudtddtdIIIIIIIV为不等的负实根210ss),CL2R(, 0R. 1为一对共轭复根210),2(, 0. 3ssCLRR实重根210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭虚根21ss, 0R. 4二阶电路的零输入响应000( )sin()( )cos()tddtddIu tetCIdui tCetdt 称为衰减常数称为衰减常数(attenuation constant) ，或阻尼常数或阻尼常数(damping constant) 角频率角频率 d称为阻尼振荡

14、角频称为阻尼振荡角频率率(angular frequency of the damped oscillation) u、i随时间变化的曲线二阶电路的零输入响应等幅振荡等幅振荡(无阻尼情形无阻尼情形)IIIIIIi(t) L C + u(t) )cos()()sin()(2)(000tIdtduCtitCIeeCjItudddtjtjddd为不等的负实根210ss),CL2R(, 0R. 1为一对共轭复根210),2(, 0. 3ssCLRR实重根210),2(, 0. 2ssCLRR为一对共轭虚根21ss, 0R. 4二阶电路的零输入响应1. 二阶电路零输入响应的形式取决于电路的参数，与初始条件无关。总结总结3. 二阶电路零输入响应的形式的判据。2. 二阶电路零输入响应有过阻尼放电、临界阻尼放电、欠阻尼放电、无阻尼等情形。特征根特征根参数关系参数关系阻尼状态阻尼状态振荡情况振荡情况两个不相等的负两个不相等的负实根实根过阻尼过阻尼不振荡，衰减到不振荡，衰减到零零两个相等的负实两个相等的负实根根临界阻尼临界阻尼不振荡，衰减到不振荡，衰减到零零一对共轭复根一对共轭复根欠阻尼欠阻尼衰减振荡直到零衰减振荡直到零一对共轭虚根一对共轭虚根R=0, L、C不等于