初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题21直线与圆的位置关系[精品]

1、专题21直线与圆的位置关系阅读与思考和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆.运用与切线相关的知识， 可以得到圆的外切三角形、圆的外切四边形的许多重要结论，这些结论在解与切线相关问题时有广泛的应用.1 .如图1,以。I为 ABC勺内切圆，则有：(1) AE=AF=s a, BF=BD=s b, CD=CE=s c；(2) /削/ DIF=/G/DIE=/ A+/EIF=180 . 一 .1这里 BC=a, CA=b, AB=c, s= (a+b+c).2 .如图2,设。I为RtABC勺内切圆，则有：(1)四边形IDCE是正方形；内切圆半径r=A。券AB

2、3 .如图3,设。O为四边形 ABCD勺内切圆，则有； ABhCDABC例题与求解【例1】 如图，在ABC3, ZC=90° , /A和/B的平分线相交于P点，又PE!AB于E点.若BG2,AC=3,则 AE- EB=(全国初中数学联赛试题)解题思路：P为RtABCj切圆的圆心，利用直角三角形内切圆的性质解例1题图例2题图【例2】如图，以正方形 ABCM边BC为直径作半圆 O,过点D作直线切半圆于点 F,交AB边于点E,则三角形AD%口直角梯形EBCDIC长之比为（）A. 3：4 B .4：5 C .5：6 D .6：7（杭州市中考试题）解题思路：本例综合了切线的判定与性质、切线长定

3、理、勾股定理等知识，为求出周长，需要引入字母或赋值.【例3】如图，已知/ AC巨/CD巨90° ,点B在CE±, CA=CB=CD过A C D三点的圆交 AB于F.求证：F是CDE勺内心.（全国初中数学联赛试题）解题思路：即要证F为CDEt平分线的交点，将问题转化为角相等问题的证明，充分运用与圆相关 的角的性质.【例4】如图，不等边 ABCft接于。O I是其内心，且 AI XOI.求证：ABHAG2BC（四川省竞赛试题）解题思路：从外心、内心出发，添加辅助线，充分运用圆的性质，由角的关系导出线段的关系.【例5】如图，已知 RtABC中，CD是斜边AB上的高，O O、C2分

4、别是 ABC ACD BCDt平分线的交点求证：（i）oo,co；（2）o（=oo.（武汉市选拔赛试题）解题思路：在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等故通过证交角等于 90。的方法得两线垂直，再用全等三角形证两线段相等B【例6】如图，已知直径与等边三角形 ABC勺高相等的圆与 AB和BC边相切于点D和E,与AC边相交 于点F和G 求/ DEF的度数.（浙江省竞赛试题）解题思路：若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本例的关键能力训练1.如图，O I是RtABC勺内切圆，切点为D E、F,若AF BE的长是方程213+30=0的两根，则S»A

5、 ABC的值是（泰州市中考试题）（第1题图）（第2题图）（第3题图）则AC=r=2,2 .如图，RtAABC,/C=90° ,BG=5,。O内切 RtABCW三边AB BC CA于DE、F,半径（杭州市中考试题）3 .如图，已知直线 y x 6与轴交于点 A与y轴交于点B,点P为轴上可以移动的点，且点点A的左侧，PML轴，交直线y x 6于点M有一个动圆O',它与轴、直线 PMW直线yx相切，且在轴上方.当。O与y轴也相切时，点 P的坐标是（青岛市中考试题）4.如图，已知 ABC勺内切圆O与各边相切于D E、F,那么点 0是4 DEF勺（A.三条中线的交点.三条高的交点C.三

6、条角平分线的交点.三条边的垂直平分线的交点（“我爱数学”夏令营竞赛试题）（四川省中考题）（第4题图）（第5题图）5.如图，AD是ABC勺角平分线,OO过点A且和BC相切于点D,和AB AC分别交于点 E、F.若BDAE且BE=a, CF=b,则AF的长为（1+ 5A B13a6.若 0 ° V a V 90° ,刃B么以sincos a、 tan-cot a为三边的 ABC勺内切圆半径与外接圆半彳至R之和是（安徽省竞赛试题）A.sin a +cos atan+ +cot a2C.2sin a cos a1 sin a +cos a17 .如图，设 AD是 ABC勺中线， A

7、BD ADC勺外心分别为 E、F,直线BE与CF交于点G 若DG2BC,求证：/ ADG2/ACG8 .如图，BC是。的直径，AB AD是。的切线，切点分别为 B、P过C点的切线与 AD交于点D连ZA AO DO(1)求证： ABOhAOCD9 59(2)若AB CD是关于白方程22 (mv 1) +(mv 1) 2=0的两个实数根，且 &abo+&oc=20,求m的值.（第7题图）（第8题图）（第9题图）9 .如图，以坐标原点 O为圆心，6为半径的圆交y轴于A B两点，AM BN为。O的切线，D为切线AM上的一点（D与A不重合），DE切。0于点E,与BN交于点C,且ACk B

8、C设AD=mBC=n.（1）求mr n的值；（2）若m n是方程2t230t+=0的两根，求：COD勺面积；CD所在直线的解析式；切点 E的坐标.（辽宁省中考题）10 .如图，在 RtAABO, / C=90° , AG4, BC=3,其中。0, O O,，O。为 n个（n>2）相等 的圆，O 0与。Q相外切，O Q与。Q相外切，O 01与。0相外切，O O, O 0,，O Q都与AB 相切，且。0与ACf切，O 0与BC相切.求这些等圆的半径（用n表示）.（河北省竞赛试题）11 .如图，四边形CA4A（第11题图）AAAA4内接于一圆， AAA、 AAA、AAA的内心分别是I

9、八12、13.求证:(1) A、11、12、A3 四点共圆;(2) / I 1I 2I 3=90 .（四川省竞赛试题）1.如图，AdBC BGa,AGb,O O的半径为心 一ab ,r,那么满足关系式 二不的图形是（把正确的所有图形的序号填在横线上）O、O分别为乙ACD BCD勺内心,2 .已知在 ABC43, / C=90° , AO4, BG=3, CD为 AB上的高.（太原市竞赛试题）3 .如图，半圆与两直角边相切，且圆心O在直角三角形 ABC的斜边AB上.若直角三角形面积为 S,斜边长为c,则半圆的半径r=.（五城市联赛试题）4 .已知：如图，以定线段 AB为直径作半圆 O,

10、 P为半圆上任意一点（异于 A B）,过点P作半圆O的切线分别交过 A B两点的切线于 0 C, AC BD相交于N点，连接ON NP下列结论：四边形 ANPD是梯形；O障NPDP-PC为定值；PA为/NPD勺平分线.其中一定成立的是A.（第3题图）（第4题图）（第5题图）（第6题图）5.如图，半圆O的直径在梯形ABCD勺底边AB上,且与其余三边 BC CDDAf 切，若 BC=2, DA=3,则AB的长（A.等于4B .等于5 C .等于6.不能确定（全国初中数学联赛试题）6.如图，在矩形 ABCDK 连结 AC如果O为 ABCW内心,过 O乍 OEL AD于点 E, O O" C

11、D F,则矩形OFDE勺面积与矩形ABCD勺面积的比值为（.1A. 2.不能确定，与 AR BC的长度有关（学习报公开赛试题）7. 一条直线 DE平分ABC勺周长，同时直线DE又平分了4ABC勺面积.求证：直线DE经过 ABC勺内切圆圆心O（全国初中数学联赛试题）8.如图，AB BC CD分别与圆相切于 E、F、G, AB=BGCD连结AC与BD相交于点P,连结PF.求证：PFL BC（江苏省竞赛试题）C（第9题图）9.如图，在 ABC, CH为高，R S分别为 ACM口 BCH勺内切圆与CH的切点.若 AB=1995, AG1994,BG1993,则RS可表示成，其中m n是互质的正整数.求

12、mm的值.（美国中学生数学邀请赛试题）10.如图， ABC勺三边满足关系式BC=2 (A&AQ , QI分别为ABC勺外心、内心./ BAC勺外角平分线交。O于E, AI的延长线交。O于D, DE交 BC于 H.求证：（1） AI=BD1oi=2Ae.（湖北省选拔赛试题）（第10题图）（第11题图）（第12题图）11.如图，在平面直角坐标系中，AB两点的坐标分别为A (2,0)、B (8,0).以AB为直径的半圆P与y轴交于点M以AB为一边作正方形 ABCD(1)求C M两点的坐标；(2)连接CM试判断直线 CM是否与。P相切？说明你的理由；(3)在轴上是否存在一点 Q使彳QMC勺周长最小？若存在，求出