第1讲向量的概念ppt课件

1、一一. 向量的基本概念向量的基本概念第一节第一节 向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示二二. 向量的坐标表示向量的坐标表示向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 一一. 向量的基本概念向量的基本概念 向量及其几何表示. 向量的加减法、向量与数乘. 向量在轴上的投影.1. 向量及其几何表示物理量物理量标量标量: 仅用数值大小就可描述的量仅用数值大小就可描述的量.例如, 面积、体积、质量、温度、功向量向量: 除用数值描述其大小外除用数值描述其大小外, 还要还要 指明它在空间中的方向的量指明它在空间中的方向的量.例如, 速度、加速度、力、位移向量、模，称为向量。，同时由方向确定的量在空

2、间中，由数值大小个非负数。称为向量的模，它是一表示向量大小的数值， 向量的几何表示)( 起点A)( 终点B) ( aAB | |表示向量的模。和aAB 一般说来，向量间不能比较大小，但向量的模可以比较大小。向量相等 )( | | 1.；模相等ba . 2，方向相同: 满足下列条件和若向量ba。相等，记为与则称向量baba 行的直线上，位于同一直线或两条平和若向量 ba方向相同。与且指向相同，则称 ba 在这种定义下，向量可以在空间中任意平移。 具有这种性质的向量称为“自由向量”。零向量、单位向量、向量的负向量。零向量，记为模等于零的向量，称为 0 . 1定。意的，可根据需要来确规定零向量的方向

3、是任。，表示为空间中的一个点几何上，0 |0| 0 1 . 2的的向量，称为同向，且模为与已知的非零向量aa) 1 | ( 00aa 。单位向量，记为 | 0aaa的负向量，记向量，称为的模相等，方向相反的与 . 3aa。为a aa2. 向量的加减法、向量与数乘向量的加法ABCDabACADABcba平行四边形法ABCab三角形法ACBCABcba首尾相接例例ab 同向： :ba 首尾相接cba 反向：ab :ba 首尾相接cbaabcnrrncba 首尾相接向量加法的运算律向量加法的运算律(1)交换律: abbabaabccbcba(2)结合律:)()(cbacbaabababba向量的减法

4、 逆运算：向量的减法是其加法的 , , 记为之差与为向量向量则称若bacacb。 , cbabacABCab三角形法CBACABcbacba项的终点由减项的终点指向被减向量与数乘 ：为满足下列条件的向量的乘积与实数向量aa ; | | | . 1aa , , 0 . 2同向与时aa , , 0反向与时aa 0 , 0。时a向量与数相乘，。或反向进行拉长或缩短相当于将向量沿原方向aaaa向量平行行的直线上，位于同一直线或两条平和若向量 ba。平行，记为与向量则称baba/ 与任何一个向量平行。规定： 0 。为非零向量，则与设ababba / ，便可证明。念，令由向量与数的乘积的概| ab向量运算

5、的性质, abba),()(cbacbacba,0aa, 0aa),( baba, 00a, 00,) 1(aa,aa),()(aaa,)(aaa。baba )(, anaan 个例例。为非零向量，则设| 0aaaa证证。，所以，可令是非零向量，故因为|1 0 | aaa同向。与，所以，由于 0 aa，又 1 |1 | | aaaa是一个单位向量。故 a。的单位向量，即为综上所述，0| aaaaaa0| aaa例例。，求，设vuabvcbau 342 解解)3()42(abcbavuabcba342。cba452aba和b试用表示向量MA,MB,MC和MD.其中, M是平行四边形对角线的交点.

6、 在平行四边形ABCD中, 设AB=, AD =解:ba由= AC = 2MC有MC = )(21ba又 = BD = 2MDab)(21ab有MD = MB = MD )(21)(21baab)(21baMA = MC abDABCM例例3. 向量在轴上的投影向量间的夹角 是两个非零向量。与设ba此时它们可确定的起点重合使它的起点与平移 , ab ,的夹角称为正向间不超过与一个平面。在该平面上ba等。、或的夹角，记为与向量 , babaabb , ,baba0 ,aa , 0ba空间中一点在轴上的投影AuA向量在轴上的投影为上的有向线段轴 BAu上的投影向量。在轴向量 ua反向与轴同向与轴，

7、uBABAuBABAaprju的缩写是 projectprjABABau: 上的投影在轴向量ua投影定理投影定理投影定理 1cos| aaprju。其中ua , BBAAuB1 , ：则可得到向量间的投影换成向量将轴u投影定理投影定理 1 的推论的推论 , 。则若bprjaprjbauu 。该推论的逆命题不成立uABab bprjaprjuu ,cos| 。baaaprjb投影定理投影定理 2。nkkunkkuaprjaprj11影的和。上的投影等于各向量投有限个向量的和在某轴BBAAuCC1a2a21aa投影定理投影定理投影定理 3。aprjaprjuu 为实数。其中投影定理投影定理投影定理

8、 1cos| aaprju。其中ua , 投影定理投影定理 2。nkkunkkuaprjaprj11影的和。上的投影等于各向量投有限个向量的和在某轴投影定理投影定理 3。aprjaprjuu 为实数。其中二二. 向量的坐标表示向量的坐标表示1. 空间直角坐标系 . 23中点的坐标空间 R3. 空间中两点间的距离4. 空间中点的向径5. 向量的坐标表示形式6. 向量的方向余弦7. 向量运算的坐标形式1. 空间直角坐标系xyzO右手系横轴纵轴竖轴三根数轴两两相互垂直相交于一点长度单位相同原点 轴（竖轴）。轴（纵轴）、轴（横轴）、三根坐标轴：zyx平面。平面、平面、三个坐标面： xzyzxyxyyz

9、xzzIVVIVVIIxyVIIIIIIIIIO 8 3个卦限为三个坐标面分空间 Rzyx卦限卦限xzyO . 23中点的坐标空间 R0 x0y0zRQP0M ),( , 00000000。记为、的坐标为点zyxMzyxM),( zyxM 横坐标x 纵坐标y 竖坐标z平面上位于点 )0 ,( xyyx平面上位于点 ), 0( yzzy平面上位于点 ), 0 ,( xzzx轴上位于点 )0 , 0 ,( xx轴上位于点 )0 , 0( yy轴上位于点 ), 0 , 0( zz为坐标原点 )0 , 0 , 0(xyz),(zyxM3. 空间中两点间的距离空间中两点间的距离OQ222| |QMOQO

10、Mxyzz222)(zyx222zyx ),d( ),( ：到坐标原点的距离点OMzyxM ),d(222zyxOM ),( ),( , 0003：间的距离与点点中空间zyxMzyxMR。 )()()(),d(2020200zzyyxxMM例例到坐标原点求点中在空间 )5 , 0 , 4( , 3PR )6 , 3 , 1( 。的距离及点Q解解。 41504),d(222OP。 35)65()30()1(4(),d(222QP4. 空间中点的向径xzyO0 x0y0zRQP0MO。记为对应的向径为点 , ),( 0000000OMrOMzyxM0r引入三个基本单位向量引入三个基本单位向量xzy

11、ORQPkij),(0000zyxM00MQQOOMQ0MQQPOPOROQOP, 0ixOP, 0jyOQ, 0kzOR。 0000kzjyixOM00 OMprjxxox轴上的分量在00 OMprjyyoy轴上的分量在00 OMprjzzoz轴上的分量在0 x0y0z向径的分量、坐标表示xzyORQPkij),(0000zyxMQ。 1 | | | ; , ,kjikji ),( , 00003所对应的向径为点中空间zyxMR , 0000kzjyixOM 或表示为 ) , , (0000。zyxOM ) (分量形式 ) (坐标形式 , 00则记rOM。 0000krprjjrprjirp

12、rjOMozoyoxMM05. 向量的坐标表示形式xzyO0MM ),( , ),( 0000zyxMzyxM设 0。rra , 3其对应的向径中任意两点为R。和分别为rr 0r0ra , 0则记MMa 由投影定理kaprjjaprjiaprjaozoyox krrprjjrrprjirrprjozoyox )( )( )(000krprjrprjjrprjrprjirprjrprjozozoyoyoxox )( )( )(000。 )( )( )(000kzzjyyixx。 )( )( )(0000kzzjyyixxMM ) (分量形式 ) (坐标形式 记为 ) , , (0000。zzyy

13、xxMM , , , , 3则记aprjaaprjaaprjaRaozzoyyoxx。 kajaiaazyx ) (分量形式。 ) , ,(zyxaaaa ) (坐标形式。 )0 , 0 , 0(0 , ) 1 , 0 , 0( , )0 , 1 , 0( , )0 , 0 , 1 (kji6. 向量的方向余弦xzyOa 3中的非零向量设 R) , ,(zyxaaaa , , 正向间的夹与坐标轴ozoyox, , , 角依次为 则由投影定, cos| aaprjaoyy, cos| aaprjaozz 故有 , |cosaax , |cosaay |cos。aaz , cos| ,aaprja

14、oxx得理 cos ,cos ,cos , , 的方向余弦。为；的方向角为称aa) | ( 1coscoscos , 222222zyxaaaa显然。 )cos , cos , (cos0a , |cosaax , |cosaay |cos。aaz。0 | aaa ) , ,(kajaiaaaaazyxzyx222 |zyxaaaa。 )0 , 0 , 0(0 , ) 1 , 0 , 0( , )0 , 1 , 0( , )0 , 0 , 1 (kji例例 6 ,3 ,4 ,3 。的向量模等于求方向角a解解)cos ,cos ,(cos0a )3cos ,4cos ,3(cos , )21 ,

15、22 ,21 (00 6 | aaaa ) 3 , 23 , 3() 21 ,22 ,21 ( 6。7. 向量运算的坐标形式 , ) , ,( kajaiaaaaazyxzyx设 , , 为实数, ) , ,(kbjbibbbbbzyxzyx 则; ) , , ( zyxzyxaaakajaiaa )( )( )(kbajbaibabazzyyxx ; ) , ,(zzyyxxbababa ; , , zzyyxxbabababa。 / /zzyyxxbababababa例例 , 163 4 , 42 , 5 2 kjickjbkjia设轴上的投影、的坐标表示式、在求 4 xcbam 。轴上的

16、分量、方向余弦在 y解解) 163 4() 42() 5 2( 4kjikjkjimkji )16(4)5(4( )324( )424( 3 4。ji )0 , 3 , 4( 。的坐标形式： mm 4 。轴上的投影：在mprjxmox 3 。轴上的分量：在jym 0cos , 53cos , 54344cos 22。的方向余弦：m , 2 平面上。位于即此时xym例例 , , , )0 , 3 , 2( 轴上的投影依次为在的起点为设zyxaAa 21 , 7 , 4 , 4。以及的终点求ABBa解解 , ) , 3 , 2( , ) , ,( zyxABazyxB则设终点为, 42 x , 4

17、3y, 7z。 7 , 1 , 2zyx ) 27 , 2 , 2 (21 , ) 7 , 1 , 2 ( , 。终点为于是ABB , ) 7 , 4 , 4 ( ,故由已知条件a例例分成求将线段和点已知点 , ),( ),( 222111ABzyxBzyxA ) 1( 。的分点定比M解解xzyOABM1r2rr引入向量如图所示。 ,依题意 , MBAM , , 21rrMBrrAM而 , )( 21rrrr故 1 21。即rrr ,的坐标为得分点由向量相等及向量运算M。 1 , 1 , 1 212121zzzyyyxxx练习三等分，和被已知线段)0 , 2, 5()2 , 0 , 2(DCAB的坐标。和求BA解:由题设 |MA| = |MB|.即:222)7()01 ()04( z解得:914z所求点为 M (0, 0, )914设该点为M(0, 0, z)222)2()05()03(z 在z轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点.练习例例解解 ：力的合力的大小和方向求作用于同一点的三个。 54 3 , 432 , 32kjickjibkj