高等数学上3.6函数图形的描绘

1、上页下页结束返回首页x(, )a( ,)c ( , )a ba( , )b c)(xf )(xf 00)(xf bc 不存在不存在拐点拐点极值点极值点极极大大值值( ,( )b f b( ,( )a f a( ),yf xxR二二阶阶可可导导( )0,fxbc 驻驻点点导导数数不不存存在在点点( )0()fxa 或或导导可可数数不不存存在在点点能能是是拐拐点点复习上页下页结束返回首页第六节一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线二、二、 函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘 第三三章 上页下页结束返回首页函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导是导数应用的

2、综合考察数应用的综合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 上页下页结束返回首页.)(,)(一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyLLPPxfy 一、渐近线定义定义: :上页下页结束返回首页例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx1. 1. 铅直渐近线铅直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x.)()(li

3、m)(lim000的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 上页下页结束返回首页2. 2. 水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy上页下页结束返回首页3. 3. 斜渐近线斜渐近线lim ( )()0( ,)( ).xf xaxba byaxbyf x或或为为常常数数那那么么就就是是的的一一条条斜斜渐渐近近线线斜渐近线

4、求法斜渐近线求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是曲曲线线那那么么xfybaxy y=ax+by=f(x)lim ( )()0 xf xaxb如如果果上页下页结束返回首页 )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy例例1.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)

5、., 1()1 ,(: D上页下页结束返回首页的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxf注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 上页下页结束返回首页二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数确定函数)(xfy 的的定义域定义域 ,期性期性 ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判别列表判别增减增减及及凹凸区间凹凸区间 , 求出求出极值极值和和拐点拐点 ;4.

6、 求求渐近线渐近线 ;5. 确定某些确定某些特殊点特殊点 , 描绘函数描绘函数图形图形 .为为 0 和和不存在不存在的点的点 ;并考察其并考察其对称性对称性及及周周上页下页结束返回首页例例2. 描绘22331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy1332201231上页下页结束返回首页例例3. 描绘方程044)3(2yxyx的图形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定义域为), 1 ( ,

7、) 1 ,(2) 求关键点)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x上页下页结束返回首页113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态00( (极大极大) )( (极小极小) )4) 求渐近线,lim1yx为铅直渐近线无定义无定义1x上页下页结束返回首页又因xyxlim,4141k即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495li

8、mxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy上页下页结束返回首页6）绘图( (极大极大) )( (极小极小) )斜渐近线1x铅直渐近线4541xy特殊点11302) 1( 4) 3(2xxy2无定义无定义xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy049241上页下页结束返回首页 思考思考 两坐标轴两坐标轴0 x，0 y是否都是是否都是函数函数xxxfsin)( 的渐近线？的渐近线？解答解答0sinlim xxx0 y是是其其图图象象的的渐渐近近线线.0 x不不是是其其图图象象的的渐渐近近线线. 1sinlim0 xxxxxysin 上页下页结束返回首页作业:P169:4 上页下页结束返回首页练习练习.21)(22的图形的图形作函数作函数xex 解解),(:D偶函数偶函数, 图形关于图形关于y轴对称轴对称.,2)(22xexx , 0)( x令令, 0 x得驻点得驻点, 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊点点. 4 . 021)(0: xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0 y得水平渐近线得水平渐近线上页下页结