哈工大理论力学第七版第十一章

1、第十一章第十一章 动动 量量 矩矩 定定 理理11-1 11-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩1 1质点的动量矩质点的动量矩对点对点 O 的动量矩的动量矩()OMmvrmv对对 z z 轴的动量矩轴的动量矩()()zOxyMmvMmv代数量代数量, ,从从 z 轴正向看轴正向看, ,逆时针为正逆时针为正, ,顺时针为负顺时针为负. .vmr)( vmMO)( vmMz()()OzzMmvMmv1()nOOiiiLMmv 1()nzziiiLMm v 2 2质点系的动量矩质点系的动量矩 对点的动量矩对点的动量矩 对轴的动量矩对轴的动量矩O zzLLOxyzLL iL jL k 即即

2、（1 1） 刚体平移刚体平移()zzCLM mv()OOCLM mv二者关系二者关系（2 2） 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动iiiiizzrvmvmML)(2iiiiirmrrm2iizrmJ 转动惯量转动惯量zzJL dd()()ddOMmvrmvttdd()ddrmvrmvtt 11-2 11-2 动量矩定理动量矩定理 1 1质点的动量矩定理质点的动量矩定理设设O为定点为定点, ,有有d()( )dOOMmvMFtFv0 质点对某质点对某定点定点的动量矩对时间的的动量矩对时间的一阶导数一阶导数, ,等于作用力对同一点的矩等于作用力对同一点的矩. .质点的动量矩定理质点的动量矩定理d()(

3、)dxxMmvMFtd()( )dyyMmvMFtd()( )dzzMmvMFt投影式投影式:ddd()()dddOOi iOi iLMmvMmvttt(e)d()dOOiLMFt 质点系对某质点系对某定点定点O的动量矩对的动量矩对时间的导数时间的导数,等于作用于质点系的等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和外力对于同一点的矩的矢量和.(i)(e)d()()()dOiiOiOiMmvMFMFt(i)(e)d()()()dOi iOiOiMmvMFMFt2.2.质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理0质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理(e)d()dxxiLM Ft(e)d()dyyiLMF

4、t 投影式投影式: :(e)d()dzziLMFt 问题：问题：内力能否改变质内力能否改变质 点系的动量矩？点系的动量矩？3 3动量矩守恒定律动量矩守恒定律若若 则则 常量。常量。(e)()0zMFzL 有心力有心力：力作用线始终通过某固定点：力作用线始终通过某固定点, , 该点称该点称力心力心. .( )0OMF ()M mvrmv 常矢量常矢量若若 (e)()0OMFOL 则则 常矢量常矢量, ,面积速度定理：面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒质点在有心力作用下其面积速度守恒. .(1) (1) 与与 必在一固定平面内必在一固定平面内, ,即点即点M的运动轨迹是平面曲线的运动轨

5、迹是平面曲线. .rvd(2)drrmvrmbt常量ddrrt即即 常量常量d2drrAddAt因此因此, , 常量常量面积速度面积速度思考：谁先到达顶部？思考：谁先到达顶部？(e)sinOMMmgRRmgMmvRJtsindd22sinmRJmgRMRa 已知：已知： , ,小车不计摩擦小车不计摩擦. .,MJRma求求: :小车的加速度小车的加速度 . .RvmJLO解解: :Rvatvdd由由 , ,得得例例11-111-1已知：已知： , , , , , , , , , , ,不计摩擦不计摩擦. .mOJ1m2m1r2r求求: :（1 1）NF （2）O 处约束力处约束力 （3 3）绳

6、索张力绳索张力 ，1TF2TF例例11-211-2)(222211rmrmJO(e)1 12 2()()OMFm rm r g2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO 由由 , ,得得(e)d()dOOLMFt 222111rvmrvmJLOO解：解：(1)(1) （2 2）由质心运动定理）由质心运动定理CyammmgmmmF)()(2121NNF212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiCCy 1111T11rmamFgm)(11T1rgmF)()(221121NrmrmgmmmF （3 3） 研究研究1m22222T2rmamgmF)(22T2rg

7、mF2m（4 4） 研究研究2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO求：剪断绳后求：剪断绳后, , 角时的角时的 . .已知：两小球质量皆为已知：两小球质量皆为 , ,初始角速度初始角速度 。m0例例11-311-3020221maamaLz2)sin(22lamLz时时, ,00 时时, ,202)sin(laa12zzLL解解： 11-3 11-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程12,nF FF主动力主动力: :d()()()dizzizNJMFMFt ()ziMF d()dzziJMFt 即即:( )zzJMF 或或22d( )dzzJMFt 或或转动微分方

8、程约束力约束力: :21NN,FF已知：物理摆（复摆），已知：物理摆（复摆）， 。求：微小摆动的周期求：微小摆动的周期 。aJmO,例例11-411-422dsindOJmgat 解解：sin微小摆动时，微小摆动时，mgatJO22dd0dd22OJmgat即即：)sin(tJmgaOO通解为通解为 称称角振幅角振幅， 称称初相位初相位，由初始条件确定，由初始条件确定. .OmgaJTO2周期周期求：制动所需时间求：制动所需时间 . .t已知：已知： ，动滑动摩擦因数，动滑动摩擦因数 。RFJNO,0f例例11-511-500N0ddtOJfF R t0NOJtfF RNddOJFRf F R

9、t解解：1111RFMJt2222MRFJt2122112211iJJiMM21121221,MMRRiJJ1已知已知： 。 求：求： 。解解：ttFF 121221RRi因因 ， ，得，得例例11-611-621nziiiJm r 11-4 11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 1. 1. 简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算(1)(1)均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对一端的转动惯量 3d320lxxJlllz231mlJzlml由由 ，得，得420(2d)24ROAARJrr r222mRmRRmJiiz（2 2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量）均质薄圆环对中

10、心轴的转动惯量2diiiAmr r（3 3）均质圆板对中心轴的转动惯量）均质圆板对中心轴的转动惯量2AmR式中式中：221mRJO 或或2 2. . 回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径） mJzz2zzmJ或或2CzzJJmd3 3平行轴定理平行轴定理Czdzz 式中式中 轴为过质心且与轴为过质心且与 轴平行的轴，轴平行的轴， 为为Cz与与 轴之间的距离。轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积与两轴间距离平方的

11、乘积. .2211()CziJm xy )(222yxmrmJiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(证明证明：2CzzJJmd04 4组合法组合法OJ 求求： .ld已知：杆长为已知：杆长为 质量为质量为 ，圆盘半径为，圆盘半径为 ，质量为，质量为 . .1m2m盘杆OOOJJJ231mlJO杆2222)2()2(21dlmdmJO盘)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmJO解解：21JJJz2222112121RmRm 解解：222mR l211mR l其中其中2212 ()l RRm由由 ，得得)(212221RRmJz44121 ()2

12、zJl RR222212121 ()()2l RRRR21,RRm已知：已知： 。zJ 求求 ： . .5 5实验法实验法思考：思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动上，作微幅摆动. .mglJT2由由lm,TJ其中其中 已知已知, , 可测得，从而求得可测得，从而求得 . .6. 6. 查表查表法法均质物体的转动惯量均质物体的转动惯量薄壁圆薄壁圆筒筒细直杆细直杆体积体积惯性半径惯性半径转动惯量转动惯量简简 图图物体的物体的形状形状212lmJCz23lmJz32lCz3lz2mRJzRzRlh2薄壁空薄

13、壁空心球心球空心圆空心圆柱柱圆柱圆柱)3(1221222lRmJJmRJyxZ)3(121222lRRyxzlR2)(222rRmJz)(2122rRz)(22rRl232mRJzRz32Rh23圆环圆环圆锥体圆锥体实心球实心球225zJmRRz52334R2223103(4)80zxyJmrJJmrl)4(80310322lrryxz23r l223()4zJm Rr2243rRz222 r R矩形薄矩形薄板板长方体长方体椭圆形椭圆形薄板薄板2222()444zyymJabmJamJb222122babayxzabh222222()12()12()12zyymJabmJacmJbc)(121

14、)(121)(121222222cbcabayxzabc2222()121212zyymJabmJamJbbabayxz289. 0289. 0)(12122abh11-5 11-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理1 1对质心的动量矩对质心的动量矩CCiiiiiLMmvrmvCiiirLrmviCirvvvCiiCiiirLrmvrmv( )0iiCiiCrmvmrvxyz x y zCCrOimiriririivmr?0()OCiiLrrmv)CiiiirmvrmvCvmCLOCCCLrmvL eddddOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相对质心的动量矩定理相对

15、质心的动量矩定理 eeCiiirFrFddddddCCCCCrLmvrmvtttxyz x y zCCrOimirirCv0( )eiF eddCiiLrFt ed()dCCiLMFt质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩外力对质心的主矩. .思考：思考：如何实现卫星姿态控制？如何实现卫星姿态控制？动量矩守恒定律实例动量矩守恒定律实例航天器中反作用轮姿航天器中反作用轮姿态控制系统示意简图态控制系统示意简图例例11-711-7已知：均质圆盘质量为已知

16、：均质圆盘质量为m，半径为，半径为R，沿地面纯滚动，角速度，沿地面纯滚动，角速度 为为 。求：圆盘对求：圆盘对A、C、P三点的动量矩。三点的动量矩。CAPCAP解：解：点点C为质心为质心22mRJLCC点点P为瞬心为瞬心232mRJLPP或或2321222mRmRmRLRmvLCCP2) 12(212222222mRmRmRLRmvLCCA是否可以如下计算：是否可以如下计算：23)(22mRmRJJLCAA ee()CCCmaFJMF 2e22e2ddd()dCCCrmFtJMFt11-6 11-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程平面运动平面运动随质心平移随质心平移绕质心转动绕质

17、心转动投影式投影式： eee()CxxCyyCCmaFmaFJMF etene()CtCnCCmaFmaFJMF 以上各组均称为刚体平面运动微分方程以上各组均称为刚体平面运动微分方程. .已知：半径为已知：半径为r ，质量为质量为m 的均质圆轮沿水平直线滚动，的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示如图所示. .设轮的惯性半径为设轮的惯性半径为 ，作用于轮的力偶矩为，作用于轮的力偶矩为M . .求轮心的加速度求轮心的加速度. .如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f ，问问力偶力偶M 必须符合什么条件不致使圆轮滑动必须符合什么条件不致使圆轮滑动? ?C例例11-811-8M解

18、解：N2CxCyCmaFmaFmgmMFr 2222N,CCCCF rMraMrmrFmaFmg纯滚动的条件纯滚动的条件：sNFf F即即22sCrMf mgrCa0Car已知：均质圆轮半径为已知：均质圆轮半径为r 质量为质量为m ，受到轻微扰动后，受到轻微扰动后，在半径为在半径为R R 的圆弧上往复滚动，如图所示的圆弧上往复滚动，如图所示. .设表面足够设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动粗糙，使圆轮在滚动时无滑动. . 求求: :质心质心C 的运动规律的运动规律. .例例11-911-9tCart21, sin2CCaSJmr很小解解: :tsinCmaFmgCJFr cos2mgFrRvmNCrRs0dd2322srRgts)sin(00tssrRg3220, 00vss初始条件初始条件grRvs23,000运动方程为运动方程为trRggrRvs32sin230例例11-1011-10已知：如图所示均质圆环半径为已知：如图所示均质圆环半径为r，质量为，质量为m，其上焊接，其上焊接刚杆刚杆OA，杆长为，杆长为r，质量也为，质量也为m。用手扶住圆环使其在。用手扶住圆环使其在OA水平位置静止。设圆环与地面间为纯滚动。水平位置静