信号与系统：第9章 拉普拉斯变换

1、 物理与光电工程学院物理与光电工程学院 党员示范课党员示范课第第9章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换Laplace Transform内容提要9.1 拉普拉斯变换9.2 拉普拉斯变换收敛域9.3 拉普拉斯反变换9.4 由零极点图对傅立叶变换进行几何求值9.5 拉普拉斯变换的性质9.6 常用拉普拉斯变换对9.7 用拉普拉斯变换分析和表征LTI系统9.8 系统函数的代数属性与方框图表示9.9 单边拉普拉斯变换 傅里叶变换是以复指数函数的特例傅里叶变换是以复指数函数的特例 和和 为基底分解信号的。对更一般的复指数函数为基底分解信号的。对更一般的复指数函数 和和 ，也理应能以此为基底对信号进行分解。，也理

2、应能以此为基底对信号进行分解。jtejnestenz 傅里叶分析方法之所以在信号与傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切函数是一切 LTI 系统的特征函数。系统的特征函数。 将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。一章要讨论的中心问题。9.1 9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 ( )( )stH sh t edt特征函数特征函数本征函数本征函

3、数特征值特征值本征值本征值( )h tste( )( )sty tH s esj( )()jty tHje()( )j tH jh t edt傅立叶变换傅立叶变换一、双边拉氏变换的定义：一、双边拉氏变换的定义：( )( )stX sx t edtsj( )( )Lx tX s双边拉氏变换适合于包含非因果信号和系统的问题。双边拉氏变换适合于包含非因果信号和系统的问题。( )|( )sjX sF x t()( )j tXjx t edtsj傅立叶变换傅立叶变换表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在在 或是在或是在 轴上的特例。轴上的特例。0j( )

4、( )X sL x t( )( )stX sx t e dt( )tFx t e由于由于 只要有合适的只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入足狄里赫利条件的信号在引入 后满足该条件。后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。用性。te( )tj tx t eedt( )tj tx t eedt( )tx t edt 拉氏变换收敛的必要条件：拉氏变换收敛的必要条件：( )tx t e绝对可积绝对可积

5、1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。 2. 使拉氏变换积分收敛的复数使拉氏变换积分收敛的复数 S的集合，称为拉氏的集合，称为拉氏变换的收敛域变换的收敛域 ROC（Region of Convergence）。）。ROC仅决定于仅决定于S的的实部，实部，使拉氏变换收敛的使拉氏变换收敛的 范围。范围。收敛域的划分：收敛域的划分：傅氏变换与拉氏变换之关系：傅氏变换与拉氏变换之关系： 1. 1. 0 0 = 0 = 0： 2 2 0 0 0 0：傅氏变换不存：傅氏变换不存在。不能由拉氏变换去求得在。不能由拉氏变换去求得其傅氏变换其傅氏变换。 3 3 0 0

6、 0。 解解： 4、时域尺度变换、时域尺度变换:ROC:R( )( ),x tX s若若1sx atXaaROC : a R则则 可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在在S平面上作相反的尺度变换。平面上作相反的尺度变换。()(),xtXsROC :R特例：特例： 12,1 21 221sY sXs1ROC:2 例：例： 1( )( ),1tx te u tX ss1 22ttxe u t求求 的拉氏变换及的拉氏变换及ROC解：解： 22tty txe u t 如果如果 是实信号，且是实信号，且 在在 有极点（或零点），有极点（或零点），则则 一

7、定在一定在 也有极点（或零点）。这表明：实信也有极点（或零点）。这表明：实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭成对出现。号的拉氏变换其复数零、极点必共轭成对出现。( )x t( )X s0s( )X s0s当当 为实信号时，有：为实信号时，有：( )x t( )( )x tx t( )( )X sX s( )()XsX s或或5、共轭对称、共轭对称性性：( )( ),x tX sROC:R若若( )(),x tXsROC:R则则1212( )( )( )( )x tx tX s XsROC:12RR包括包括 6、卷积性质、卷积性质:11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x

8、 tXs2ROC:R若若121RR显然有显然有:例例：11( ),1X ss21( ),23sX sss1ROC:1R 2ROC:2R 121( )( ),23X s XsssROC:2, 扩大扩大7、时域微分时域微分: :( )( )dx tsX sdtROC包括包括R, ,有可能有可能扩大扩大( )( ),x tX sROC: R若若1( )( )2jstjx tX s e dsj 222( )( )d x ts X sdt.)(sin,1)()(cos)(2LTttusssFttutf的试利用时域微分性质求的象函数已知sincosdttdt21( )1X ss2( )( )1ssX sF

9、 ss8、S域微分域微分:( )( ),x tX s( )( ),dX stx tds若若则则ROC : RROC : R21( )()X ssaROC:a例：例：，求，求 。( )x t211()()dsadssa ( )( )atx tteu t( )( )stX sx t edt 22255( ),Re1(1) (2)ssX ssss 2213( )(1)12X ssss例例9.152( )23( )tttx tteeeu t 9、时域积分、时域积分:( )( ),x tX sROC : R若若1( )( )txdX ssROC :包括包括(Re 0)Rs 则则( )( )( )txdx

10、 tu t1( )( )txdX ss 如果如果 是因果信号，且在是因果信号，且在 不包含奇异不包含奇异函数，则函数，则( )x t0t (0 )lim( )sxsX s初值定理初值定理( )( ) ( )x tx t u t0t ( )0 x t 时时 ，且在，且在 不包含奇异函数。不包含奇异函数。0t 将将 在在 展开为展开为Taylor级数有：级数有：( )x t0t 10、初值与终值定理、初值与终值定理:2( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )( )2!nnttx txxtxxu tn对上式两边做拉氏变换：对上式两边做拉氏变换：( )21111( )(0 )(0 )(0 )nnX

11、 sxxxsss()101(0 )nnnxslim( )(0 )ssXsx 如果如果 是因果信号，且在是因果信号，且在 不包含奇异不包含奇异函数，函数， 除了在除了在 可以有单阶极点外，其可以有单阶极点外，其余极点均在余极点均在S平面的左半边，则平面的左半边，则( )x t0t ( )X s0s0lim ( )lim( )tsx tsX s终值定理终值定理0000( )( ) ( )( )ststststdx tedtedx tdtx t esx t edt是因果信号，且在是因果信号，且在 无奇异函数无奇异函数, ,( )x t0t 证证: :0( )(0 )stx t ex 0( )(0 )

12、( )stdx tedtxsX sdt 当当 时，时，0s00( )( )lim ( )(0 )sttdx tedtdx tx txdt0lim ( )lim( )tsx tsX s9.6 9.6 常用拉氏变换对常用拉氏变换对()nt ut1!LTnns)(t1L T)(0tt0LTste1L TS()ut()ate ut1L Tsa22sin( )LTt u ts22cos( )LTst u ts( )ate u t1LTsa一、系统函数的概念：一、系统函数的概念： 以卷积特性为基础，可以建立以卷积特性为基础，可以建立LTI系统的拉氏系统的拉氏变换分析方法，即变换分析方法，即( )( )(

13、)Y sX sH s9.7 9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTILTI系统系统( )( )( )Y sH sX s系统函数系统函数转移函数转移函数传递函数传递函数 连同相应的连同相应的ROC也能完全描述一个也能完全描述一个LTI系系统。系统的许多重要特性在统。系统的许多重要特性在 及其及其ROC中一定中一定有具体的体现。有具体的体现。( )H s( )H s如果如果 时时 ，则系统是反因果的。，则系统是反因果的。( )0h t 0t 因果系统的因果系统的 是右边信号，其是右边信号，其 的的ROC是最右边极点的右边。反因果系统的是最右边极点的右边。反因果系统的 是左是左边信号，

14、边信号， 的的ROC是最左边极点的左边。是最左边极点的左边。( )H s( )h t( )h t( )H s反过来并不能判定系统是否因果。反过来并不能判定系统是否因果。二、用系统函数表征二、用系统函数表征LTI系统：系统：1、因果性：、因果性：如果如果 时时 ，则系统是因果的。，则系统是因果的。0t ( )0h t ( )H s只有当只有当 是有理函数时，逆命题才成立。是有理函数时，逆命题才成立。2、稳定性：、稳定性： 如果系统稳定，则有如果系统稳定，则有 。因。因此此 必存在。意味着必存在。意味着 的的ROC必然包必然包括括 轴。轴。( )h tdt ( )H s()H jj 综合以上两点，

15、可以得到：综合以上两点，可以得到：因果稳定系统的因果稳定系统的 ，其全部极点必须位于，其全部极点必须位于S平面的左半边。平面的左半边。( )H s稳定性稳定性 傅立叶变换的存在性傅立叶变换的存在性例例9.17：( )( )th te u t1( )1H ssROC:Re 1s 例例9.18：( )th te22( )1H ss 1Re1s 因果性、因果性、稳定稳定非因果性、非因果性、稳定稳定例例9.21：2( )( )th te u t1( )2H ssROC:Re 2s 因果性、不因果性、不稳定稳定例例9.20：1( )(1)(2)sH sss1、因果、因果、不稳定系统不稳定系统2、非因果、

16、非因果、稳定系统稳定系统3、反因果、反因果、不稳定系统不稳定系统221( )( )33tth teeu t221( )( )()33tth te u te ut221( )()33tth teeut 三、由三、由LCCDE描述的描述的LTI系统的系统函数：系统的系统函数：对对00( )( )kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt做拉氏变换，可得做拉氏变换，可得00( )( )( )( )( )MkkkNkkkb sY sN sH sX sD sa s利用拉氏变换求解微分方程三步曲：利用拉氏变换求解微分方程三步曲：建立微分方程建立微分方程取取L L变换变换L L逆变换逆变换的的RO

17、C由系统的相关特性来确定：由系统的相关特性来确定：( )H s（1）如果）如果LCCDE具有一组全部为零的初始条件，具有一组全部为零的初始条件，则则 的的ROC必是最右边极点的右边。必是最右边极点的右边。( )H s（2）如果已知）如果已知LCCDE描述的系统是因果的，描述的系统是因果的，则则 的的ROC必是最右边极点的右边。必是最右边极点的右边。( )H s（3）如果已知）如果已知LCCDE描述的系统是稳定的，则描述的系统是稳定的，则 的的ROC 必包括必包括 轴。轴。( )H sj例例9.23：( )3 ( )( )dy ty tx tdt( )3 ( )( )sY sY sX s( )1

18、( )( )3Y sH sX ss因果：因果：3( )( )th teu t反因果：反因果：3( )()th teut 9.8 9.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示一、系统互联时的系统函数：一、系统互联时的系统函数：1、级联：级联：12( )( )( )H sH sHsROC :12RR包括包括2、并联：、并联：12( )( )( )H sH sHsROC:12RR包括包括3、反馈联结：、反馈联结：11( )( )1( )( )H sH sG s H sROC:12RR包括包括二、二、LTI系统的级联和并联型结构系统的级联和并联型结构：00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt对其进行拉氏变换有：对其进行拉氏变换有：00( )( )( )( )( )NkkkNkkkb sY sN sH sX sD sa s1、级联结构：、级联结构：将将 的分子和分母多项式因式分解的分子和分母多项式因式分解( )H s221011221011()( )()PNPkkkNkkQNQNkkkkksssbH sasss 这表明：这表明：一个一个N阶的阶的LTI系统可以分解为若干系统可以分解为若干个二阶系统和一阶系统的级联。