多元函数的概念ppt课件

1、 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，1邻域邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函数的概念一、多元函数的概念 2区域区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE .EE 的的内内点点属属于于EP .为为开开集集则则称称的的点点都都是是内内点点

2、，如如果果点点集集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22

3、 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则则称称为为无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否成成立立，则则称称对对一一切切即即，不不超超过过间间的的距距离离与与某某一一定定点点，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx3聚点聚点 设设 E 是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P 是平面上的是平面上的一个点，如果点一个点，如果点 P 的

4、任何一个邻域内总有无限的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集多个点属于点集 E，则称，则称 P 为为 E 的聚点的聚点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边境点能够是聚点；边境点能够是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是边境点也是聚点既是边境点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如,边境上的点都是聚点也都属于集合边境上的点都是聚点也都属于集合4n维空间维空间 设设n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称

5、n元数组元数组),(21nxxx的全体为的全体为n维空间，而每个维空间，而每个n元数元数组组),(21nxxx称为称为n维空间中的一个点，数维空间中的一个点，数ix称为该点的第称为该点的第i个坐标个坐标. n维空间的记号为维空间的记号为;nR n维空间中两点间间隔公式维空间中两点间间隔公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的间隔空间两点间的间隔3, 2, 1 n内点、边境点、区域、聚

6、点等概念也可定义内点、边境点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP ),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. .5二元函数的定义二元函数的定义当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等等概概念念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三

7、元以上函数例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 6 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一一个个空空间间点点集集),(),(| )

8、,(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形.如下页图如下页图二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:定 义定 义 1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的是其聚点，如果对于任意给定的正数正数 ，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()

9、(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf这里这里|0PP ）.二、多元函数的极限二、多元函数的极限阐明：阐明：1定义中定义中 的方式是恣意的；的方式是恣意的；0PP 2二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx3二元函数的极限运算法那么与一元函数类似二元函数的极限运算法那么与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200

10、 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立例例3 3 求极求极限限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 证明证明 不存不存在在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy

11、26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在不存在不存在.察看察看26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 播放播放（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定极限不存在的方法：

12、确定极限不存在的方法：定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0, PD是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总 存 在 正 数总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 |00PP的 一 切 点的 一 切 点DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，则称成立，则称 A A 为为n元函数元函数)(Pf当当0PP 时的极限，记为时的极限，记为 APfPP )(lim0. .n元元函函数数的的极极限限利用点函数的方式有利用点函数的方式有 设设n元元函函数数)(Pf的的定定义义域

13、域为为点点集集0, PD是是其其聚聚点点且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 则则称称n元元函函数数)(Pf在在点点0P处处连连续续. . 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.三、多元函数的延续性三、多元函数的延续性定义定义3 3例例5 5 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的延续性处的延续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2

14、 2)0 , 0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处延续处延续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 当当 时时 220yx例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的延续性的延续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不延续处不延续闭区域上延续函数的性质闭区域上延续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元延续函数，在上的多元延续函数，在D D上至少

15、获得它的最大值和最小值各一次上至少获得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元延续函数，假上的多元延续函数，假设在设在D D上获得两个不同的函数值，那么它在上获得两个不同的函数值，那么它在D D上获得介于这两值之间的任何值至少一次上获得介于这两值之间的任何值至少一次1最大值和最小值定理最大值和最小值定理2介值定理介值定理3一致延续性定理一致延续性定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元延续函数必定上的多元延续函数必定在在D D上一致延续上一致延续多元初等函数：由多元多项式及根本初等函数多元初等函数：由多元多项式及根本初等函数经过有限次的四那么运算和复合步骤所构成的经

16、过有限次的四那么运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数数一切多元初等函数在其定义区域内是延续的一切多元初等函数在其定义区域内是延续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果一

17、一般般地地，求求多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数延续的概念多元函数延续的概念闭区域上延续函数的性质闭区域上延续函数的性质留意趋近方式的恣意性留意趋近方式的恣意性四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义 若若点点),(yx沿沿着着无无数数多多条条平平面面曲曲线线趋趋向向于于点点),(00yx时时，函函数数),(yxf都都趋趋向向于于 A，能能否否断断定定Ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思索题思索题思索题解答思索题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但

18、是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx缘由为假设缘由为假设取取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_. .2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. .3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_. .4 4、 若若22),(yxxyyxf , , 则则 ),(yxf_. .函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_. .练练 习习 题题 6 6、函函数数

19、yxz 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、函函数数xyzarcsin 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 8 8、函函数数xyxyz2222 的的间间断断点点是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、二、 求下列各极限求下列各极限: :1 1、 xyxyyx42lim00 ；2 2、 xxyyxsinlim00；3 3、 22222200)()cos(1limyxyxyxyx . .三三、 证证明明：0lim2200 yxxyyx. .四四、 证证明明极极限限yxxyyx 11lim00不不存存在在 . .一、一、 1 1、 ),(2yxft； 2 2、1213 , , ),(yxf； 3 3、 x