二重积分在直角坐标系下的计算

1、如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba1、直角坐标系下二重积分的计算、直角坐标系下二重积分的计算X-型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域内部且平行于穿过区域内部且平行于y轴轴的直线与区域边界的交点不多于两个的直线与区域边界的交点不多于两个.积分区域表示为：积分区域表示为：,dyc ).()(21yxy )(2yx )(1yx cdDcd)(2yx )(1yx DY型区域的特点型区域的特点：2） Y型区域型区域的区域，称为的区域

2、，称为Y型型区域。区域。与区域边界曲线的交点不多于二个与区域边界曲线的交点不多于二个.穿过区域内部且平行于穿过区域内部且平行于x轴的直线轴的直线对于一般的平面区域，总可以通过适当的分割将对于一般的平面区域，总可以通过适当的分割将其分割成若干个基本区域之和。其分割成若干个基本区域之和。直角坐标下计算二重积分（直角坐标下计算二重积分（X-型域）：型域）：:),()(),( , :0020100的曲边梯形，其面积为的曲边梯形，其面积为为曲边为曲边为底，曲线为底，曲线截面是以区间截面是以区间此此截曲顶柱体得到截面，截曲顶柱体得到截面，作平面，作平面设设求图中截面积方法求图中截面积方法yxfzxxxxb

3、ax )()(000201d),()(xxyyxfxA 为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以 DdyxfD ),(?),( Ddyxf 为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 Vyxfz ),( 应用计算应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积平行截面面积为已知的立体求体积”的方法的方法,截面积截面积)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf )()(000201d),()(xxyyxfxA )(0 xx xyyxfxxAVbaxxbad)d,(d)()()(21 )()(21d),(dxxbayyxfxV 通通常常记记为为体积体积zyx)(0 xA),

4、(yxfz ba0 xo.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy 二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y-型型X-型型 , 22; 11:.dd122 yxDyxyxID为矩形为矩形例：计算例：计算xy11 2 2 113222221122d2-231ddd1xyyyxdyyxxyxyxID解：解：36435

5、6381132834d32843112 xxxx解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx .2,d)2(2围成围成和和由由其中其中例：计算例：计算 xyxyDxyD xyo2xy 2 xyD21 4AB解：解： , 2, 21:2xyxxDXD等式组等式组型区域，并可表示成不型区域，并可表示成不可看成可看成区域区域).4 , 2(),1 , 1(BA 从而得图中交点从而得图中交点 , 4, 2, 1, 12211yxyx得，得

6、，由方程组由方程组 , 22xyxy DDyxxyxydd)2(d)2( 则则 21342d)2()2(xxxxxx.20243 xyo2xy 2 xyD21 4AB 2122d2xxyyxx 22-12d)2(dxxyxyx.1, 2,.dd22围成围成和和由直线由直线其中其中例：求例：求 xyyxyDyxyxID 2152123d131d13yyyyyyyx, 21;1 yyxyDY：型区域，型区域，解：看作解：看作xyo1 xyxy 2 yD112 yyDxyxyyxyxI1222122dddd19281124121641231124123142 yy, 21; 2 , 121; 212

7、121 xyxDxyxDDDDX：型区域，型区域，解：看作解：看作xyo1 xyxy 2 y1D1122D 222212122121ddddxxyyxxyyxxIxyxxxyxx2d12d2212121 212312123.19281d2d2xx-xxx-x例例及及是是由由直直线线其其中中计计算算xyDyyID ,dsin .,型型区区域域又又可可看看成成型型既既可可看看成成解解：区区域域 YXD ., 10:2yxyyDDY表示为表示为型区域，将型区域，将看成看成 dsin DyyI则则.2所围成的区域所围成的区域抛物线抛物线yx xy 2yx Do11xy 102ddsinyyxyyy y

8、yxyyy2dsind10 102d)(sinyyyyy 1010dsindsinyyyyy1010sincoscosyyyy xy 2yx Do11xy. 1sin1 dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e .ded求例1102xyyxI.e2分分值值出出积积的的二二次次积积分分计计算算，可可求求分分，再再利利用用另另一一种种次次序序重重积积这这个个二二次次积积分分还还原原为为二二不不同同的的积积分分次次序序，若若把把两两种种注注意

9、意到到二二重重积积分分可可以以有有二二次次积积分分无无法法直直接接积积出出，所所以以这这个个的的原原函函数数不不是是初初等等函函数数解解：由由于于函函数数y, 1, 0,xyxxI 作作的的二二次次积积分分表表达达式式由由 yyDyxyxyyxyxI010110dedddeded222则则 .0, 10:,1yxyDDy围围成成的的区区域域1xyxy DO 1010ded0e22yyyyxyy1xyxy DO ).1e (2101e212 y 102de212yy yyxy010ded2例例解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对

10、值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 111211101101122222xxxxdydxxydydxydydxdydxx.1511 dxdyxdxdyydxdyydxdyxDDDDDD 33212122 1142114114114)1(2121dxxxdxxdxxdxxxy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图解解 积分区域如图积分区域如图xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy., 10 ,10: xxyD,10 , 10:yxyD , 10 ,20:21 xxxyD, 10 ,20:2 xxyD1)1

11、( ,2222 yxxxy.d),(dd),(dd),(32120303120 xxyyyyxfxxyxfyxyxf1xyyx2 DO23yx 312330010( , )( , ).yydyf x y dxdyf x y dx例交换二次积分的积分次序2121,:DDDDD 对应的积分区域对应的积分区域次积分次积分在同一坐标系中作出二在同一坐标系中作出二解解 .32, 20:xyxxDaxy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2axaxyxaxD202

12、2:2 321DDDD ;1)1()( d),( 围成的区域围成的区域及及轴、轴、是由是由。写出两种积分次序写出两种积分次序为二次积分为二次积分化二重积分化二重积分练习：练习：xyyyDyxfD yxDxyxfyyyxfxyxf010101d),(d d),(d d),()1( Dyxf d),()2( yyxyxfy211102d),(d围成的区域。围成的区域。及直线及直线在第一象限在第一象限轴、圆轴、圆是由是由2 02)2(22 yxxyxxD 21201020d),(dd),(d2xxxyyxfxyyxfxxxdyyxfdx3220,交交换换积积分分次次序序: :练练习习 .30, 31

13、:,20, 10:21yxyDyxyDY型区域型区域 10203130yyfdxdyfdxdyI .32, 20:xyxxD解解xy 32xy 10112),(yydxyxfdy交交换换积积分分次次序序: :练练习习 10112111xxfdydxfdydxyx 121yx D1D2解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy . .轴轴围围成成的的闭闭区区域域及及的的一一拱拱由由摆摆线线计计算算积积分分 xttayttaxDydxdyD)20()cos1(),sin

14、(,例例3202220)(020225)cos1()cos1(21 )(21adttatadxxyydydxIaxya Oxya 2 xyy ).(0,20:xyyaxD 解解.)()(1 , 0)(111 yxdttfdyxfxf上连续，证明上连续，证明在在例设例设小 结二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(，

15、求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题 1)(xdyyf不能直接积出不能直接积出, 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答思考题解答则原式则原式 ydxyfxfdy010)()( ,)()(010 xdyyfdxxfxyo故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 改改变变积积分分次次序序.练 习 题一、一、 填空题填空题: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其

16、中其中D是顶是顶 点分别为点分别为 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形闭区域的三角形闭区域 . . 3 3、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域, ,化为先对化为先对y后对后对x的二次积分的二次积分, ,应为应为_._. 4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将将二二次次积积

17、分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、将将二二次次积积分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

18、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、画出积分区域二、画出积分区域, ,并计算下列二重积分并计算下列二重积分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所确定的闭区域所确定的闭区域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直线是由直线 xyxyy2, 2 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。4 4、,2 Ddxdyxy其中其中D: : 20 , 11 yx. .三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求该求该薄片的质量薄片的质量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积 . .一、一、1 1、1 1； 2 2