4年级-13-鸡兔同笼问题-难版

1、第13讲鸡兔同笼与假设法在我国古代的数学著作孙子算经中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有 35个，鸡脚与兔脚一共有 94只。问鸡和兔一共有多少只？ 这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多 种多样，但一般采用假设法。典型例题【例1】今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共 94只。问鸡、兔各有多少只？【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找

2、到正确答案。假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2X 35=70只，与实际相比，减少了 9470=24只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4- 2=2只脚。所以兔有24 + 2=12只，鸡有 35 12=23 只。【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有 2X16=32 （只）脚，但实际上有 44只脚，比假 设的情况多了 44-32 = 12 （只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了 2只。因此只要算 出12里面有几个2

3、,就可以求出兔的只数。 有兔（44-2X16） + （4-2） =6 （只）,有鸡16-6 =10 （只）。【例2】面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各 有多少张？【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么 27张人民币是2X 27=54元，与实际相比减少了 99- 54=45元，减少的原因是每把一张面值 2元的人民 币当作一张面5元的人民币，要减少 5 2=3元，所以，面值是 5元的人民币有45+3=15 张，面值2元的人民币有 2715=12张。【小试牛刀】小白有 2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？【解

4、析】2分10枚，5分30枚【例3】一批水泥，用小车装载，要用 45辆；用大车装载，只要 36辆。每辆大车比小车 多装4吨，这批水泥有多少吨？【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩 4X36=144吨，需4536=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144+9=16吨，所以，这批水泥共有16 X 45=720吨。【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要 48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？【解析】96吨【例4】某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这个不但不给运费，而且要赔偿

5、3元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元。求打碎了几个玻璃杯？【解析】假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费1X 1000=1000元，实际上少得1000 920=80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎一个，不但不给运费还要赔偿 3元，这样玻璃杯厂就少收入1+3=4元。又已求出共少收入 80元，所以打碎的玻璃杯数为80+ 4=20 个。【小试牛刀】搬运 1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角。但打碎一只，不仅不给搬运费还要赔5角。如果运完后共得运费 260元，那么，搬运中打碎了多少只？【解析】50只【例5】某场乒乓球比赛售出 30元、40元、50元的门票共

6、200张，收入7800元。其 中40元和50元的张数相等，每种票各售出多少张？【解析】因为“ 40元和50元的张数相等"，所以可以把40元和50元的门票都看作45元的 门票，假设这200张门票都是45元的，应收入45X 200=9000元，比实际多收入 9000 7800=1200元，这是因为把 30元的门票都当作 45元来计算了。因此 30元的门票有1200 +（45 30） =80张，40元和50元的门票各有（20080） + 2=60张。【小试牛刀】某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张，收入15600元。其中40元和50元的张数相等，每种门票各售出多少张？【解析】

7、30元的160张【例6】一次竞赛的抢答题共有 20道题，如果抢答对一道题就加 10分，抢答错误要倒扣20分。李刚在比赛中抢答了9道题，一共加了 30分，他抢答对几道题？【解析】假设李刚答对了9道题，那么他答错了（10X 930） + （ 10+20）=（9030） + 30=60+30=2 （道）答对了 9-2=7 （道）【例7】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多 20只。问：鸡、兔各多少只？【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多 20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020=180 （只）。现在以兔换鸡，每换

8、一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就 会减少4 + 2=6 （只），而180+6=30,因此有兔子 30只，鸡10030 = 70 （只）。解：有兔（2X 100 20） + （ 2 + 4） = 30 （只），有鸡10030=70 （只）。【小试牛刀】现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油 4千克，每个小瓶可装油 2千克，大瓶比小瓶共多装 20千克。问：大、小瓶各有多少个？【解析】小瓶有（4X 50-20 ） + （ 4+2） = 30 （个），大瓶有50-30 = 20 （个）。【例8 有蜘蛛、蝉、蜻蜓共 22只，共有腿148条，翅膀22对。（其中蜘蛛有8条腿；蜻蜓有

9、6条腿，两对翅膀；蝉有 6条腿，一对翅膀）。求蜻蜓有多少只？【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题，我们先依据题意，得到以下几种数量:项目蜘蛛蜻蜓蝉合计只数（只）22腿（条）8X只数6X只数6X只数148翅膀（对）2X只数1X只数22注意到蜻蜓和蝉都是有 6条腿，而蜘蛛有 8条腿。所以可以先从腿数入手求出蜘蛛的 只数。假设三种昆虫都是 6条腿，那么总腿数是 6X 22=132 （条），与已知的148条腿相差 148132=16 （条），这是因为每只蜘蛛少算了8 6=2（条）腿，所以有16+2=8（只）蜘蛛。这样蜻蜓和蝉一共有 22-8=14 （只），一共有22对翅膀。再从翅月入手，假设14

10、只昆虫全是蜻蜓，求出蝉有（2X14 22） + （21） =6 （只），这样蜻蜓有14-6=8 （只）。假设三种昆虫都是 6条腿，那么蜘蛛有：（1486X22） + （ 86）= （148 132） + 2=16+2=8 （只）蜻蜓和蝉一共有 22- 8=14 （只）假设14只昆虫全是蜻蜓，那么蝉有：（2X1422） + （21）=（28 22） + 1=6+1=6 （只）蜻蜓有14-6=8 （只）【小试牛刀】蜘蛛有 8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三 种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？【解析】9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。提示：把小虫

11、分成 8条腿与6条腿两种，先求出蜘蛛的数。【例9】学校买来足球、篮球和排球共 45个，共花费2820元。其中足球每个 80元， 篮球每个60元，排球每个 50元；现已知足球个数比排球少3个。三种球各买了多少个？【解析】假设排球减少 3个，此时三种球一共有 45-3=42 （个），共花费282050X 3=2670 （元）。由于足球与排球个数同样多，就可以把足球与排球和起来看作是一种球，这时足球、排球平均每个是（80+50） + 2=65 （元）。此时就将题目转化为典型的鸡兔同笼问题：两种球共有42个，共花费2670元，其中篮球每个是 60元，另一种球每个是 65元。 两种球各有多少个？求出篮球

12、有多少个以后，就可以求出足球和排球有多少个。将排球减少3个，那么有45-3=42 （个）球，共花费 282050X 3=2670 （元），足球、排球 平均每个是（80+ 50） + 2=65 （元）。假设全是另一种球，那么篮球有（65X422670） + （ 6560）=（27302670） + 5=60+5=12 （个）这样足球与排球一共有 33个，一共花了 2820-60 X 12=2100元。假设全是排球，那么足球有( 2100 50X 33) + ( 8050)=(2100 1650) + 30=450+ 30=15 (个)排球有33-15=18 (个)【小试牛刀】学校买来足球、篮球和

13、排球共34个，共花费2430元。其中足球每个 90元，篮球每个70元，排球每个60元；现已知买足球所花的钱数与买排球用的同样多。三种球各买了多少个？【解析】把2个足球、3个排球看作一组，求出平均每个球的价钱是：(90X2+60X 3) + ( 2+3)=360 + 5=72 (元)假设学校买来的全是篮球，那么“新球”有：(243070X 34) + ( 7270)=(2430 2380) + 2=50+ 2=25 (只)篮球有：34-25=9 (只)足球有：25+ ( 2 + 3) X 2=25+5X 2=10 (个)排球有：25-10=15 (个)【例10】师徒二人合作加工赶制一批零件。师傅

14、每小时加工零件 200个，徒弟每小时加工120个，中途师傅由于疲劳先后休息了3小时。工作完成后，徒弟发现他仍然比师傅少加工了 200个零件。师徒二人共加工了多少个零件？【解析】师徒二人一共加工了2600个零件。A.课后作业1.100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？【解析】如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300 140= 160(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少31 = 2（个），因为160+ 2=80,故小

15、和尚有 80人，大和尚有 10080 = 20 （人）。同样，也可以假设 100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。2 .彩色文化用品每套 19元，普通文化用品每套 11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？【解析】我们设想有一只“怪鸡”有 1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们 共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。假设买了 16套彩色文化用品，则共需 19X16=304 （元），比实际多 304 280=24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用1911 = 8 （元），所以买普通文化用品2

16、4 + 8=3 （套），买彩色文化用品163=13 （套）。3 .一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要 36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？【解析】要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。利用假设法，假设只用 36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下 4X36=144 （吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9 （辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144+9=16 （吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。4X 36+ （ 45-36） X 45=720 （吨）。答：这批钢材有720吨。4

17、.乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费 0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费 115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？【解析】假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24 X 500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5 （元）。搬运站每打破一只花瓶要损失0.24+ 1.26=1.5 （元）。因此共打破花瓶 4.5 +1.5=3 （只）。（0.24 X 500 115.5 ） + （ 0.24 + 1.26 ） = 3 （只）。5 .小乐与小喜一起跳绳，

18、小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了 3分钟，一共跳了 780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？【解析】利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12X (2+3) = 60 (下)。可求出小乐每分钟跳（78060） + （ 2+3+3） = 90 （下），小乐一共跳了 90X 3=270 （下），因此小喜比小乐共多跳780270X 2= 240 （下）。6 .有2角一张的人民币和 5角一张的人民币共 33张，共11元1角。两种人民币各有多少张？【解析】11元1角=111角假设全是5角一张的人民币，那么2角一张的人民币有：（5X33111

19、） + （5 2）=（165 111） + 3=54+3=18 （张）5角一张的人民币有：33-18=15 （张）7 .在竞赛抢答题组比赛中，李刚和王平各自抢答了10道题，已知抢答的规则是答对一题加20分，答错一题要倒扣 16分。结果两人一共得了 256分，其中李刚比王平多得了72分。两人各答对了几道题？【解析】假设20道题全答对，那么二人一共答错：（20X 20 256） + （ 20+ 16）=（400- 256） + 36=144+ 36=4 （道）二人一共答对：20-4=16 （道）李刚比王平多答对：72+ （ 20+ 16） =2 （道）所以李刚答对：（16+2） +2=9 （道）王

20、平答对：92=7（道）8 .红英小学组织120名教师和学生参加植树活动。每个老师植树2棵，每两个学生种一棵树。他们一共种了 90棵树。老师和学生各有多少人？【解析】假设参加植树的全是学生，那么教师有：（90 120 + 2） + （ 2 0。5）=（90-60） + 1。5=30+1。5=20（人）学生有：120 20=100 （人）9 . 一个年级有四个班，一共有 181名学生。其中一班比二班少 3人，二班比三班少 4人，三班人数与四班人数同样多。四个班各有多少学生？【解析】假设四个班的人数都与二班人数同样多，那么二班有：（181 + 3 4X 2）+4=（184 8） + 4=176+4=44 （人）一班有：443=41 （人）三班、四班分别有： 44 + 4=48 （人）10 .传说九头鸟有9个头和1条尾巴，九尾狐有1个头和9条尾巴。