专题：直线参数方程中t的意义理解(高中数学精华)(优选.)

1、fl, Word.6/7最新文件仅供参考已改成WOrd文本方便更改专题:直线参数方程中的几何意义几点分析与解析知识点IS述：若倾斜角为O的直线过点M（心0） f t为参数,则该直线的参数方程可写为X = XQ+tcosa 斗金妬 T为参数y = y0+t sin a若直线过点Mr直线与圆锥曲线交于两点P、Q ,则IMP S IMQ 的几何意义就是:IMPl=IrI 1,1 MQ= t2 ；)MP+!MQ Bmi可意义就是：IMPl+ 1MQI=ItI 丨 + 出丨；imp -Imq 的几何意义就是：MP-MQ=tct2 ；iPQ 的几何意义就是：IPQI=Ir1-A2I, EJIPQHr1 -

2、t11= y(tl+t2)2-4tct2 .2 2X + 儿 _ (y<)+ Sin a) + (y0 +/, Sin a) y =标公式为：若过点Mg,儿）、倾斜角为的直线1与圆锥曲线交于A、B两点，则弦的中点坐 _ XI +兀2 _ （ +z COSa）+ （x0 +t2 COSa）存=（W严+叽九+牛七）P PMm y' = 21±A =（* + 必）（儿 + 心）+ 守仏 ÷r2）（其中中点M的相应参数为-而心些，所以中点坐标也为：AyFM ）2y = y0 + P2t若过点M（X0,儿）、倾斜角为«的直线1与圆锥曲线交于A、B两点，且M恰为

3、弦AB 中点，则中和的相应缈,音S（因Ao=AO+ 7 ,而心卩2均不为0,所以t=0） bo = yo + 体会一：教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程,并且一定要强调其中参数T的由 来。实际上由新课程标准人教A版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我们知道，平X = Xa + cos 面内过走点Pi) ( ,儿)、倾斜角为a的直线/的参数方程的标准形式为y = y0 +sm (t为参数)，其中t表示直线/上以定点Po为起点，任意一点P(Xfy)为终点的有向线 段丽的数星，当P点在PQ上方时t为正，当P点在PO下方时t为负。体会二：教学中必须要强调参数T的几何意义及两个结论的引导应用示范

4、。实际上在教学中我们知道，由直线参数方程的推导过程及向呈模的几何意义等知识, 很容易得参数t具有如下的两个重要结论：如果我们假设直线I上两点AS B所对应的参 数分别为匚和S ,则:第一：A、B两点之间的距离为IABI=IfA tB I=JC+fJ-4fylS ,特另哋，A、B两点 到PO的距离分别为IrAIJr第二：A、B两点的中点所对应的参数为斗® ,若几是线段AB的中点，则乙tA +tli =0 ,反之亦愆。在解决坐标系与参数方程这一选考题,特别是直线的参数方程与曲线的参数方程或是 极坐标方程有关的内容的题目，最典型的是涉及直线与圆锥曲线相交所得的弦和弦长、或 是求一点到某点的

5、距离为走值、求弦的中点等有关方面的题目时,如果我们能够充分利用 参数t的上述两个重要结论的话,我们的解题速度和解题正确率、得分率将得到的大大提 高，我们的解题水准也必将得到巨大的提升。1、例如在求解与距离有关的题目时我们可以用结论一：例1、直线/过点仇(-4,0),倾斜角为仝r且与曲线C : p = y相交于a、B两点。6(1)求弦长脳(2)求R/和仇B的长(3) AS R)B解：(1 )因为直线/过点几(-4,0),倾斜角为?,所以直线/的参数方程为6=-4+zcosI ,即v = 0÷rsm-6I 3V ='4 + Tz，仁为参数)，而曲线C是圆F+ y2 =7 ,于是将

6、直线的1L 2/31参数方程代入圆C的方程r得(-4 + -Z)2+ (-O2 = 7 r整理得2 _43? + 9 = 022有参数T的几何意义设A、B所对应的参数分别为tl,t2 I则人+5 =45 , r1r2 =9 , 所以I AB I=I Z1 Z2 I = Js +/?) -令血=2(2 )解：由第一问解方程f2 一4眉+ 9 = 0得，tl = 3y3,t2 = 3 ,有参数的几何意义 同理可得 POA =I t1 I= 3、行,PoB =I Il I= 3.(3 )由于是由第一问的求解过程可知£/ P.B=ht2 =92、再如在求解与点的坐标有关的题目时可以用结论二：

7、例2、已知直线/过点&(4,8),倾斜角为彳，求出直线/上到点仇的距离为5的点的 坐标。解：因为直线/过点仇(4,8),倾斜角为彳,所以直线/的参数方程为x = 4 + rcos-V = 8 + si 3x = 4 + -t2(1)厂,t为参数),C 3V = 8 + t2设直线/上与已知点Pi) (4,8)相距为5的点为P点，且P点对应的参数为t ,则I化PI=I门=5 ,所IUr = ±5的值代入(1)式,当t二5时点的坐标为综上，所求P融坐标为亍+叨或(討学)点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求P点的坐标需要将直线方程 代入曲线方程，消元后再用根与系数的关

8、系,中点坐标公式来求解，相当麻烦，而我们使 用直线的参数方程J充分利用参数t的几何意义求P点的坐标就显得t匕较容易。3. 解决有关弦的中点问题时也可以用性质二例3、过点P0(I9O),倾斜角为仝的直线/和曲线线'相交于M、N两点，求线4y = 2r段MN的中点P的坐标。解：直线/过点人(1,0),倾斜角为扌,所以直线/的参数方程为. = 1÷< L 2 f(t为参数),因为直线/和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方V1 2程/oF)1y- = 2x 中，得：(-t) =2(1 t) I 整理彳寻t y2t 2 = 0, = (-2)2-4×l×

9、(-2) = 6>0 ,设这个二次方程的两个根为tl,t2 I由韦达走理得 +p=2迈,由P为线段MN的中点，根据t的几何意义,得 ,=- = 2 ,易知中点M所对应的参数为如f将此值代入直线的参数方程 得，M点的坐标为(2, 1)点评：对于上述直线/的参数方程，M、N两点对应的参数为Gg，则它们的中点所对 应的参数为/ = ¥将参数值代入直线参数方程后很快就可得到答案，这将十分方便快2捷。再如例4 :过双曲线S-21 = I的右焦点F作倾斜角为45°的直线L与双曲线交于A, B916两点/ H是AB的中点，求MFo如果用传统的解法则是解：方法一依题意护3,决4,去

10、所以F(5 , 0) f又直线1的倾斜角为45度所以k=I. /的方程为y = x-52 2联立匕-二=1和y = x-5916得於 +90x-369 = 0.x+x2 _45.入 M 27C 80Ym = XM "5 = -y.JMFl=-27整个解答过程将会比较繁琐，因为传统的解法必须要将直线方程与曲线方程联立，消元后 用根与系数的关系及终点坐标公式才能求解。解法2 :依题意1的参数方程为：27小结:方法二:用参数方程求解r且灵活运用参数t的几何意义f使求解过程变 得简洁，不容易出错，如果我们在教学中能多引导学生从这些方面思考，那么我们教起来 轻松，学生学起来也I各会更容易。体会

11、三：两个性质在用的过程中要注意参数T取非单位向最时候的处理转化。从上面的例子不难看出，这两个性质的确好用，但是我们在教学中一走要要注意下面 例子中的问题就需要对参数T所取的单位长度作转化：例如：已知曲线的方程是Q = cos(0 + ?),直线L的方程是F =若直线4y = - + 3t与曲线相交与A、B两点，求AB弦长。解法1 ：解：直线方程可以化简为：3x + 4y-l = 0 ,而曲线的方程可化简为： + y2-x+y = 0将直线方程代入曲线方程，消去一个未知数y后可得关于X的一元二 次方程r由点到直线的距离公式及，弦心距，半径，半弦长之间构成直角三角形可以解得 解法2 ：将直线的参数

12、方程代入曲线方程,则可以得到一个关于/的_元二次方程： 25/2-7r = 0如果还是用以前的有参数/的几何意义的话将会求得AB的弦长为25这一结果与上述结果为何会不一样呢？两种解法所得的结果是哪一种对呢？当然答案是 第一种解法的对，实际上这就是在推导直线的参数方程时一走要注意到直线参数方程中参 数T的几何意义的问题，实际上，在上述题目中我们的参数T是选取了模为5的向星当作 了单位向呈，而日顒为1的向星为单位向呈，但是在解题过程中多数同学甚至是老师也不 会注意到这一细节，所以在涉及到直线参数方程f曲线的极坐标方程的问题时我们一走要 r = 1 4/ 注意到直线参数方程中参数T的几何意义的探究，如上题中的直线方程'中由y = -l + 3fX = X0 +tcosa于直线的参数方程标准形式中/的系数无论是y = y0+tsmaSina还是COSa r都只能在-1,1上取值一旦/的前面的系数超过了区间-1,1则要考虑7 参数I是多少个单位长度为单位向星。于是在上面的解答中我们只要在=右的基础上 1 _ Af77乘以直线参数方程二_ + °中