高一下学期期末复习之必修五不等式知识点及主要题型讲义含解答

1、不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质:（1）对称性：a bb a传递性：ab,bCaC加法法则：ab a c bC ； ab, C da C Ib d（同向可加）乘法法则：ab,c 0 acbc ；a b, C 0acbcab 0,c d OI acbd （同向同正可乘）倒数法则：ab, ab 01 1 a b乘方法则：a b 0 an bn(n N * 且n1)开方法则：ab 0 n an b(nN * 且 n 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法（作差一一-变形-主I I怖竹旦判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）

2、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx C O或ax2 bx c 0 a 0的解集：设相应的一元二次方程a2 bx C O a O的两根为为、x2且Xi x2，b2 4ac，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（a 0）的图象一兀二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将 分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。解 分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式f X

3、A在区间D上恒成立，则等价于在区间D± f X min A若不等式f X B在区间D上恒成立，则等价于在区间D± f XmaX B（三）线性规划用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C>O在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=O某一侧所有 点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（X） y）,把它的坐标（X） y）代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x。, Yo）,从A沟+By°+C 的正负即可

4、判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当CMo时，常把 原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念： 线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件. 线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y的解析 式，叫线性目标函数. 线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线 性规划问题. 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可

5、行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：(1) 寻找线性约束条件，列出线性目标函数；(2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；(3) 依据线性目标函数作参照直线 ax+by = O,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式ab22 21 .若a,b R,则a +b 2ab,当且仅当a=b时取等号.题型一：不等式的性质1.对于实数a,b,c中，给出下列命题:2如果a,b是正数，那么 U . ab（当且仅当a b时取""号）22变形：有:a+b 2 ab ； ab a一b ,当且仅当a=b时取等号.23.如果a,b R

6、+ a b=R定值）,当且仅当a=b时，a+b有最小值2P ；S2 如果a,b R+且a+b=S（定值）,当且仅当a=b时，ab有最大值 一.4注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”若a2 2b,贝U ac bc ;若ac2bc2,则 ab ；若ab0,则 a2ab b2 ;若ab 0,则a1b ；若ab0,则-aab ；若ab 0,则 ab ；若Cab 0,则abCaCb；若ab，a b则 a 0,b0其中正确的命题是题型二：比较大小（作差法、函数单

7、调性、中间量比较,基本不等式）2.设 a 2， Pa1a 2a2 4a 2q 2,试比较p,q的大小3. 比较1 + logx3与2logx2(x 0且X 1)的大小构选用）；（2） a、b、C R, a2(3)若 a b 0,m0 ,则-a（糖水的浓度问题）a m 2 24. 常用不等式有：（1）寸少- 才 Uab 十（根据目标不等式左右的运算结a bb2 c2 ab bc Ca （当且仅当a b C时，取等号）；不等式主要题型讲解I 1a b4. 若 a b 1,P lga lgb,Q (lg a lg b), R lg( )，贝U P,Q, R 的大小关系2 2是 .(二) 解不等式题型

8、三：解不等式（一）不等式与不等关系5. 解不等式 x2 +7+4 >04x2-4÷1 >iJ6. 解不等式(X 1)(x 2)20。7. 解不等式J X 1X2 2x 38. 不等式 a2 bx 12 0 的解集为x-1 VX V 2,则 a =, b=9. 关于X的不等式ax b 0的解集为(1,),贝U关于X的不等式-b 0的解集为X 210.解关于X的不等式ax2 (a 1)x 10题型四：恒成立问题11. 关于X的不等式a X2+ a X +1> 0 恒成立，则a的取值范围是12. 若不等式X2 2mx 2m 1 0对0 X 1的所有实数X都成立，求m的取值

9、范围.,1 Q13. 已知X 0, y 0且- 一 1 ,求使不等式X y m恒成立的实数m的取值范围。X y(三)基本不等式,0b Lb2题型五：求最值14. (直接用)求下列函数的值域(1) y=3 2 +秒15.(配凑项与系数)5(1)已知X -,求函数y 4X4(2)当上时，求y x(81 y 二 X +x21的最大值。4x 52x)的最大值。216.(耐克函数型)求y Z 70(x1)的值域。X 1注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。17.18.(1)(2)(3)(用耐克函数单调性)(条件不等式)若实数满足a b已知X 0,y 0，求函数y2 ,

10、则 3af (x) X XX2 5的值域。X243b的最小值是，求X y的最小值。2已知X，y为正实数，且X 2 +与1(4) 已知a, b为正实数，2b+ ab+ a= 30,求函数y =亦 的最小值题型六：利用基本不等式证明不等式19. 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2 c2ab bc Ga20. 正数 a, b, C 满足 a+ b+ C = 1,求证：(1 a)(1 b)(1 C) 8abc11121. 已知 a、b、C R ,且 a b C 1。求证：1-1-18abC已知实系数一元二次方程X2 (1 a)x a b 1 0的两个实根为 x1、x2 ,并且24.0 x

11、1 2, X2 2 则R的取值范围是a 1X 03x 4y 425. 已知,y满足约束条件：y 0,则2 y2 2x的最小值是x 2y 3026. 已知变量XIy满足约束条件x 3y 3 0.若目标函数Z ax y (其中a>0)仅在点y 10(3, 0)处取得最大值，则a的取值范围为。XIy0题型七：均值定理实际应用问题:27.已知实数x, y满足y 1，y 2x 1,如果目标函数Z X y的最小值为1 ,则实数m等Xy m题型八：目标函数求最值22.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200吊的三级污水处理池(平面图如图)，如果池外圈周壁建造单价为每米 400元，中间两条隔墙建设计污

12、水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。28.某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售(四)线性规划价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元,筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米 80元，池壁的厚度忽略不计，试题型九：实际问题问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少?2x y23.满足不等式组7x y3080 ,求目标函数k3x y的最大值复习一一不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习-不等式1) > 0当a0时，a(x- )( X-1) V0；当av0时，原不等式等价于(X a-

13、)(Xa1.；2. Pq ；3. 当 O X 1 或 X 4 时，1 + log3 > 2log x2 ；当 1 X -时，1 + og3 V 2log X 2 ；当334X 时，1 + log X 3 2og X 234. / a b 1 1 ；g a 0,lg b 0 Q (Iga Igb) lg a lg b P2a b； 1_ _ _R lg( ) lg , ab lg ab Q R>OP02 25. x X 1 或 X 2；不等式的解集为XX诫X -；a当0vav 1时，1V-,不等式的解集为x1 Xa当a> 1时,当a 1时,10.11. m12. 解:(2)0

14、X V 46.( 1,1)U(2,3)；7.不等式 ax2 bx 12 0 的解集为x-1 VXV2,则 a=_-6, b=_68. ( , 1) (2,)9.解：当a 0时，不等式的解集为XX 1 ； 2分-V 1,不等式的解集为X1 X 1aa不等式的解为 2 13x 21(1) y3x 2 +£?1当 X > 0 时，y XX1 X X2；1当 XV0 时， y X +_ = -(- X-_ ) - XX值域为(-,- 2 2，+13.(I)解：X 5,15 4x 0 , y 4x 2 -10分12分值域为,6 , +1X = 2X4x32 35 4x4x 5当且仅当5

15、4x,即X 1时，上式等号成立，故当X 1时，ymax 1。5 4x所以，所求函数的值域为 -,227. 1j = (8-2x) =(8-2x)1(2j + 82JT16.(条件不等式)当U -,即X = 2时取等号 当X = 2时,x(8 2x)的最大值为&(1) 解：3a和3b都是正数,3a 3b 2 3a 3b2 3a b 614.解析一:当3a 3b时等号成立,2及3a3b 得 a b1即当a b 1时,3a3b的最小值是6.(当且仅当X = 1时取“=”号)。(2)解:1016解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x + 1,化简原式在分离求最值。当且仅当丄X9

16、x时，上式等号成立，又V1 ,可得X4, V 12 时,Vmin 16当,即 t = : + 1 时，y2t 4 59 (当t=2即X= 1时取“=”号)(3) 解:1 + V 22盲15.解：令 X2 4 t(t 2),则 V X5×r72)F面将x,2 + V2分别看成两个因式:1不在区间2,故等号不成立，考虑单调性。22丄VX +三因为y t 1在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故t5y 2。（4） 解：法a=30 2bb+ 1-30 2b ab =冇2 b 2+ 30bb+ 1证明：a、b、C R , a b C 10-1b_Caa a由 a>0 得

17、，0vbv15上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得=b+1, 1 vt V16, ab=-2t2+ 34t 31t8。当且仅当a1时取等号。320.解:200若设污水池长为X米，则宽为工（米）ab 18当且仅当t = 4,即b= 3, a=6时，等号成立。21.2瓷+2水池外圈周壁长：工（米）法二：由已知得：30 ab= a+ 2bv a+ 2b2 2 ab/. 30 ab2 2 ab令 U= aJ贝U u2 + 2 /2 u 300, 5 ,2 u 3 '222.2 200中间隔墙长：J （米）23.ab 3 2 , ab 18,池底面积：200 （米2）24.2rry=40C(2+L-)+24g-2÷8O×20O = SOCz-)+160C目标函数：'b222,c为两两不相等的实数，求证： a b G ab bc Ga18.正数 a, b, C 满足 a+ b+ C = 1,求证：(1 a)(1 b)(1 C) 8abcIII19.已知 a、b、C R ,且 a b C 1。求证：1- 1- 18a b