第7章 力法(李廉锟_结构力学-中南大学2013年课件)

1、第第七七章章 力法力法 7-1 超静定结构概述超静定结构概述7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定7-3 力法的基本概念力法的基本概念7-4 力法的典型方程力法的典型方程7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例7-6 对称性的利用对称性的利用7-7 超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算7-8 最后内力图的校核最后内力图的校核7-10 支座位移时超静定结构的计算支座位移时超静定结构的计算7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算7-11* 用弹性中心法计算无铰拱用弹性中心法计算无铰拱7-12* 两铰拱及系杆拱两铰拱及系杆拱7-13 超静定结构的特性超静定结构的特性

2、超静定结构超静定结构：具有多余约束的结构。具有多余约束的结构。几何特征：几何特征：具有具有多余约束多余约束的几何不变体系。的几何不变体系。ABCxAyByAFFFFFycACBDxAyAyBFFFF 静力特征静力特征：反力和内力反力和内力不能不能仅由平衡条件全部解出。仅由平衡条件全部解出。 外部一次超静定结构外部一次超静定结构内部一次超静定结构内部一次超静定结构一、超静定结构的一、超静定结构的静力特征静力特征和和几何特征几何特征7-1 超静定结构超静定结构概述概述q l28ABCBq l64q l32 2 2q l64 2AABCAB0.5l0.5llqq思考：思考：多余约束是多余约束是多余多

3、余的吗？的吗？从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。 超静定结构的超静定结构的优点优点为为: 1. 内力分布均匀内力分布均匀 2. 抵抗破坏的能力强抵抗破坏的能力强7-1 超静定结构超静定结构概述概述二、超静定结构的二、超静定结构的类型类型超静定梁超静定梁超静定刚架超静定刚架超静定拱超静定拱两铰拱两铰拱 无铰拱无铰拱7-1 超静定结构超静定结构概述概述超静定桁架超静定桁架超静定组合结构超静定组合结构7-1 超静定结构超静定结构概述概述遵循遵循同时考虑同时考虑“变形、本构、平衡变形、本构、平衡”分析超静定问分析超静定问题的思想题的思想，可

4、有不同的出发点：，可有不同的出发点： 以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分，这种分析方法称为析方法称为力法力法（force methodforce method）。）。三、超静定结构三、超静定结构求解方法求解方法概述概述1. 力法力法-以多余约束力作为基本未知量以多余约束力作为基本未知量基本未知量：基本未知量：当它确定后，其它力学量即可完全当它确定后，其它力学量即可完全 确定。确定。-关键量关键量 7-1 超静定结构超静定结构概述概述 以位移作为基本未知量，在

5、自动满足变形协调条以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这种分析方法称为这种分析方法称为位移法位移法（displacement methoddisplacement method）。 如果一个问题中如果一个问题中既有既有力力的未知量，也有的未知量，也有位移位移的未的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的平衡的平衡，这样一种分析方案称为这样一种分析方案称为混合法混合法（mixture mixture methodmethod）。2. 位移法位移法-

6、以结点位移作为基本未知量以结点位移作为基本未知量3. 混合法混合法-以结点位移和多余约束力作为以结点位移和多余约束力作为 基本未知量基本未知量7-1 超静定结构超静定结构概述概述4. 力矩分配法力矩分配法-近似计算方法近似计算方法 位移法位移法的变体，便于手算，不用解方程。的变体，便于手算，不用解方程。5. 结构矩阵分析法结构矩阵分析法-有限元法有限元法.以上各种方法共同的以上各种方法共同的基本思想基本思想: 4. 消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。 3. 找出改造后的问题与原问题的差别；找出改造后的问题与原问题的差别； 2. 将其化成会求

7、解的问题；将其化成会求解的问题； 1. 找出未知问题不能求解的原因；找出未知问题不能求解的原因；适用于电算适用于电算 矩阵位移法矩阵力法7-1 超静定结构超静定结构概述概述超静定次数：超静定次数：多余约束（联系）或基本未知力的个数。多余约束（联系）或基本未知力的个数。一、概念一、概念 二、确定方法二、确定方法 1 1）由）由计算自由度计算自由度 确定确定WWn2 2）去）去约束约束法法 1)35243()23(rhmWn将多余约束去掉，使原结构转化为将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构静定结构。 ？7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定 解除多余约束的办法确定超静定结构的超静定次解除多余约

8、束的办法确定超静定结构的超静定次数，应数，应注意注意以下几点以下几点：（1）去掉去掉一根链杆一根链杆，等于拆掉，等于拆掉一个约束一个约束。两铰拱，一次超静定结构。两铰拱，一次超静定结构。ABABABBA一次超静定桁架一次超静定桁架曲梁，静定结构。曲梁，静定结构。静定桁架静定桁架7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定去掉几个约束后成为静去掉几个约束后成为静定结构定结构, ,则为几次超静定则为几次超静定X X1 1X X1 1X X2 2X X2 2X X3 3X X3 3X X1 1X X2 2X X3 3去掉一个链杆或切断一个链杆相去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束当于去掉一个约束

9、7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定（2）去掉去掉一个铰支座一个铰支座或或一个单铰一个单铰，等于拆掉，等于拆掉两个约束两个约束。（3）去掉去掉一个固定支座一个固定支座或切断或切断一个梁式杆一个梁式杆，等于拆掉，等于拆掉三个约束三个约束。切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定（4）在在梁式杆上加上一个单铰梁式杆上加上一个单铰，等于拆掉，等于拆掉一个约束一个约束。三次超静定刚架三次超静定刚架静定三铰刚架静定三铰刚架静定悬臂刚架静定悬臂刚架（5）去掉一个去掉一个连接连接n个杆件的铰结点个杆件的铰结点，等于拆掉，等于拆掉2(n-

10、1)个约束个约束。（6）去掉一个去掉一个连接连接n个杆件的刚结点个杆件的刚结点，等于拆掉，等于拆掉3(n-1)个约束个约束。7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定CDBCADEFEBAF五次超静定刚架五次超静定刚架注意：注意：同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方式，但解除约束的个数是相同的式，但解除约束的个数是相同的, , 解除约束后的体系解除约束后的体系必须是几何不变的。必须是几何不变的。（7）只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。（8）只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。只能在原结构中减少

11、约束，不能增加新的约束。7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定BCADKBCADEFEF 以五个支座链杆为多余约束以五个支座链杆为多余约束静定悬臂刚架静定悬臂刚架BCADBCADEFEF其它形式的静定刚架：其它形式的静定刚架：静定三铰刚架静定三铰刚架静定简支刚架静定简支刚架BCADBCADEFEFBCADKBCADEFEF7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定3 3）框格法）框格法一个封闭无铰框格一个封闭无铰框格 3n1553nm 个封闭个封闭无铰框格无铰框格7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定若有铰若有铰 单铰数，则单铰数，则 hmn 3h6953n注意：注意：多少个封闭无铰框格？多

12、少个封闭无铰框格？7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定三、计算示例三、计算示例 6n 拆除多余联系变成的拆除多余联系变成的静定结构形式：静定结构形式：7-2 超静定次数的确定超静定次数的确定1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X108367-2 超静定次数的确定超静定次数的确定qAB1. 力法基本思路力法基本思路待解的未知问题待解的未知问题 原（一次超静定）结构原（一次超静定）结构1)1)、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构( (基本体基本体系系) )。qAB

13、X1基本体系基本体系?1X关键：力法基本未知量力法基本未知量去掉余约束代之以多余未去掉余约束代之以多余未知力，得到基本体系。知力，得到基本体系。7-3 力法的基本概念力法的基本概念2)2)、沿多余未知力方向建立、沿多余未知力方向建立位移协调方程位移协调方程，解方，解方程就可以求出多余未知力程就可以求出多余未知力X1 。原结构的原结构的B是刚性支座是刚性支座, , 该点的竖向位移是零。该点的竖向位移是零。即原即原结构在的结构在的X1位移为：位移为： 位移协调条件：位移协调条件：基本结构在原有荷载基本结构在原有荷载 q 和多余和多余力力X1共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原共同作用下，在去掉

14、多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。结构相应的位移相等。变形条件变形条件01 7-3 力法的基本概念力法的基本概念ABq1PBAX1 111超静定结构计算超静定结构计算基本结构静定结构计算静定结构计算 AB基本结构基本结构（悬臂梁）悬臂梁） 对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。 7-3 力法的基本概念力法的基本概念 在荷载作用下在荷载作用下B 点产生向下的位移为点产生向下的位移为1P, 未知力未知力的作用将使的作用将使B点产生的向上的位移为点产生的向上的位移为1 1X 。 要使体系的受力情况与原结构一样要使体系的受力情况与原结构一样, ,

15、则必须则必须B 的的位移也与原结构一样，要求：位移也与原结构一样，要求：位移协调条位移协调条件件1= =1X+ +1P=0=0 (a) 1P 基本结构由荷载引起的竖向位移基本结构由荷载引起的竖向位移, 1X 基本结构由知力引起的竖向位移。基本结构由知力引起的竖向位移。7-3 力法的基本概念力法的基本概念MPABql 22lX =1M11BA由叠加原理由叠加原理 1X=11X1 1111X1 1+ +1P=0 =0 (b) 力法典型方程力法典型方程3111131)3221(1lEIlllEIEIAyxEIMMCd 位移系数位移系数ii自乘自乘 广义荷载位移广义荷载位移互乘互乘Pi 7-3 力法的

16、基本概念力法的基本概念将将1111、1P 1P 入力法典型方程，解得入力法典型方程，解得: : qlX8311P11 3)3)、将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加、将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的内力。法即可求出超静定结构的内力。A2ql8BPMMXM11由：图MEIqlllqlEIEIAyxEIMMC8)432131(1d42P1P1 7-3 力法的基本概念力法的基本概念 2. 几个概念几个概念 力法的基本未知数力法的基本未知数: :超静定结构多余约束的未知超静定结构多余约束的未知约束力约束力, , 即超静定次数。即超静定次数。 力法的基本结构力法的基本结

17、构: :把原超静定结构的多余约束去掉把原超静定结构的多余约束去掉, , 所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。 力法的基本体系力法的基本体系: :在基本结构上加上外荷载及多在基本结构上加上外荷载及多余约束力，就得到了基本体系。余约束力，就得到了基本体系。 力法的基本方程力法的基本方程: :根据原结构已知变形条件建立的力根据原结构已知变形条件建立的力法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。7-3 力法的基

18、本概念力法的基本概念 选取基本体系的原则：选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变基本体系必须是几何不变的。通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取的。通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取超静定的基本体系。超静定的基本体系。7-3 力法的基本概念力法的基本概念7-3 力法的基本概念力法的基本概念 超静定刚架如图所示超静定刚架如图所示, , 荷载是作用在刚性结点荷载是作用在刚性结点C上上的集中力矩的集中力矩M 。一、多次超静定的计算一、多次超静定的计算BACMll/2EI=常数原结构原结构AClBl/2基本结构基本结构ABCMXlX12l/2基本体系基本体系（1）力法基本未知量）力法基

19、本未知量X1 与与X27-4 力法的典型方程力法的典型方程AC11ll/2X121BCBABC22l/2lX2CB12l1P2PBl/2CCBAM（2 2）位移协调条件：位移协调条件：基本结构在原有荷载基本结构在原有荷载M 和多余和多余力力X1、X2共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。原结构相应的位移相等。（a）基本体系在基本体系在X1 1方向的位移为零，方向的位移为零，1=0 基本体系在基本体系在X2方向的位移为零方向的位移为零, , 2=0 7-4 力法的典型方程力法的典型方程 00p222212p112111（b）将将 ， ，

20、 21212X 12121X 11111X 22222X 代入代入（b）式，式，得两次超静定的力法基本方程得两次超静定的力法基本方程 00p2222121p1212111XXXX（c）7-4 力法的典型方程力法的典型方程 （3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单位力位力 与荷载单独作用下的弯矩图。与荷载单独作用下的弯矩图。AM1l/2l/2CBX1=1ll/2M2ACB2l/2llX =1BCAMPll/2MM7-4 力法的典型方程力法的典型方程EIlllllllEIxEIM24722)232(22211d32111EIllllEIxEIM33221

21、1d32222EIlllllEIxEIMM4221d32112EImlllmEIxEIMM221d2P1p1 EImlllmEIxEIMM221d2P2p2 12217-4 力法的典型方程力法的典型方程（4）求出基本未知力。）求出基本未知力。02340242472231322313EIMlXEIlXEIlEIMlXEIlXEIl将计算出来的系数与自由项代入典型方程将计算出来的系数与自由项代入典型方程得得解方程得解方程得 ，)(561lMX)(532lMX求得的求得的X1、X2为正，表明与原假定的方向一致。为正，表明与原假定的方向一致。 7-4 力法的典型方程力法的典型方程 先作弯矩图（先作弯矩

22、图（ ），），把把弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧。弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧。再作剪力图，最后作再作剪力图，最后作轴力图。轴力图。PMXMXMM2211BACll / 2M/M35M/25M/5M3 /5CM2 /5M 由刚结点由刚结点C 的平衡可的平衡可知知M 图正确。图正确。(5) 作内力图。作内力图。 M2ACll/2BlX =12BCAMPll/2MMAM1X=1l/2ll/2l/21CB7-4 力法的典型方程力法的典型方程杆杆AC: lMlMMFFACCA53552SSBAM5/5 /5MM /Mll / 232CCAM/5CASFSACF52M/杆杆CB: CBM /FSFSCBB

23、C35lMlMFFBCCB56253SSBCM/ lFSA35M / l65l/2l 作剪力图的原则是作剪力图的原则是, , 截取每一杆为隔离体，由平截取每一杆为隔离体，由平衡条件便可求出剪力。衡条件便可求出剪力。7-4 力法的典型方程力法的典型方程F CBF CA M/ lCN M/ lN3565取刚结点取刚结点C 为隔离体，由投影平衡条件解得为隔离体，由投影平衡条件解得 （拉），（拉），lMFCA56NlMFCB53N（压）（压） ll/2M/ lFNA35M/ l65BCBCM/ lFSA35M / l65l/2l 作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的作最后轴力图的原则是考虑结点平

24、衡，由杆端的剪力便可求出轴力。剪力便可求出轴力。7-4 力法的典型方程力法的典型方程二、力法典型方程二、力法典型方程 n 次超静定定结构，力法典型方程为次超静定定结构，力法典型方程为 000p2211p21222121p11212111nnnnnnnnnnXXXXXXXXX （7-1a） 柔度系数柔度系数 ij 表示当单位未知力表示当单位未知力Xj=1=1作用下作用下, , 引起基本体系中引起基本体系中Xi 的作用点沿的作用点沿Xi方向的位移。方向的位移。思考：柔度系数由什么的特点？思考：柔度系数由什么的特点？答：答： ， 。0iijiij7-4 力法的典型方程力法的典型方程 自由项自由项 i

25、P荷载作用下引起基本体系中荷载作用下引起基本体系中Xi 的的作用点沿作用点沿Xi方向的位移。方向的位移。通常先用叠加原理计算弯矩通常先用叠加原理计算弯矩pMXMXMXMMni2211 由力法典型方程解出由力法典型方程解出n 个基本未知数个基本未知数X1，X2， ，Xn后就己将超静定问题转化成静定问题了。后就己将超静定问题转化成静定问题了。由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。7-4 力法的典型方程力法的典型方程1 1、力法的典型方程是体系的变形协调方程；、力法的典型方程是体系的变形协调方程；2 2、主系数恒大于零，副系数满足位移互等定理；、主系

26、数恒大于零，副系数满足位移互等定理；3 3、柔度系数是体系常数；、柔度系数是体系常数；4 4、荷载作用时、荷载作用时, ,内力分布与刚度大小无关，与内力分布与刚度大小无关，与各杆刚度比值有关，荷载不变，调整各杆刚度各杆刚度比值有关，荷载不变，调整各杆刚度比可使内力重分布。比可使内力重分布。小结：小结：7-4 力法的典型方程力法的典型方程7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例例例: 用力法计算图示刚架，并作用力法计算图示刚架，并作M图。图。解：解：) 确定力法基本未知量和基本体系确定力法基本未知量和基本体系基本体系基本体系力法方程：力法方程： 11x1+ 12x2+ 1P=0 21x1

27、+ 22x2+ 2P=0) 作作M1、M2、MP图图7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例基本体系基本体系MP1M7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例）计算系数、自由项）计算系数、自由项 11=5l/12EI 22=3l/4EI 12= 21 =0 1P= FPl2/32EI 2P = 0说明说明: :力法计算刚架时，力法方程力法计算刚架时，力法方程中系数和自由项只考虑弯曲变形的中系数和自由项只考虑弯曲变形的影响：影响： ii = l (Mi2 /EI)ds ij = l (Mi Mj /EI)ds iP= l (Mi MP /EI)ds）代入力法方程，求多余力）代入力法

28、方程，求多余力x x1 1、x x2 2 （5l/12EI）x1 + FPl2/32EI =0 x1 = -3FPl/40 ( 3l/4EI )x2= 0 x2= 0）叠加作）叠加作M M图图 MAC=x1M1+x2M2+MP= (-3FPl/40)/2= -3FPl/80 (右侧受拉）右侧受拉）力法的解题步骤力法的解题步骤 （1）确定结构的超静定次数，选取适当的约束确定结构的超静定次数，选取适当的约束作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束反力反力, , 即基本未知数。即得基本体系。即基本未知数。即得基本体系。（2）列力法方程式）列力法方程

29、式),3, 2, 1,(0pnjixijij （3）计算系数与自由项。分别画出基本体系在）计算系数与自由项。分别画出基本体系在单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘法计算。曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算。法计算。曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算。 （4）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。解此方程，求出基本未知力。解此方程，求出基本未知力。 （5）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作出基本体系的内力图出基本体系的内力图, , 也就是原结构的内力图。也就是原结构的内

30、力图。（6）校核。）校核。 7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例ABCE3 m3 mD 10 kN/m3 mEI=常数ABD10 kN/mEX1EI=常数C0p1111X 例例7-1 用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和剪力图。剪力图。解解: :( (1) )确定超静定次数、选择基本体系。确定超静定次数、选择基本体系。原结构原结构基本体系基本体系（2）列出力法典型方程）列出力法典型方程（a）7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例ABCDE11111M1X1=1( (3) )计算系数及自由项。作计算系数及自由项。作 、 图图pM1MABC

31、EDMP(kN m)22.522.511.510 kN/mEIEI811621321321111EIEIEIEIEI904545125.113322225321121325 .223211p1 由图乘得由图乘得 7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例( (4) )解方程求未知力。解方程求未知力。将将 与与 代入式（代入式（a a），消去公因子），消去公因子 ，得，得11P1EI1解此方程得解此方程得( (5) )求作弯矩图。求作弯矩图。p11MXMMm)(kN 52 .115 .22)890(1P11MXMMDA（左侧受拉）（左侧受拉）m)(kN 52 .115 .228901EBM

32、（右侧受拉）（右侧受拉）09081X（下侧受拉）（下侧受拉） kN25.118901X（ ）7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例AB14.1CM(kN m)3m3m3mED11.2511.25由由 , ,得支座得支座B 的竖向反力为的竖向反力为7.5 kN（ ）。）。 kN 5 . 7SECF( (6) )作剪力图。作剪力图。利用利用BE 杆力偶系平衡条件得杆力偶系平衡条件得同理同理(kN) 57 . 3325.11SSBEEBFF(kN) 57 . 3SSADDAFF(kN) 5 . 73225.11SECF7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 支座支座A 的竖向反力

33、为的竖向反力为22.5kN（ ），杆），杆DC 的的D 端剪力应等于端剪力应等于kN 22.5SDCF(7) 作轴力图。作轴力图。根据根据最后剪力图可最后剪力图可作出最后轴力图。作出最后轴力图。ABDE22.57.53.753.75Fs(kN)ABDEFN22.53.757.5(kN)7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-2 用力法计算图示刚架，作弯矩图。用力法计算图示刚架，作弯矩图。 解解: :( (1) )确定超静定次数并选定基本结构。确定超静定次数并选定基本结构。 EI=常数ABCDE4m 1m 1m3m3m60 kN原结构原结构 EI=常数ABCDE60 kNXX2

34、XX112基本体系基本体系 7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例作作 、 、 图图 PM1M2M(3) 计算系数及自由项。计算系数及自由项。 (2) 列出力法典型方程。列出力法典型方程。 00P2222121P1212111XXXX（a）AMp(kN m)240DEC60 kNBABDECM14411=11XABDECM244=12X7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例ABbal(a)CDcdl(b)两个梯形相乘两个梯形相乘, ,可将梯形划分为两个三角形相乘可将梯形划分为两个三角形相乘. . )2(66263121322111bcaclbclaclcblcalyAc再令

35、图再令图a与图与图b中的中的C d D相图乘，得相图乘，得)2(63221312121bdadldbldalyAc)2()2(6)2(6)2(61badbaclbdadlbcaclyAC将结果相加，得最终图乘结果：将结果相加，得最终图乘结果：令图令图a a与图与图b b中的中的c d C相图乘，得相图乘，得7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例计算计算 ij EIEI32122) 1321121(21) 124(4) 142(65111EIEI31602432452112201221由图的由图的 与与 的对称性的对称性, ,有有1M2MABDECM14411=11XABDECM244

36、=12X7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例3EI5400) 142(240651P1 EI3EI48004322405211P2 EIABDEC1X1=1M4411ABDECM244=12XAMp(kN m)240DEC60 kNB7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例将将 、 、 、 代入式代入式( (a)并消去公因子并消去公因子 得得EI3111221p2p(4) 解方程求未知力。解方程求未知力。 048001600540021221XXkN0 .30kN5 .2521XX 、 即为原刚架上铰即为原刚架上铰C两侧截面上的剪力和轴力。两侧截面上的剪力和轴力。2X1X解

37、得解得7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(5)计算杆端弯矩，作出的最后弯矩图。计算杆端弯矩，作出的最后弯矩图。240) 0 .30(4) 5 .25(4P2211MXMXMMAD)m(kN 0 .18m)(kN 5 .25)5 .25(1DAMm)(kN 5 .25)5 .25() 1(EBM（外侧受拉）（外侧受拉） （内侧受拉）（内侧受拉） （内侧受拉）（内侧受拉） 最后弯矩图最后弯矩图 弯矩图弯矩图具有反对称具有反对称性质，这是由荷载与结性质，这是由荷载与结构的对称性决定的。构的对称性决定的。AMB25.518.018.025.525.525.5(kN m)7-5 力法的计算

38、步骤和示例力法的计算步骤和示例ACDGFEHB(a)EI3EI2EI2EI1EI13.2 m8 m15 kN 例例7-3 用力法计算图用力法计算图（a）所示排架，作弯矩图。已所示排架，作弯矩图。已知知 ， ， 。忽略排架顶。忽略排架顶部拉杆的轴向变形部拉杆的轴向变形, , 将拉杆视为刚性杆。将拉杆视为刚性杆。EIEI12. 32EIEI6 . 13EIEI68. 01 解解: (1) 确定超静定次数并选定基本体系。确定超静定次数并选定基本体系。 BACX2X115 kNFG基本体系基本体系 00p2222121p1212111XXXX(2) 列出力法方程。列出力法方程。 7-5 力法的计算步骤

39、和示例力法的计算步骤和示例ABCDEFGH15 kN120 kN mm)kN(m)kN(m)kN(P21MMMACDGFEHX =1B881BFG=1X2AC11.211.2(e)HEI3EI2EI2EI1EI1(3) 计算系数及自由项。计算系数及自由项。 作作MP、M1、M2图。注意图。注意11与与22都包括两部分，令都包括两部分，令M1图左边柱、中间柱的计算结果分别为图左边柱、中间柱的计算结果分别为 、1111 EIEIEIEIEI4 .16112.3386 .1383838332333111111 331138EI231138EI 由由M1图图得得 ，7-5 力法的计算步骤和示例力法的计

40、算步骤和示例EIEIEIEIEIEI3 .32526 .16222 . 331)2 . 32 .11(312)2 . 3322 . 32 . 321(1)2 . 3322 . 32 . 3212 .11322 .112 .1121(1313321222EIEIEI53.871 .273)2 . 3312 .1132(882112212ACDGFEHX =1B881BFG=1X2AC11.211.2(e)HEI3EI2EI2EI1EI17-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例0p1 计算自由项计算自由项 EIEIEI131312. 340962 . 3312 .113212082112p

41、2 (4) 解方程求未知力。解方程求未知力。 将计算出来的系数与自由项代入力法方程式，消去公将计算出来的系数与自由项代入力法方程式，消去公因子后得因子后得ACDGFEHX =1B881BFG=1X2AC11.211.2(e)HEI3EI2EI2EI1EI1ABCDEFGH15 kN120 kN m7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例013134 .32553.870053.874 .1612121XXXXkN 503. 42X解得解得 ，kN 818. 21X (5)将将 、 及荷载加在基本结构上，利用平衡条件及荷载加在基本结构上，利用平衡条件计算弯矩计算弯矩1X2X表明轴力杆表明

42、轴力杆DE、FG均受拉。均受拉。m)(kN 5 .17188. 28ADMm)(kN 9 .12035. 42 . 3EFMm)(kN 7 .27035. 42 .11188. 28BFM（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）（左侧受拉）作出弯矩图如图所示。作出弯矩图如图所示。ABCDEFG (kN m)H17.522.712.974.8MM图图( (kN . m) )7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例ABDllCF 例例7-4 用力法计算图用力法计算图示桁架，作轴力图。各杆示桁架，作轴力图。各杆EA相同。相同。基本体系基本体系DABFCX1(3) 计算系数

43、及自由项。计算系数及自由项。 解解: : (1) 确定超静定次数及选定基本体系确定超静定次数及选定基本体系。(2) 列出力法方程为列出力法方程为: :0p1111 X计算计算FN1和和FNP。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例CDAB1F1N122=11XABCD-0.442 F0.625 F-0.789FFN0.558F-0.442FABDFC000- 2FFNPF 2212)2(211p1 EAFllFlFEA243222311222111EAlllEAEAlFN将将 、 代入式代入式a，消去公因子，消去公因子 后得后得1p11EAl(4) 解方程求未知力解方程求未知力022

44、12431FXFFX442.02432211负号表明杆负号表明杆CD 受压。受压。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(5)计算轴力时应用公式：计算轴力时应用公式：FFXFFADAD625. 0442. 0201NNNNNFXFFiiFFFFXFFACAC558. 04422. 011NNFXFFCDBD442. 01NNFFFFBC789. 02442. 02N（拉）（拉）（压）（压）（拉）（拉）（压）（压）7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例注意：注意： 1. . 排架在单层工业厂房中有广泛的应用。排架排架在单层工业厂房中有广泛的应用。排架顶部的轴力杆由厂房屋架简化

45、而来。并且忽略屋架顶部的轴力杆由厂房屋架简化而来。并且忽略屋架整体沿跨度方向的变形。在受力分析中，通常将屋整体沿跨度方向的变形。在受力分析中，通常将屋架与柱顶的联结处当作铰结点处理，这样的排架称架与柱顶的联结处当作铰结点处理，这样的排架称铰接排架。铰接排架。 2. . 超静定结构在荷载作用下，结构的内力与杆超静定结构在荷载作用下，结构的内力与杆件截面刚度件截面刚度EI 的绝对值无关的绝对值无关, , 只与各杆截面刚度的只与各杆截面刚度的相对值有关。相对值有关。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例例例7-5 用力法计算图用力法计算图a a所示组合结构。已知梁式杆所示组合结构。已知梁式

46、杆 ， 压杆压杆DC、EF的，的， ， 拉杆拉杆AD、DE、BE的的 。24mkN 0199. 1EIkN 1048. 261EAkN 1059 . 452EAkN 102.453EA解解: : (1) 一次超静定。一次超静定。CDEFBA2 m4 m2 m2 m(a)q=15 kN/mDEBA2 m4 m2 m2 mX =1基本体系q=15 kN/m 1CF(2) 列出力法方程列出力法方程0p1111 X7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例(3) 作作 、 、 、 图。图。1NF1MpMNPF利用位移的公式：利用位移的公式： EIAyEAFFcNPN1)m(1073. 51099

47、. 11140880260123043290422215 . 7232)23290221(124p1 EIEICDEFBA2 m4 m2 m2 mq=15 kN/mCDEFBA2 m4 m2 m2 mM F9012022PN1 1F =0NPX =1 1-1-1-12 (KNm)M 27-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例自相图乘的结果为自相图乘的结果为1M 632121N)1(111023. 328448EAEAEAlEAF3)2(1110144.1364224223222211 EIEI自相图乘的结果为自相图乘的结果为1NFCDEFBA2 m4 m2 m2 mq=15 kN/mC

48、DEFBA2 m4 m2 m2 mM F9012022PN1 1F =0NPX =1 1-1-1-12 (KNm)M 27-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例梁的轴向变形对梁的轴向变形对11的影响为的影响为336)2(11)1(11111015. 110144. 11023. 3 3361111081. 21015. 11023. 38EA占占11的0.28%，故计算，故计算11时可以略去。时可以略去。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例kN8 .491Xm)9.6(kNp908 .49)2(11MXMMCA(4) 解方程求未知力。解方程求未知力。 算得算得（拉）（拉）(

49、5) 作内力图。作内力图。 （上侧受拉）（上侧受拉）9.6M (kN m)FN(kN)CDEFBA2 m4 m2 m2 m-49.8-49.8-49.8-49.89.62070.470.47-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 讨论：讨论：由于撑杆由于撑杆DC、EF的存在，使梁上的存在，使梁上C、F截面出现了负弯矩，整根梁的弯矩分布比简支截面出现了负弯矩，整根梁的弯矩分布比简支梁均梁均匀。本例中拉杆与压杆的变形之比为匀。本例中拉杆与压杆的变形之比为89. 7104 . 21095. 443 .1542844284553223EAEAEAEA 增减此比值，将使梁中弯矩产生变化。如减小拉

50、增减此比值，将使梁中弯矩产生变化。如减小拉杆截面杆截面, , 其轴力下降，导致梁上其轴力下降，导致梁上C、F截面上负弯矩值截面上负弯矩值减小；当减小；当EA30 0时，组合结构趋近简支梁。时，组合结构趋近简支梁。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例EI2EI2EI1ABCDlMpBACDFalEI2EI2EI1ABCDll/2l/2XXX3MpBACDFXX3X1122基本体系基本体系 000p3333232131p2323222121p1313212111XXXXXXXXX解解: : (1)原结构是三次超静定。原结构是三次超静定。力法基本方程为：力法基本方程为：例例7-6 试列出

51、用力法求解图示刚架的力法方程。试列出用力法求解图示刚架的力法方程。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例BACD(d)X1111MBACDX2=1=1ll(e)M2ACX3l/21111BACDX2=1ll(e)M2MpBACDFFa21211122111111EIlEIllEIlEI2322232232211EIllllEI231321332122221223222211EIlEIllllEIlllEIBACDX3= 1l /2(f)l /2l /2M3/2l作作MP、 、 、 图。图。2M1M3M(2) 计算系数和自由项。计算系数和自由项。7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步

52、骤和示例 可见：对称结构，当所选取的基本结构也对称时可见：对称结构，当所选取的基本结构也对称时, ,多余未知力分成对称与反对称的两组多余未知力分成对称与反对称的两组, ,使得副系数使得副系数32 = 23 =0, , 31 = 13 =0, ,方程方程a化为相互无关的两组。化为相互无关的两组。222122121211EIlllEI000p3333p2222121p1212111XXXXX由于结构对称，由于结构对称， 对称，而对称，而 反对称，有反对称，有21MM、3M ， ，01303102332方程式简化为方程式简化为7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例BACD(g)ACD(h)

53、PPaPaPFFBaaaMpFF如果荷载对称如果荷载对称, ,则则MP图也对称图也对称, ,因而因而3P=0。 如果荷载反对称如果荷载反对称, ,则则MP图也反对图也反对称称, ,1P=0, ,2P=0。这样。这样, ,就可以使计算进一步简化。就可以使计算进一步简化。BACD(g)FFaMPFaF7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例 例例7-7 试用力法计算图示单跨梁。梁的试用力法计算图示单跨梁。梁的B支座支座为弹簧支承，弹簧的刚度系数为为弹簧支承，弹簧的刚度系数为k (当当B点产生单位位点产生单位位移移弹簧所产生的反力弹簧所产生的反力) )。qqX1ABBAEIBABAX1=1M

54、1lMpql /22qqABBAEI(a)(d)(c)2ql /2pMl1M=11XABABX1X1基本基本体系体系 式中负号表示未知力式中负号表示未知力 X1 与位移的方向相反与位移的方向相反, , 未未知力知力X1 与位移与位移 的关系满足的关系满足 X1=k解：一次超静定结构，力法基本方程为解：一次超静定结构，力法基本方程为Xp111111Xk 因而因而, , 得得7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例ABql223ql28kk+k82ql0)1(p1111Xk得到力法方程：得到力法方程：由图乘得到由图乘得到ABBAEI(a)(b)BABAX1=1M1lMpql / 22BAX

55、1=1lM1EIl3311EIql84p1 ，所以有所以有08)13(313EIlXkEIlM令令 ，代入式上式可解得，代入式上式可解得33lEIk 831qlkkkX作作M 图图MXMM1P7-5 力法的计算步骤和示例力法的计算步骤和示例ABql223ql28kk+k82ql 1. . 当当kk，即弹簧非常刚硬。这时，即弹簧非常刚硬。这时X1过渡到过渡到3ql/8，即，即B端过渡到刚性链杆支座的情况。端过渡到刚性链杆支座的情况。 k是悬臂梁是悬臂梁( (基本结构基本结构) )B点的刚度点的刚度, , 表示使悬臂表示使悬臂梁梁B点产生一单位位移时所需的力。点产生一单位位移时所需的力。讨论：讨论

56、： 2. . 当当k0（或（或k t1，梁的线膨胀系数，梁的线膨胀系数，截面高度为，截面高度为h, ,求梁的内力。求梁的内力。AEIBltt12基本体系基本体系解解: : 此梁为此梁为3次超静定梁次超静定梁000t3333232131t2323222121t 1313212111XXXXXXXXX力法典型方程：力法典型方程：7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算作单位力弯矩图作单位力弯矩图321MMM、ABXM 图2ll22=12AXM3图B3=1ABt1t2t2t1由图乘法：由图乘法：00113113211211EIlEIl，01212223123223322EIlEI

57、lll，1AB图=1M111XEAlEAl1133htllhttAhtttAt)(0)(1212111MNltt037-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算将系数和自由项代入力法典型方程将系数和自由项代入力法典型方程解得：解得：htEIX1， X2 =0 ， X3= EAt0 弯矩图由弯矩图由 而得；而得；11XMM 剪力为零；剪力为零；轴力为一常数轴力为一常数 EAt0 （压力）（压力）. .AtEIhBtEIhM图图 结论：结论：对于任一等截面直杆只要知道杆件位移对于任一等截面直杆只要知道杆件位移（角位移、侧移）及作用在杆上的荷载、温度，便可（角位移、侧移）及作用在杆上

58、的荷载、温度，便可求出杆件两端的弯矩、剪力，作出弯矩图、剪力图。求出杆件两端的弯矩、剪力，作出弯矩图、剪力图。7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算 例：例： 设图示刚架外侧温度不变，内侧温度升高设图示刚架外侧温度不变，内侧温度升高10。各杆各杆EI=常量，截面高度常量，截面高度h=常量，截面形心在截面高度常量，截面形心在截面高度h 的的0.5 处处, 线膨胀系数为线膨胀系数为，试求由于温度变化在刚架中引试求由于温度变化在刚架中引起反力和内力。起反力和内力。llABCABX 1CX 2基本体系CBA 1t 10 co2 t（a）0022221211212111ttXXXX

59、 自由项自由项1t与与2t为基本结构内侧温度升高为基本结构内侧温度升高10时在自时在自由端由端C沿沿X1、X2方向产生的位移。方向产生的位移。解解: 1.刚架为二次超静定结构。刚架为二次超静定结构。2. 根据变形条件建立力法方程根据变形条件建立力法方程7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算Cttt1001012 刚架内外侧温度差刚架内外侧温度差 可知基本结构在温度变化时的变形趋势是：各杆可知基本结构在温度变化时的变形趋势是：各杆轴线伸长，内侧受位。轴线伸长，内侧受位。3. 计算系数和自由项计算系数和自由项温度参量温度参量t、t0 的计算的计算2120tttC52010说明

60、温度变化使基本结构杆件形心轴伸长。说明温度变化使基本结构杆件形心轴伸长。(1) 计算自由项计算自由项7-9 温度变化时超静定结构的计算温度变化时超静定结构的计算在基本结构在基本结构C 处沿处沿X1、X2方向加单位力方向加单位力，作相应的内力图。作相应的内力图。lABX = 2 1图0-1NN2MF = BCF = ABClABX =1 ABF = BCF = M1CNlN0图1l31505)(2110)(10)(221N0N10M1M11hllllhlhAtAtAhtAhtBCABBCABt同理同理)1 (52N0N20M2M22hllAtAtAhtAhtBCABBCABt7-9 温度变化时超