二次函数_y=a(x-h)2的图象和性质3

1、 二次函数二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2 的图象和性质的图象和性质yax2+ca0a0c0c0(0,c)抛物线抛物线y=axy=ax2 2与与y=axy=ax2 2c c之间的关系是：之间的关系是：形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，而顶点位置和抛物线的位置不同而顶点位置和抛物线的位置不同抛物线之间的平移规律：抛物线之间的平移规律：(c0)抛物线抛物线y=axy=ax2 2抛物线抛物线 y=axy=ax2 2c c向向上上平移平移c c个单位个单位抛物线抛物线y=axy=ax2 2向向下下平移平移c c个单位个单位抛物线抛物线 y=a

2、xy=ax2 2+ +c c比较函数 与 的图象w(2)(2)在同一坐标系中作出二次函数在同一坐标系中作出二次函数y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的图象的图象 w完成下表完成下表, ,并比较并比较3x3x2 2和和3(x-1)3(x-1)2 2的值的值, ,它们之间有什么它们之间有什么关系关系? ? x-3-2-101234 23xy23xy ()231yx=-213 xy272712123 30 03 3121227274848 272712123 30 03 3121227274848 4848272712123 30 03 31212272723xy 21

3、3xy图象是轴对称图形图象是轴对称图形对称轴是平行于对称轴是平行于y轴的直线轴的直线:x=1.顶点坐标顶点坐标是点是点(1,0).二次函数二次函数y=y=3(x-1)3(x-1)2 2与与y=3x2的图象形状的图象形状相同相同,可以看作是抛可以看作是抛物线物线y=3x2整体沿整体沿x轴轴向右平移了向右平移了1 个单位个单位(3)(3)函数函数y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的图象的图象与与y=3xy=3x2 2的图象有什么关的图象有什么关系系? ?它是轴对称图形吗它是轴对称图形吗? ?它的对称轴和顶点坐标它的对称轴和顶点坐标分别是什么分别是什么? ? 二次项系数相同二次项系数相同a0,开

4、口都向上开口都向上.23xy 213xy在对称轴在对称轴(直线直线:x=1)左侧左侧(即即x1时时),函数函数y=3(x-1)2的值随的值随x的增大而增大的增大而增大,.真知 从实践走来1.1.在上面的坐标系中作出二次函数在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象的图象. .它它与二次函数与二次函数y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的图象有什么关系？它是的图象有什么关系？它是轴对称图形吗轴对称图形吗? ?它的对称轴和顶点坐标分别是什么它的对称轴和顶点坐标分别是什么? ? 2.x取哪些值时取哪些值时,函数函数y=3(x+1)2的值随的值随x值的增值的增大而

5、增大大而增大?x取哪些值时取哪些值时,函数函数y=3(x+1)2的值随的值随x的增大而减少？的增大而减少？ 图象是轴对称图形图象是轴对称图形.对称轴是平行于对称轴是平行于y轴的直线轴的直线:x= -1.顶点坐标顶点坐标是点是点(-1,0).二次函数二次函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2与与y=3x2的图象形状的图象形状相同相同,可以看作是抛可以看作是抛物线物线y=3x2整体沿整体沿x轴轴向左平移了向左平移了1 个单位个单位.w1.1.函数函数y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的图象的图象与与y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的图的图象有什么关系象有什么

6、关系? ?它是轴对称它是轴对称图形吗图形吗? ?它的对称轴和顶点它的对称轴和顶点坐标分别是什么坐标分别是什么? ? 二次项系数相同二次项系数相同a0,开口都向上开口都向上.23xy213 xy213xy23xy 213xy在对称轴在对称轴(直线直线:x=-1)左侧左侧(即即x-1时时),函数函数y=3(x+1)2的值随的值随x的增大而增大的增大而增大,.213xy顶点顶点(0,0)(0,0)顶点顶点(2,0)(2,0)直线直线x=x=2 2直线直线x=2x=2向向右右平移平移2 2个单位个单位向向左左平移平移2 2个单位个单位2)2(21xy2)2(21xy顶点顶点( (2,0)2,0)对称轴

7、对称轴:y:y轴轴即直线即直线: x=0: x=0在同一坐标系中作出下列二次函数在同一坐标系中作出下列二次函数: :2)2(21xy2)2(21xy观察三条抛物线的观察三条抛物线的相互关系相互关系, ,并分别指并分别指出它们的开口方向出它们的开口方向, ,对称轴及顶点对称轴及顶点. .向向右右平移平移2 2个单位个单位向向右右平移平移2 2个单位个单位向向左左平移平移2 2个单位个单位向向左左平移平移2 2个单位个单位一般地一般地,抛物线抛物线y=a(xh)2有如下特点有如下特点:(1)(1)对称轴是对称轴是x=h;x=h;(2)(2)顶点是顶点是(h,0).(h,0).（3 3）抛物线）抛物

8、线y=a(xy=a(xh)h)2 2可可以由抛物线以由抛物线y=axy=ax2 2向左或向向左或向右平移得到右平移得到. . (h0)xy向右平移向右平移h h个单位个单位抛物线抛物线y=axy=ax2 2抛物线抛物线y=a(xy=a(xh)2h)2抛物线抛物线y=axy=ax2 2向左平移向左平移h h个单位个单位抛物线抛物线y=a(x+h)2y=a(x+h)2例例1. 填空题填空题（1）二次函数）二次函数y=2（x+5）2的图像是的图像是 ，开，开 口口 ，对称轴是，对称轴是 ，当，当x= 时，时，y有最有最 值，值，是是 .（2）二次函数）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线的图

9、像是由抛物线y= -3x2 向向 平移平移 个单位得到的；开口个单位得到的；开口 ，对称轴，对称轴是是 ，当，当x= 时，时，y有最有最 值，是值，是 .抛物线抛物线向上向上直线直线x= -5-5小小0右右4向下向下直线直线x= 44大大0（3）将二次函数）将二次函数y=2x2的图像向右平移的图像向右平移3个单位后得到函个单位后得到函数数 的图像，其对称轴是的图像，其对称轴是 ，顶点，顶点是是 ，当，当x 时，时，y随随x的增大而增大；当的增大而增大；当x 时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小. （4）将二次函数）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移的图像向左平移3个单位后个单位

10、后得到函数得到函数 的图像，其顶点坐标是的图像，其顶点坐标是 ，对称轴是对称轴是 ，当，当x= 时，时，y有最有最 值，值，是是 .y=2（x-3）2直线直线x=3（3，0）33y= -3（x+1）2（-1，0）直线直线x=-1-1大大0课堂练习课堂练习1.抛物线抛物线y= (x+1)2的开口向的开口向 ，对称轴是，对称轴是 , 顶点坐标是顶点坐标是 ；2.抛物线抛物线 向右平移向右平移2个单位个单位,得到的抛物线得到的抛物线是是 ；2x21y 下下直线直线x = 1 (1，0)22x21y3.3.函数函数y y= 5(= 5(x x3)3)2 2, ,当当x_x_时时, ,y y随随x x的

11、增大而的增大而增大；当增大；当x x 时时, ,y y随随x x的增大而减小。的增大而减小。334 4 函数函数y y=4(=4(x x+1)+1)2 2的图象是由抛物线的图象是由抛物线_向向_平移平移_个单位得到个单位得到. .y=4x2左左15.5.抛物线抛物线y=-2xy=-2x2 2向下平移向下平移2 2个单位得到抛物线个单位得到抛物线_, _, 再向上平移再向上平移3 3个单位得到抛物线个单位得到抛物线_; _; 若向若向左平移左平移2 2个单位得到抛物线个单位得到抛物线_，向右平，向右平移移2 2个单位得到抛物线个单位得到抛物线_._.2 2、按下列要求求出二次函数的解析式：、按下

12、列要求求出二次函数的解析式：（1 1）已知抛物线）已知抛物线y=a(x-h)y=a(x-h)2 2经过点（经过点（-3-3，2 2）（-1-1，0 0）求该抛物线线的解析式。）求该抛物线线的解析式。（2 2）形状与）形状与y=-2(x+3)y=-2(x+3)2 2的图象形状相的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（同，但开口方向不同，顶点坐标是（1 1，0 0）的抛物线解析式。）的抛物线解析式。（3 3）已知二次函数图像的顶点在）已知二次函数图像的顶点在x x轴上，轴上，且图像经过点（且图像经过点（2 2，-2-2）与（）与（-1-1，-8-8）。求）。求此函数解析式。此函数解析式。y=

13、2（x+3）2画出下列函数图象，并说出抛物线的画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。最小值各是什么及增减性如何？。y= 2（x-3）2y= 2（x-2）2y= 3（x+1）22) 1(43xy2)3(43xy2)5(43xy2) 1(43xy2 26)6)(x(x2 21 1y y32 2x x2 21 1y y如何平移：如何平移： 小结 拓展 你认为今天这节你认为今天这节课最需要掌握的是课最需要掌握的是 _ ？ 3.3.抛物线抛物线y=axy=ax2 2+k+k有如下特点有如下特点: :当当a0a0时时,

14、 , 开口向上开口向上; ; 当当a0a0a0时时, , 开口向上开口向上, ,当当a0a0,(k0,向上平移向上平移;k0;k0,(h0,向右平移向右平移;h0;h0a0时时, , 开口向上开口向上, ,当当a0a0a0h0h0(,0)结束寄语读书要从薄到厚读书要从薄到厚, ,再从厚到薄再从厚到薄. .观察图象,回答问题(3)(3)函数函数y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的的图象与图象与y=3xy=3x2 2的图象有的图象有什么关系什么关系? ?它是轴对称它是轴对称图形吗图形吗? ?它的对称轴和它的对称轴和顶点坐标分别是什么顶点坐标分别是什么? ? (4)x取哪些值时取哪些值时,函数函

15、数y=3(x-1)2的值随的值随x值的值的增大而增大增大而增大?x取哪些值时取哪些值时,函数函数y=3(x-1)2的的值随值随x的增大而减少？的增大而减少？ 23xy 213xyw在同一坐标系中作出二次函数在同一坐标系中作出二次函数y=3xy=3x2 2,y=3(x-1),y=3(x-1)2 2和和y=3(x+1)2的图的图象象 w完成下表完成下表, ,并比较并比较3x3x2 2,3(x-1),3(x-1)2 2和和3(x+1)2的值的值, ,它们之间有什么关系它们之间有什么关系? ? 函数函数y=a(y=a(x-h)x-h)2 2(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质x-4-3-2-101

16、23423xy213 xy213 xy2712303122727123031227 27123031227 27 12 30312 27 2.抛物线抛物线y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2和和y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2在在x轴轴的下方的下方(除顶点外除顶点外),它的开口向下它的开口向下,并且并且向下无限伸展向下无限伸展.23xy 213 xy213 xyy3.抛物线抛物线y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2在对称在对称轴轴(x=1)的左侧的左侧,当当x1时时, y随着随着x的增大而减小的增大而减小.当当x=1时时,函数函数y的值最大的值最大(是是0);抛物线抛物线

17、y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2在对称轴在对称轴(x=-1)的左侧的左侧,当当x-1时时, y随着随着x的增大而减小的增大而减小.当当x=-1时时,函函数数y的值最大的值最大(是是0).二次函数函数y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2, ,y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2和和y=-3xy=-3x2 2的图象的图象4.抛物线抛物线y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2可以看作是可以看作是抛物线抛物线y=-3xy=-3x2 2沿沿x轴向右平移了轴向右平移了1个单位个单位;抛物线抛物线y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2可以看可以看作是抛物线作是抛物线y=-3xy

18、=-3x2 2沿沿x轴向左平移轴向左平移了了1个单位个单位.X=-1X=11.抛物线抛物线y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2的顶点是的顶点是(1,0);对称对称轴是直线轴是直线:x=1;抛物抛物线线y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2的顶的顶点是点是(-1,0);对称轴是对称轴是直线直线:x=-1.1.抛物线抛物线y=a(x-y=a(x-h)h)2 2的顶点是的顶点是(h,0),对称轴是平行于对称轴是平行于y轴的直线轴的直线x=h.3.当当a0时时,在对称轴在对称轴(x=h)的左侧的左侧,y随着随着x的的增大而减小增大而减小;在对称轴在对称轴(x=h)右侧右侧,y随着随着x的增的增大而增大大而增大;当当x=h时函数时函数y的值最小的值最小(是是0).当当a0时时,抛抛物线物线y=a(x-h)2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它它的开口向上的开口向上,并并且向上无限伸且向上无限伸展展;当当a0时时,向右移向右移 个单个单位位;当当h0)y=a(x-h)2 (a0)（h，0）（h，0）直线